新課標高中數(shù)學必修一至必修五知識點總結

高中數(shù)學常用公式及結論大全高中數(shù)學常用公式及結論大全(新課標新課標) 必修必修 1 1、集合的含義與表示 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性： 確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。 描述法格式為：元素|元素的特征，例如, 5|Nxxx且 2、常用數(shù)集及其表示方法 （1）自然數(shù)集 N（又稱非負整數(shù)集）：0、1、2、3、 （2）正整數(shù)集 N*或 N+ ：1、2、3、 （3）整數(shù)集 Z：-2、-1、0、1、 （4）有理數(shù)集 Q：包含分數(shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等 （5）實數(shù)集 R：全體實數(shù)的集合 （6）空集 ：不含任何元素的集合 3、元素與集合的關系：屬于，不屬于 例如：a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于 A，記作 aA 4、集合與集合的關系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如圖 1)， 記作或.BA AB 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q， 記作QP （2）真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一個元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如圖 2). A B或BA. （3）集合相等：若集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全相同則稱集合 A 等于集合 B,記作 A=B. BAABBA, 5、重要結論（1）傳遞性：若，則BA CB CA （2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有個元素的集合,它的子集個數(shù)共有 個；真子集有1 個；非空子集有1 個n2n2n2n (即不計空集)；非空的真子集有2 個. 2n 7、集合的運算：交集、并集、補集 （1）一般地，由所有屬于 A 又屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集 記作 AB（讀作A 交 B） ，即 AB=x|xA，且 xB B A A,B (圖 1) 或 B A (圖 2) AB （2）一般地，對于給定的兩個集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的 并集記作 AB（讀作A 并 B） ，即 AB=x|xA，或 xB （3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不屬于 A 的元素構成的集合， 叫做 A 在 U 中的補集，記作 , ACUA,U|ACUxxx且 注：討論集合的情況時，不要發(fā)遺忘了的情況。A 8、映射觀點下的函數(shù)概念 如果 A，B 都是非空的數(shù)集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函數(shù)，記作 y=f(x)， 其中 xA，yB.原象的集合 A 叫做函數(shù) y=f(x)的定義域，象的集合 C（CB）叫做函數(shù) y=f(x)的值域.函數(shù)符號 y=f(x)表示“y 是 x 的函數(shù)” ，有時簡記作函數(shù) f(x). 9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數(shù)。如 3 12 2 x x y 0 0 x x 10、求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域） 分式的分母不為零；01, 1 1 : x x y則如 偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；05,5:xxy則如 對數(shù)的底數(shù)大于且不等于；10),2(log:aaxy a 且則如 對數(shù)的真數(shù)大于；02),2(log:xxy a 則如 指數(shù)為的底不能為零；,則 x my) 1(:如01m 11、函數(shù)的奇偶性（在整個定義域內考慮） （1）奇函數(shù)滿足， 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；)()(xfxf （2）偶函數(shù)滿足， 偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱；)()(xfxf 注：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關于原點對稱; 若奇函數(shù)在原點有定義,則0)0(f 根據奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函 數(shù)。 12、函數(shù)的單調性（在定義域的某個區(qū)間內考慮） 當時，都有，則在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升； 21 xx )()( 21 xfxf)(xf 當時，都有，則在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。 