空間解析幾何與向量代數(shù)

第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第一節(jié) 向量及其線性運算一 知識點、重點及難點 1. 知識點：（1） 向量的概念向量：既有大小，又有方向的量（又稱矢量）.向量的表示：以為起點，為終點的有向線段，或.數(shù)學(xué)上只研究與起點無關(guān)的自由向量.向量的模：向量的大小.向量的模記作.單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.記作.零向量：模等于0的向量叫做零向量.記作零向量的起點與終點重合，它的方向可以看作是任意的.負向量：與向量的模相同而方向相反的向量，即.向量相等：與大小相等，方向相同，記作.向量平行：與方向相同或相反，記作.與平行，又稱與共線.（2） 向量的線性運算1. 向量的加法：平行四邊形法則，三角形法則運算規(guī)律：交換律 結(jié)合律 向量的減法：2.向量與數(shù)的乘法：實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記作.其大小為 方向當(dāng)時，與同向：當(dāng)時，與反向；當(dāng) 時，方向是任意的. 運算規(guī)律：結(jié)合律 分配律 . 表示與同方向的單位向量. 若則存在唯一的實數(shù)，使（3）空間直角坐標系：在空間取定一點（原點）和過原點三個兩兩垂直的數(shù)軸，構(gòu)成一個空間直角坐標系.三個坐標軸的正向符合右手法則，即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向軸時，大拇指的指向就是軸的正向.三個坐標面面、面、面將空間分成八個卦限，含有軸、軸、軸。正半軸的卦限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆時針方向確定，第五至第八卦限在面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆時針方向確定其他卦限。這八個卦限分別用字母、表示。設(shè)點在空間直角坐標系的坐標為則向量或表示為，即既是向量的坐標，也是的坐標。(4)向量的坐標運算：設(shè)則向量向量則若則唯一（5）向量的模方向角投影）向量的模 若向量則 若則）方向角與方向余弦作，稱為向量與的夾角，記作或 方向角: ,與三個坐標軸的夾角稱為向量的方向角。 )向量的投影 向量在軸上的投影：或記作 在軸上的投影: 2. 重點： 向量的概念，向量的線性運算，向量的模，方向角，投影。3. 難點： 向量的線性運算的坐標表示，向量的方向角，投影。二主要題型 1.與向量的概念，線性運算有關(guān)的習(xí)題。2.綜合題型。三典型例題解析例1 設(shè)已知兩點和，計算向量的模，方向余弦和方向角。解 方向弦為方向角分別為例2 設(shè)向量的模是4，它與軸的夾角是，求在軸上的投影。解 已知，四 同步自測練習(xí)題 1.向量與軸和軸夾角相等，而與軸組成的角是它們的二倍，那么這個向量的方向角各為多少？參考答案與提示1. 或第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積一 知識點、重點、及難點1. 知識點：定義：，運算結(jié)果是一個數(shù)。 性質(zhì)：交換律： 結(jié)合律： 數(shù)乘律：，為實數(shù)。 坐標表示 ：，（2）向量積： 定義：；的方向垂直于與決定的平面， 的指向按右手規(guī)則，從轉(zhuǎn)向來確定。 性質(zhì)：負交換律 分配律 數(shù)乘律 ，為實數(shù)。等于與為鄰邊的平行四邊形的面積，或者說以與 為鄰邊的三角形的面積的2倍。 坐標表示：， （3）混合積 定義： 結(jié)果為一個數(shù)。 性質(zhì): 等于以，,為棱的平行六面體的體積。 ，,共面 2. 重點： 向量的數(shù)量積、向量積、混合積的定義與應(yīng)用。3. 難點： 數(shù)量積、向量積、混合積的應(yīng)用。二主要題型1.與向量代數(shù)運算（數(shù)量積、向量積、混合積）有關(guān)習(xí)題。2.綜合題型。三典型例題解析 解題注意事項：區(qū)分哪些是數(shù)量，哪些是向量；區(qū)分各個運算的規(guī)律、特征；區(qū)分向量平行、垂直、共面的充要條件。 例1.