經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

課程名稱：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型學(xué)分：2教師：毛瑞華電話：(028)85413996E-mail:maoruihuaruihuamao(123456)QQ：459519390,2.參考書(shū)1.宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法與模型,劉起運(yùn)主編,高等教育出版社2.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型,洪毅等編著華南理工大學(xué)出版社3.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的分析方法,高山晟(美)著,劉振亞譯,中國(guó)人民大學(xué)出版社4.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法與模型，安吉爾.德.拉.弗恩特著,上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社5.經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)構(gòu)-數(shù)量分析方法,EugeneSilberberg,WingSuen著,清華大學(xué)出版社,第一部分,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的概念及建模方法簡(jiǎn)介,1.1數(shù)學(xué)模型和模型的建立,一、模型和數(shù)學(xué)模型,1.模型：人們?yōu)榱松羁痰卣J(rèn)識(shí)和理解原型問(wèn)題而對(duì)其所作的一種抽象和升華，其目的是通過(guò)對(duì)模型的分析、研究加深對(duì)原型問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)。,2.數(shù)學(xué)模型：通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行的一個(gè)近似的描述，以便于人們更加深入地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。,對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析、歸納，做出一些必要且合理的假設(shè)條件，將實(shí)際問(wèn)題中的一些指標(biāo)進(jìn)行量化；,(2)給出描述問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法；,(3)利用數(shù)學(xué)理論和方法或計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析,得出結(jié)論；,(4)利用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題驗(yàn)證結(jié)論的合理性，并作修正.,3.需要解決幾個(gè)問(wèn)題：,4.數(shù)學(xué)模型建模的步驟,模型準(zhǔn)備,模型假設(shè),模型建立,模型求解,模型分析,模型檢驗(yàn),模型應(yīng)用,模型改進(jìn),二、建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)實(shí)例,1、問(wèn)題的提出,設(shè)市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2,n)可供投資者選擇,某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估計(jì)出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買資產(chǎn)Si的平均收益率為ri,且預(yù)測(cè)出購(gòu)買資產(chǎn)Si的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi?？紤]到投資越分散,總的風(fēng)險(xiǎn)越小。公司決定在運(yùn)用這批資金購(gòu)買若干資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用在資產(chǎn)Si中所投資產(chǎn)的最大風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買資產(chǎn)Si的需要支付交易費(fèi),其費(fèi)率為pi,并且當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)ui時(shí),交易費(fèi)按購(gòu)買額ui計(jì)算。設(shè)同期銀行存款利率是r0=5%,且存取款時(shí)既無(wú)交易費(fèi)也無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。,2.對(duì)問(wèn)題的定位：最優(yōu)化問(wèn)題,需要確定購(gòu)買資產(chǎn)Si的具體投資額xi,即建立投資組合，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)：,(1)凈收益最大化；,(2)整體風(fēng)險(xiǎn)最小化；,3.建模準(zhǔn)備：,(1)決策變量：資產(chǎn)Si(i=0,1,n)的投入量xi,i=0,1,n,其中S0表示將資產(chǎn)存入銀行。,(2)投資收益：購(gòu)買資產(chǎn)Si(i=0,1,2,n)的收益率為ri,因此投資xi的收益率為rixi,除去交易費(fèi)用ci(xi),則投資xi的凈收益為Ri=rixi-ci(xi)。從而，總投資的總收益為R(x)=Ri(xi)。,用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表述決策變量,構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件,(3)投資風(fēng)險(xiǎn)：,購(gòu)買資產(chǎn)Si(i=0,1,2,n)的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi,因此投資xi的收益率為qixi,其總體風(fēng)險(xiǎn)用Si的風(fēng)險(xiǎn),即Qi(xi)=qixi中最大的一個(gè)來(lái)度量.,從而總投資的風(fēng)險(xiǎn)損失為Q(x)=maxQi(xi)。,(4)約束條件：,(II).記x=(x0,x1,x2,xn)T,1=(1,1,1,1)T,c=(c0,c1,c2,cn)T,r=(r0,r1,r2,rn)T,總凈收益R(x),整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x)和總資金F(x)各為,4.兩目標(biāo)優(yōu)化模型,5.單目標(biāo)優(yōu)化模型,求解模型,令,模型1,求最大化收益。,給定風(fēng)險(xiǎn)水平,求解模型,模型2,求最小化風(fēng)險(xiǎn)。,給定盈利水平,令,模型3給定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)-收益的相對(duì)偏好參數(shù)0,求解模型,6.簡(jiǎn)化交易費(fèi)用下的模型,(1)交易費(fèi)用函數(shù)為,由于固定費(fèi)用piui的存在在,使得模型是非線性模型,難于求解模型。,表示投資于Si的資金比例。,在實(shí)際計(jì)算中，常假設(shè)M=1，則,當(dāng)M很大而ui相對(duì)較小時(shí),可略去piui的作用,即ci(xi)=pixi,則資金約束條件變?yōu)椋?