21 xx )()( 21 xfxf)(xf 函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說在該區(qū)間具有單調性，該區(qū)間叫做)(xf)(xf 單調（增/減）區(qū)間 13、一元二次方程 2 0axbxc(0)a （1）求根公式: （2）判別式： a acbb x 2 4 2 2, 1 acb4 2 （3）時方程有兩個不等實根；時方程有一個實根；時方程無實根。000 （4）根與系數(shù)的關系韋達定理:， a b xx 21 a c xx 21 14、二次函數(shù)：一般式； 兩根式cbxaxy 2 (0)a )( 21 xxxxay(0)a AB ACU A （1）頂點坐標為；（2）對稱軸方程為：x=； 2 4 (,) 24 bacb aa a b 2 （3）當時，圖象是開口向上的拋物線，在 x=處取得最小值0a a b 2 a bac 4 4 2 當時，圖象是開口向下的拋物線，在 x=處取得最大值0a a b 2 a bac 4 4 2 （4）二次函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù)和判別式的關系：x 時，有兩個交點；時，有一個交點（即頂點） ；時，無交點。000 15、函數(shù)的零點 使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。例如是函數(shù)的一個零點。0)(xf 0 x1 0 x1)( 2 xxf 注：函數(shù)有零點 函數(shù)的圖象與軸有交點 方程有實根 xfy xfy x 0xf 16、函數(shù)零點的判定： 如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。 xfy ba,0)()(bfaf 那么，函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在。 xfy ba, 0,cfbac使得 17、分數(shù)指數(shù)冪 （，且）0,am nN 1n （1）.如；(2) . 如；（3）； nm n m aa 2 3 3 xx nm n m n m a a a 11 2 3 3 1 x x ()n n aa （4）當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時，.n nn aan ,0 | ,0 nn a a aa a a 18、有理指數(shù)冪的運算性質（）Qsra, 0 （1）； （2）； （3） srsr aaa rssr aa)( rrr baab)( 19、指數(shù)函數(shù)（且） ，其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是 R x ay 0a1axa 1a10 a 圖 象 （1）定義域：R （2）值域：（0，+） （3）過定點（0，1） ，即 x=0 時，y=1 性 質 （4）在 R 上是增函 數(shù) （4）在 R 上是減函數(shù) x y 0 x y 0 1 x y 0 1 20、若，則 叫做以 為底的對數(shù)。記作：（，）NabNbN a log1, 0aa0N 其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做對數(shù)的真數(shù)。aN 注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式：log b a NbaN(0,1,0)aaN 21、對數(shù)的性質 （1）零和負數(shù)沒有對數(shù)，即中；N a log0N （2）1 的對數(shù)等于 0，即 ；底數(shù)的對數(shù)等于 1，即 01log a 1loga a 22、常用對數(shù)：以 10 為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為：NlgNNlglog10 自然對數(shù)：以 e(e=2.71828)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為：NlnNN e lnlog 23、對數(shù)恒等式：Na N a log 24、對數(shù)的運算性質（a0，a1，M0，N0） (1); (2) ;log ()loglog aaa MNMNlogloglog aaa M MN N (3) （注意公式的逆用）loglog() n aa MnM nR 25、對數(shù)的換底公式 (,且,且, ). log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推論或； . 1 log log a b b a loglog m n a a n bb m 26、對數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是xy a log0a1axa ), 0( 1a10 a 圖像 定義域：(0, ) 值域：R 過定點（1，0） 性質 增函數(shù)減函數(shù) 取值范圍 0x0 01 時，y 0 時，有. 小于取中間 2 2 xaxaaxa 或.