（1）設(shè)，若，則=（ ），若 ，則=（ ）。（2），則=（ ）（3），則=（ ）（4）設(shè)，則（ ）解：（1）。 （2）設(shè)則由條件可得 或者：由， 知而 又由知（3） （4） 。例2已知，為與的夾角，求。 解： 例3. ，求與的夾角。 解： 。四 同步自測練習(xí)題 1已知，求。 2求同時垂直和的單位向量。 3已知，為與的夾角，求以和為邊的平行四邊形的面積。 4已知 、均為單位向量，且滿足關(guān)系式，求。 5已知 求（1）向量在軸，軸，軸上的投影； （2）求；（3）的方向余弦；（4）與平行的單位向量。參考答案與提示1.2 2. 3. 4. 5. (1) 1,-3,3 (2) (3) (4) 第三節(jié) 曲面及其方程一知識點、重點、及難點1.知識點： （1）曲面的方程： 一般式 顯式 球面標準式 一般式 （3） 旋轉(zhuǎn)曲面：以一條平面曲線（曲線）繞其平面上的一條直線（旋轉(zhuǎn)軸）旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面。：母線為，繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線為，繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線為，繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：母線為曲線，繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面：其中為空間曲線參數(shù)式方程（3）柱面：平行于定直線并沿曲線C（準線）移動的直線L（母線）所成的軌跡。. ，表示以為準線，母線平行于z軸的柱面。，表示以為準線，母線平行于y軸的柱面。，表示以為準線，母線平行于x軸的柱面。 .特殊柱面：橢圓柱面；圓柱面 雙曲柱面；拋物柱面 .準線為曲線C ，母線L為z軸的柱面方程求法：將上 曲線方程組中消去變量z，即得所求柱面方程. . 準線為曲線C ，母線L的方向向量為的柱面方程的求法： 準線C上取一點，則過該點的母線方程： 消去方程組的即得所求柱面方程. 注：柱面上任意一點處切平面的法向量與母線的方向向量垂直。（4） 二次曲面 橢圓錐面：；圓錐面：或橢球面：；旋轉(zhuǎn)橢球面：單葉雙曲面：；旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：雙葉雙曲面：；旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面：橢圓拋物面：；旋轉(zhuǎn)拋物面：雙曲拋物面（馬鞍面）：2. 重點： 曲線方程，旋轉(zhuǎn)曲面，柱面方程，能用截痕法畫出常見曲面及投影區(qū)域。3. 難點： 根據(jù)條件確定所求的曲面方程及投影區(qū)域，曲面方程各式間的轉(zhuǎn)換。二 主要題型1. 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。2. 求柱面方程。3. 綜合題型。三 典型例題解析 題型一. 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程 解題注意事項：不要帶錯旋轉(zhuǎn)曲面的計算公式例1. 求曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的拋物面方程。 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的拋物面方程為例2. 求曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程 解 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程題型二. 求柱面方程 解題注意事項：不要帶錯柱面的計算公式。例2. 求母線平行于x軸，準線為的柱面方程。 解： 將上曲線方程中消去變量x，得所求柱面方程為四 同步自測練習(xí)題。1. 求曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)橢球面方程。2. 求直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程。3. 求母線平行于z軸，準線為的柱面方程。