(3)簡(jiǎn)化交易費(fèi)用下的模型：,LP1：,LP2：,LP3：,1.2優(yōu)化模型的求解方法,(1)一元函數(shù)的無(wú)(有)條件極值；,(2)多元函數(shù)的無(wú)(有)條件極值；,(3)*線性(或非線性)規(guī)劃方法；,定理1(極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)一元函數(shù)的極值與最大(小)值,定理2(極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù),且,則在點(diǎn)取極大值;,則在點(diǎn)取極小值.,二、最大值與最小值問(wèn)題,求函數(shù)最值的方法:,(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值可疑點(diǎn)x1,x2,xm;,若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.,(2)最大值,最小值,當(dāng)f(x)在a,b內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),若在此點(diǎn)取極大(小)值,則也是最大(小)值.當(dāng)f(x)在a,b上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).,例1.鐵路AB段的距離為100km,工廠C距A處20km,ACAB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條公路,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何選取?,(k為某一常數(shù)),解:設(shè),則,令,得,又,所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.,總運(yùn)費(fèi),從而為最小點(diǎn),例2.一束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過(guò)水面折射后到達(dá)水中B點(diǎn)(如圖示)。已知光在空氣和水中傳播的速度分別是v1和v2,光線在介質(zhì)中總是沿著耗時(shí)最少的路徑傳播,試確定光線的路徑。,O,Q,空氣,水,解：設(shè)點(diǎn)A到水面的垂直距離為AO=h1,點(diǎn)B到水面的垂直距離為BQ=h2,x軸沿水面過(guò)點(diǎn)O、Q,OQ=l。根據(jù)條件可知光線在同一種介質(zhì)中傳播時(shí)是按直線方式傳播的，因而光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)應(yīng)該經(jīng)過(guò)折射點(diǎn)P,其路徑為折線APB,所需時(shí)間為：,當(dāng)x0,l時(shí),T(x)在0,l上連續(xù),T(x)在x(0,l)上有唯一的零點(diǎn)x0,且x0是T(x)在(0,l)內(nèi)唯一的極小值點(diǎn),從而x0也是T(x)在(0,l)內(nèi)的極小值點(diǎn),設(shè)x0滿足T(x)=0,即,與1聯(lián)系,與2聯(lián)系,因此，,即當(dāng)點(diǎn)P滿足上述條件時(shí)，APB即是光線的傳播途徑。,記,(二)多元函數(shù)的極值設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2,xn)具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),記,多元函數(shù)極值的判斷,定理1.1設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2,xn)具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)X=(a1,a2,an)T處鄰域內(nèi)有定義，|H|0,則函數(shù)f(x1,x2,xn)在點(diǎn)X=(a1,a2,an)T處達(dá)到極大值的充分必要條件是,且,是負(fù)定矩陣(海森矩陣)。,矩陣H的正定性的判斷方法,(1)矩陣對(duì)應(yīng)的二次型大于0；,(2)矩陣H的順序主子式全大于0；,(3)矩陣H的特征值全大于0。,定理1.2設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2,xn)具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)X=(a1,a2,an)T處鄰域內(nèi)有定義,|H|0,則函數(shù)f(x1,x2,xn)在點(diǎn)X=(a1,a2,an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是,1.2.3二次多項(xiàng)式函數(shù)的極值,函數(shù)f(x1,x2,xn)是二次多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)矩陣AT=A，記,注:當(dāng)B=0，且C=0時(shí)，f(X)即是線性代數(shù)中的二次型。,推論1.1設(shè)函數(shù)f(X)=XTAX+BX+C是一個(gè)二次多項(xiàng)式,且AT=A,則函數(shù)f(X)在點(diǎn)(a1,a2,an)T處達(dá)到極大值的充分必要條件是,且矩陣A是負(fù)定矩陣。,推論1.2設(shè)函數(shù)f(X)=XTAX+BX+C是一個(gè)二次多項(xiàng)式,且AT=A。則函數(shù)f(X)在點(diǎn)(a1,a2,an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是,且矩陣A是正定矩陣。,多元函數(shù)的條件極值Lagrangemultiplier,設(shè)函數(shù)u=f(x1,x2,xn)具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且有m個(gè)約束條件:,(一)約束條件問(wèn)題,(1)函數(shù)u=f(x1,x2,xn)的自變量的變化范圍受到限制,必須滿足m個(gè)約束條件。(2)要求在這m個(gè)約束條件下求解函數(shù)u=f(x1,x2,xn)的極大值或極小值函數(shù)u的條件極值。,(二)Lagrangemultiplier函數(shù),引入m個(gè)拉格朗日乘數(shù)1,2,m,構(gòu)造新的函數(shù)拉格朗日乘子函數(shù)：,(三)條件極值存在的必要條件,(四)應(yīng)用實(shí)例,設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c,每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p,銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),銷售量x與銷售價(jià)格p之間有如下關(guān)系：,其中M為市場(chǎng)最大需求量,a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析,對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算:,其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本,k是規(guī)模系數(shù).根據(jù)上述條件,應(yīng)該如何確定電視機(jī)的銷售價(jià)格p,才能使該廠獲得最大利潤(rùn)?,分析：在生產(chǎn)和銷售商品過(guò)程中,商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價(jià)格最優(yōu)價(jià)格,才能獲得最大利潤(rùn)。,解：設(shè)廠家獲得的利潤(rùn)為u,每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本為c,銷售價(jià)格為p,銷售量為x,則利潤(rùn)函數(shù)為u=(p-c)x(3)問(wèn)