大于取兩邊 22 xaxaxaxa (2)、解一元二次不等式 的步驟：)0( , 0 2 acbxax 求判別式 acb4 2 000 求一元二次方程的解： 兩相異實根 一個實根 沒有實根 畫二次函數(shù)的圖象 cbxaxy 2 結合圖象寫出解集 解集 R0 2 cbxax 12 xxxxx交 a b xx 2 解集 0 2 cbxax 21 xxxx 注：解集為 R 對恒成立 0 2 cbxax)0(a0 2 cbxaxRx0 （3）高次不等式：數(shù)軸標根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下) （4）分式不等式：先移項通分，化一邊為 0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。 如解分式不等式 ：先移項 通分1 1 x x ; 01 1 x x ; 0 ) 1( x xx 再除變乘，解出。0) 12(xx 0CByAx 直線0CByAx 0CByAx 87、線性規(guī)劃： （1）一條直線將平面分為三部分（如圖）： （2）不等式表示直線0CByAx0CByAx 某一側的平面區(qū)域，驗證方法：取原點（0，0）代入不 等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點所在的一側。假如 直線恰好經過原點，則取其它點來驗證，例如取點（1，0） 。 （3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個頂點的坐標，代入目標函數(shù)，最z 大的為最大值。 選修選修 1-1 88、充要條件 （1）若，則是充分條件，是必要條件.pqpqqp （2）若，且，則是充要條件.pqqppq 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 89、邏輯聯(lián)結詞。 “p 或 q”記作：pq; “p 且 q”記作：pq; 非 p 記作：p 90、四種命題： 原命題：若 p，則 q 逆命題：若 q，則 p 否命題：若p，則q 逆否命題：若q，則p 注意：（1）原命題與逆否命題同真同假，但逆命題的真假與否命題之間沒有關系； （2）p 是指命題 P 的否定，注意區(qū)別“否命題” 。例如命題 P：“若，則” ，0a0b 那么 P 的“否命題”是：“若，則” ，而p 是：“若，則” 。0a0b0a0b 91、全稱命題：含有“任意” 、 “所有”等全稱量詞（記為）的命題，如 P： 0) 1( , 2 xRx 特稱命題：含有“存在” 、 “有些”等存在量詞（記為）的命題，如 q：1, 2 xRx 注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題， 如上述命題 p 和 q 的否定：p：， q：0) 1( , 2 mRm1, 2 xRx 92、橢圓 定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點，P 為動點，且(為常數(shù))則 P 點的軌跡是橢圓。aPFPF2 21 a 標準方程：焦點在 x 軸: ； 焦點在 y 軸: 1 2 2 2 2 b y a x )0( ba1 2 2 2 2 b x a y ；)0( ba 長軸長=，短軸長=2b 焦距：2c 恒等式：a2-b2=c2 離心率：a2 a c e 93、雙曲線 定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點，（為常數(shù)） ，則動點 P 的軌跡是雙曲線。aPFPF2 21 a 圖形：如圖 標準方程： 焦點在 x 軸: 1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(ba 焦點在 y 軸: 1 2 2 2 2 b x a y )0, 0(ba 實軸長=，虛軸長=2b， 焦距：2c a2 恒等式：a2+b2=c2 離心率： a c e 漸近線方程：當焦點在 x 軸時，漸近線方程為；當焦點在 y 軸時，漸近線方程為x a b y x b a y 等軸雙曲線：當時，雙曲線稱為等軸雙曲線，可設為。ba 22 yx 94、拋物線 定義：到定點 F 距離與到定直線 的距離相等的點 M 的軌跡是拋物線（如左下圖 MF=MH） 。l 圖形： 方程 )0( ,2 2 ppxy 2 2,(0)ypxp 2 2,(0)xpyp 2 2,(0)xpyp 焦點： F F F F) 0 , 2 ( p (,0) 2 p (0,) 2 p (0,) 2 p 準線方程： 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 注意：幾何特征：焦點到頂點的距離=；焦點到準線的距離=； 2 p p 95導數(shù)的幾何意義：表示曲線在處的切線的斜率；)( 0 / xf)(xf 0 xx k 導數(shù)的物理意義：表示運動物體在時刻處的瞬時速度。)( 0 / xf 0 x 96、幾種常見函數(shù)的導數(shù) F) 0 , 2 ( p 準線 F M H (1) （C 為常數(shù)）. (2) .0C)()( 1 Qnnxx nn (3) . (4) .xxcos)(sinxxsin)(cos (5) ；. (6) ;. （7） x x 1 )(lnaaa xx ln)( xx ee ) ( 2 1 ) 1 ( xx 97、導數(shù)的運算法則 （1）. （2）. （3）. ()uvuv ()uvuvuv 2 ( )(0) uuvuv v vv 98函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負的關系： 在某個區(qū)間（a , b）內，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；0)( xf)(xfy 如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減。