參考答案與提示1. 23. 第四節(jié) 空間曲線及其方程一知識點、重點、及難點1.知識點： （1）空間曲線的一般方程 （2）空間曲線的參數(shù)方程 （3）空間曲線在坐標面上的投影： 在xoy面上的投影柱面為：消去z，投影曲線方程為 在yoz面上的投影柱面為：消去x，投影曲線方程為 在xoz面上的投影柱面為：消去y，投影曲線方程為2. 重點： 曲線方程，能用截痕法畫出常見曲線，曲線在坐標面上的投影。3. 難點： 根據(jù)條件確定所求的曲線方程，投影曲線方程，曲線方程各式間的轉(zhuǎn)換。二主要題型1. 求曲線的方程。2. 求投影方程。3. 綜合題型。三典型例題解析 題型一 求投影方程解題注意事項：不要帶錯投影的計算公式，區(qū)分投影曲線的投影區(qū)域 曲線一般式與參數(shù)式之間相互轉(zhuǎn)換。例1 求球面與錐面的交線在xoy坐標面的投影及此交線的參數(shù)方程和這兩個曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標面的投影區(qū)域。 解：將兩個方程聯(lián)立消去變量z，可得交線在xoy坐標面的投影柱面，在與xoy面聯(lián)立得投影方程：投影曲線參數(shù)方程為兩個曲面圍成的區(qū)域在xoy坐標面的投影區(qū)域為交線在xoy坐標面的投影方程圍成的區(qū)域：例2.將曲線 的一般式轉(zhuǎn)化為參數(shù)式并寫出曲線在xoy坐標面的投影曲線方程。 解： 曲線在xoy坐標面的投影曲線方程：（消去z）得曲線參數(shù)方程為五 同步自測聯(lián)系題。1. 求曲面與錐面交線在xoy坐標面的投影，交線的參數(shù)方程和這兩個曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標面的投影區(qū)域。2. 將曲線 的一般式方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程并寫出曲線在xoy坐標面的投影曲線方程。參考答案與提示1. 投影方程；參數(shù)方程；投影區(qū)域：2. 參數(shù)方程 ；投影方程第五節(jié) 平面及其方程一、 知識點 重點及難點 1、 知識點：(1)平面的點的法式方程（向量點積德應(yīng)用）平面的法向量：垂直于平面的非零向量。給定平面上一個定點M(,，)平面的法向量=（A,B,C）則平面方程為A(X-)+B(Y-)+C(Z-)=0(2)平面的一般式方程 平面法向量=（A,B,C）則平面一般方程為Ax+By+Cz=0 若D=0 平面Ax+By+Cz=0過原點 若A=0 平面Ax+By+Cz=0平行于x軸若A=D=0則平面By+Cz=0過x軸 若B=0 平面Ax+By+Cz=0平行于y軸若B=D=0則平面By+Cz=0過y軸 若C=0 平面Ax+By+Cz=0平行于z軸若C=D=0則平面Ax+By=0過z軸 若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=C=0平面By+D=0平行于xoz平面 若A=C=D=0則平面By=0為xoz面即平面方程Ax+By+Cz=0中缺少某個坐標，則平面就平行于該坐標軸，平面方程缺少某兩個坐標，則平面就平行于這兩個坐標確定的平面，平面方程中缺少常數(shù)項，則該平面過坐標原點。（3）平面得截距式方程 平面在三個坐標軸上的截距分別是a,b,c則平面方程為（4）平面的三點式方程（向量混合積的應(yīng)用） 平面上三點為則平面方程為(5)平面得位置關(guān)系 設(shè)兩個平面方程為 法線向量=（） 法線向量 = （）則兩平面的夾角：兩平面法線向量的夾角（通常指銳角）= = = 兩平面平行兩平面垂直A1A2+B1B2+C1C2=0兩平面相交不成立兩平面重合（6）點到平面的距離公式點M()到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式為d= 2 重點平面與方程的我確定3難點：如何確定平面的方程使求解平面方程更簡單二 主要題型1求平面方程2確定平面之間的位置關(guān)系3求點到平面間的距離4綜合題型三 典型例題分析題型一 求平面方曾（關(guān)鍵找一定點姬法線向量）解題思路（1）利用條件找到所求平面的法向量及其定點，使用點法式 （2）設(shè)出平面的一班式，利用已知條件確定一般式中的待定常數(shù)（3）根據(jù)條件設(shè)出平面的特殊式，確定其中的待定常數(shù)（4）若條件中出現(xiàn)平面通過已知的一直線，則可考慮使用平面式方程例一過已知兩點（1，2，-1）（-5，2，7）的一個平面，使（1）與平面2x+y-z=0垂直（2）與x軸平行(1)解法1 令 （1，2，-1）（-5，2，7），則待求平面的法向量垂直于 同時也垂直于（2，1，-1）取=（-6，0，8）（2，1，-1）=-2（4，-5，3）用點法式可得平面方程為4（x-1）-5(y-2)+3(z+1)=0即4x-5y+3z+9=0解法2設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0由題意知系數(shù)滿足 從而得平面方程為4x-5y+3z-9=0(2)法1由題意知平面的法向量同時垂直于（-6，0，8），（1，0，0）取=（-6，0，8）（1，0，0）=-8（0，1，0）有點法式得平面方程為 y-2=0法2設(shè)所求平面方程為By+Cz+D=0則從而得平面方程為y-2=0例2求過兩平面x+y+5z=1與2x+3y-z+2=0得交線及點（3，2，1）的平面方程和和這兩個平面平分面方程解 （1）設(shè)過兩平面交線的平面為 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0 將（3，2，1）帶入得9=13從而得平面方程為5x+14y-74z+31=0 （2）設(shè)過兩平面交線的平面為 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0由題意知（+2，+3，5-）與（1，1，5）（2，3，-1）的夾角相等從而（或者所求平面上任意一點到已知兩平面的距離相等）從而得平面方程為（x+y-+5z-1=0）（2x+3y-z+2）=0題型2確定平面之間的位置關(guān)系 解題注意事項：要記清平面之間位置關(guān)系的特點例3當(dāng)取何值時兩平面x+ay+3z=1與2x-4y+6z=5平行垂直相交 相交但不垂直并確定此時兩平面的夾角 解 平行 a=2 垂直相交1.2+（-4）a+3.6=0 a=5 相交但不垂直a -2且a 5 = 題型3 求點到平面的距離 解題注意事項：要記清點到平面的距離公式例4求點（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距離解d= 四 同步自測練習(xí)題 1 求平行于平面4x-y-+z+5=0且與三個坐標面構(gòu)成的四面體的體積為9的平面 2在過平面2x+y-3z+2=0與5x+5y-4z+3=0得交線的平面集中，求兩個相互垂直的平面，其中一個平面過點（4，-3，1）3求兩個平面19x-4y+8z+21=0 與19x-4y+8z+42=0的距離參考答案與提示1. 4x-y+z+6=0或4x-y+z-6=02過點（4，-3，1）的平面3x+4y-z+1=0與它垂直的平面x-2y-5z+3=03.1第六節(jié)空間直線及其方程一知識點 重點及難點 知識點：（1） 空間直線的點向式（對稱式標準式）方程（向量平行的應(yīng)用）直線L的方向向量與直線L平行的非零向量，的方向余弦稱為直線L的方向余弦設(shè)直線L上定點為M（）直線L的方向向量=(m,n,p)則直線方成為（2） 空間直線的參數(shù)與方程直線上定點M（）直線L的方向向量=(m,n,p)則直線的參數(shù)方成（3） 空間直線的一般方程 直線L可以看做平面1與2的交線即直線L的方程為 = =為1與2的法線向量則直線L與，都垂直為L的方向向量，則=（4） 空間直線的兩點式方程直線上的兩個點 則直線的兩點式方程為（5） 兩直線昂之間的位置關(guān)系直線L1其上定點方向向量方程直線L2其上定點方向向量 方程則兩直線L1與L2的夾角：兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）= = = 兩直線L1與L2平行：L1 L2 兩直線L1與L2垂直：L1 L2 兩直線L1與L2重合：兩直線L1與L2共面：即兩直線L1與L2異面：即兩直線L1與L2相交：L1與L2共面且不平行(6)直線與平面之間的位置關(guān)系直線L：，L上的定點（）方向向量=(m,n,p) 平面：Ax+By+Cz+D=0法向量=（A,B,C）直線L與平面的夾角：直線L和它在平面上的投影直線的夾角（通常指銳角）= = = 直線L 與平面平行（不在平面上）：Am+Bn+Cp=0 