0)( xf)(xfy 注：若函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增，則)(xfy 0)( xf 若函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減，則)(xfy 0)( xf 99、判別是極大（?。┲档姆椒?( 0 xf (1)求導；)(x f （2）令=0，解方程，求出所有實根)(x f 0 x （3）列表，判斷每一個根左右兩側的正負情況： 0 x)( xf 如果在附近的左側，右側，則是極大值； 0 x0)( x f0)( x f)( 0 xf 如果在附近的左側，右側，則是極小值. 0 x0)( x f0)( x f)( 0 xf 100、求函數(shù)在閉區(qū)間a , b上的最值的步驟： （1）求函數(shù)的所有極值；)(xf （2）求閉區(qū)間端點函數(shù)值；)(),(bfaf （3）將各極值與比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。)(),(bfaf 注意：（1）無論是極值還是最值，都是函數(shù)值，即，千萬不能寫成導數(shù)值。)( 0 xf)( 0 / xf （2）若在某區(qū)間內只有一個極值，則不用與端點比較也知道這個極值就是函數(shù)的最值。 選修選修 1-2 101、復數(shù)，其中叫做實部，叫做虛部zabiab (1)復數(shù)的相等 .（） ,abicdiac bd, , ,a b c dR (2)當 a=0,b0 時,z=bi 為純虛數(shù); (3)當 b=0 時,z=a 為實數(shù); (4)復數(shù) z 的共軛復數(shù)是biaz 極大值 極小值 (5)復數(shù)的模=.zabi| z 22 ab (6)i2 =-1, （-i）2 =-1. (7) 復數(shù)對應復平面上的點，zabi( , )a b 102、復數(shù)的四則運算法則 (1)加：; ;()()()()abicdiacbd i (2)減：; ;()()()()abicdiacbd i (3)乘：; ;類似多項式相乘()()()()abi cdiacbdbcad i (4)除：（分子、分母乘分母共軛復數(shù)，此法稱為“分母實數(shù)化” ） )( )( dicdic dicbia dic bia 103、常用不等式： （1）重要不等式:若，則(當且僅當 ab 時取“=”號), a bR 22 2abab （2）基本不等式:若，則 (當且僅當 ab 時取“=”號)0, 0baabba2 基本不等式的適用原則可口訣表示為：一正、二定、三相等 當為定值時，有最小值，簡稱“積定和最小”abba 當為定值時，有最大值，簡稱“和定積最大”ba ab 104、推理： （1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊） （2）演繹推理：從一般到特殊。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原 理） 、小前提（所研究的特殊情況） 、結論（根據一般原理，對特殊情況得出的判斷） 105、證明： （1）直接證明：包括綜合法（又叫由因導果法）和分析法（又叫執(zhí)果索因法） （2）間接證明：又叫反證法，通常假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此 說明假設錯誤，從而證明原命題成立。 坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程 106、極坐標系：其中 |OM （1）如圖，點 M 的極坐標為),( （2）極坐標與直角坐標的互化公式： ; ，sin,cosyx 222 yx x y tan 107、參數(shù)方程形如（*）)( , )( )( 為參數(shù)t tgy tfx 參數(shù)方程是借助參數(shù) ，間接給出之間的關系,而普通方程是直接給出與的關系，tyx,xy 如01 yx 極點 O 極徑 點 M),(yx )極角 極軸x y x （1）圓的參數(shù)方程是 222 ryx)( , sin cos 為參數(shù) ry rx （2）橢圓的參數(shù)方程1 2 2 2 2 b y a x )0,( , sin cos ba by ax 為參數(shù) （3）參數(shù)方程與普通方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù)，得到普通方程。 消去參數(shù)的方法有：公式法：用公式等1cossin 22 代入法：方程（*）中，由解出，代入)(tfx )(xht )(tgy 加減消元法：方程（*）中，兩式相加（減）消去參數(shù)t 請同學們試著將圓的參數(shù)方程，化為圓的標準方程)( , sin cos 為參數(shù) rby rax _，說說你用的是什么方法？ 提示：解參數(shù)方程問題，通常先將參數(shù)方程化為普通方程，再求解。 幾何證明選講幾何證明選講 108平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上 截得的線段也相等。 推論 1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊 推論 2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分國一腰 109平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比