直線L 在平面上： Am+Bn+Cp=0 直線L 與平面垂直：直線L 與平面相交：Am+Bn+Cp 0(7)過空間直線的平面集方程過直線L： 的平面集方程為（）+（）=0 其中， 不全為零（8）點到空間直線的距離公式點（）到直線L: 的距離公式 為直線L 上的點=(m,n,p)為L的方向向量d=2重點： 直線方程的確定及直線與平面的關(guān)系3難點： 利用直線與平面關(guān)系確定所求解的問題二，主要題型 1求直線方程 2直線各方程之間的轉(zhuǎn)化 3確定直線之間的位置關(guān)系 4確定直線與平面之間的位置關(guān)系 5求交點，投影問題 6求點到直線之間的距離 7綜合題型三，典型例題解析題型1 求直線方程（關(guān)鍵找一定點及方向向量）解題思路：1，若求過一定點且與一直線平行的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知直線的方向向量 2，若求過一定點且與一平面垂直的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知平面的法線向量 3，若求過定點且與兩直線垂直的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知兩直線的方向向量的向量積 4，若求過定點且與已知直線垂直，與一平面平行的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知直線的方向向量與已知平面的法線向量的向量積 5，也可設(shè)出所求直線的方向向量=(m,n,p)利用所求直線與已知直線平面關(guān)系來確定方向向量中的參數(shù)例1 求過點（-1，2，3）平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直線的直線方程解 法1取=(2,3,4) (3,4,5)=(-1,2,1)所求直線為法2取=(m,n,p) 則 (2,3,4) (3,4,5)故所求直線為例2 求過點（2，-1，3）平行于平面3x-2y+z+5=0 且與直線 相交的直線方程解 法1設(shè)=(m,n,p) 則 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直線與已知直線相交即共面，因此 -4m-9n-p=0 m=-11n,p=35n所求直線為法2設(shè)=(m,n,p) 則 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直線與已知直線相交，故滿足所求直線的參數(shù)方程 滿足已知直線方程即m= n= p=所求直線為題型2直線各方程之間的轉(zhuǎn)化解題注意事項：記清直線各式之間關(guān)系例3將直線的一般方程 轉(zhuǎn)化為對稱式和參數(shù)式方程解=(2,-4,1) (1,3,5)=(-3,1,10)在直線上任取一點，令y=0 則x=-5,z=11所求對稱式方程為參數(shù)式方程為題型3確定直線之間的位置關(guān)系解題注意事項1記清直線之間位置關(guān)系的公式例4確定空間三直線之間的位置關(guān)系，三直線位置關(guān)系如下L1 L2 L3 LI: 方向向量 =（-2，-5，3） 定點為=（-3，-4，0）L2: 方向向量 =（3，3，7） 定點為=（0，-1，2）L3: 方向向量 =（1，1，3） 定點為=（0，-1，1）L1與L2： = L1與L2異面垂直L1與L3：且 L1與L2異面且 L1與L2共面相交題型4 確定直線與平面之間的位置關(guān)系解題注意事項1記清直線與平面之間位置關(guān)系的公式2復(fù)雜問題要巧妙使用過交線的平面集方程可使問題簡化確定直線與平面x+y+z=3的位置關(guān)系解且有2+（-2）+3=3所以直線在平面上例6求過直線 且平行于直線 的平面方程去所求平面法線向量且平面過點（1，2，3） 故所求平面為x-3y+z+2=0例7 求過直線 且與球面 相切的平面方程解過已知直線的平面集為即與已知平面相切，即球心（0，0，0）到該平面的距離為2，故有或所求平面為z=2或132x+176y-21z-442=0題型5 求交點，投影問題 解題注意事項1交點問題要巧妙使用直線參數(shù)式方程可使問題簡化2投影問題要建立過已知直線的平面集方程，從中找到垂足投影平面的那個平面，兩平面方程聯(lián)立 即得投影直線方程例8確定使兩