第6章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計.ppt

1、第6章 有限脈沖響應(yīng)數(shù) 字濾波器的設(shè)計,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器,IIR DF的特點 1、DF的設(shè)計依托AF的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。 2、相位的非線性 IIR DF設(shè)計時只考慮了幅值特性，沒有考慮相位特性，所設(shè)計的濾波器相位特性一般是非線性的，從而導(dǎo)致輸出信號在通帶內(nèi)產(chǎn)生畸變，這是IIR filter的一大缺點。 3、用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，可以得線性特性。但是設(shè)計復(fù)雜，成本較高。,FIR DF的特點 1、單位取樣響應(yīng)h（n）是有限長的實序列，因此FIR DF一定是穩(wěn)定的。 2、FIR的相位特性可以是線性的，因此它有更廣泛的應(yīng)用。

2、,設(shè)計任務(wù)：選擇有限長度的h(n)，使H(ej)滿足技術(shù)要求，如：窗函數(shù)法。,1. 線性相位條件 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為,(7.1.1),(7.1.2),Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。 注意，這里Hg()不同于|H(ej)|，是一個純實數(shù)，可能取負(fù)數(shù)。,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點,H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù) 第一類線性相位（嚴(yán)格線性相位） ()=, 為常數(shù) (7.1.3) 第二類線性相位（廣義線性相位） ()=0,0是起始相位 (7.1.4) 均滿足：,線性相位FIR數(shù)字濾波器也稱線性相位FIR 系統(tǒng)。 線性相位FIR 系統(tǒng)廣泛應(yīng)用在數(shù)據(jù)通信

3、、圖像信號處理等領(lǐng)域，在實際工程中具有重要意義。 但并不是FIR 系統(tǒng)就具有線性相位，只有滿足一定條件的FIR 系統(tǒng)才具有線性相位。,滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6),(1) 第一類線性相位條件證明：,將(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(7.1.7),按照上式可以將H(z)表示為,將z=e j代入上式，得到：,按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為,(7.1

4、.8),(7.1.9),(2) 第二類線性相位條件證明：,(7.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(7.1.11),(7.1.12),LP,HP BP,BS,LP,BP,2.線性相位FIR濾波器的Hg()特點,BP,HP,BP,奇對稱單位脈沖響應(yīng) h(n)=-h(N-1-n),一旦確定了h(n) 的對稱條件以及時寬N的奇、偶條件， 那么線性相位FIR系統(tǒng)的類型也就隨之確定。 了解了FIR線性相位濾波器的部分頻率特性，使我們在設(shè)計使用數(shù)字濾波器時，可根據(jù)需要選擇合適的濾波器類型，并在設(shè)計時遵循它們的約束條件。,3. 線性相位FIR濾波器零點分布特

5、點 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來用下式表示：,(7.1.21),圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點分布,零點： Zi, Zi-1, Zi*, (Zi*)-1,圖4.2 線性相位FIR濾波器的四種不同零點結(jié)構(gòu),1、設(shè)計思想 先給定理想filter的頻響 ，要求設(shè)計一個 FIR的filter的頻響為 ，使 逼近 2、設(shè)計過程 設(shè)計是在時域進(jìn)行的，先用傅氏反變換求出理 想filter的單位抽樣響應(yīng) ，然后加窗函數(shù) 對 截斷，以求得FIR filter的單位抽樣響應(yīng)h(n)。,7.2 窗函數(shù)設(shè)計法,例如，理想低通filter 是矩形的，則,一定是無限長的且是非因果的。,假設(shè)理想低通fi

6、lter的時域響應(yīng),為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2偶對稱，則要求 。,用一個有限長的序列h(n)去取代hd(n)，肯定會引起誤差，該誤差引起通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的波動，從而滿足不了技術(shù)指標(biāo)要求。,假設(shè)采用矩形窗RN(n)進(jìn)行截斷，加窗就是實行乘操作，設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),分析矩形窗截斷的影響,對(7.2.3)式進(jìn)行FT，根據(jù)頻域卷積定理，得到：,式中，Hd(ej)和RN(ej)分別是hd(n)和RN(n)的FT。,RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)；,按照(7.2.1)式，理想低通濾

7、波器的幅度特性Hd()為,(7.2.5),將Hd(ej)寫成下式：,將H(ej)寫成下式：,(7.2.6),說明濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hd()與矩形窗幅度特性RN() 的卷積。,主瓣,副瓣,N增加，主瓣的高度增加而寬度減小，副瓣的寬度也減小，但主瓣相對副瓣的比例不變。,N,矩形窗對理想低通幅度特性的影響,將H(0)歸一化到1,1.即當(dāng)c 2/N，H(0)近似等于RN()的全部面積。,2.H(c )卷積值正好是H(0)的一半,3.整個主瓣在積分區(qū)間內(nèi)，一個最大的負(fù)旁瓣在積分區(qū)間外，此時卷積值最大，響應(yīng)出現(xiàn)正峰值。,4.整個主瓣在積分區(qū)間外，一個大的負(fù)旁瓣在積分區(qū)間內(nèi)，此時卷

8、積值最小，響應(yīng)出現(xiàn)負(fù)峰值。,卷積造成H()的頻響起伏如下：,=0,=0,即當(dāng)c 2/N，H(0)近似等于WR()的全部面積。, =0,若c 2/N,卷積值正好是H(0)的一半，即, =c,整個主瓣在積分區(qū)間內(nèi)，一個大的旁瓣在積分區(qū)間外，,此時卷積值最大，響應(yīng)出現(xiàn)峰值。, =c 2 /N,整個主瓣在積分區(qū)間外，一個大的旁瓣在積分區(qū)間內(nèi)，,此時卷積值最小，響應(yīng)出現(xiàn)谷值。, =c +2/N,主、旁瓣在通、阻帶的面積變化而起伏。, 0的情況可以對稱得到。,當(dāng)在=c 2/N兩邊變化，卷積值隨著WR()的,=4/N 過渡帶寬與主瓣寬度相同。,窗函數(shù)對原理想低通Hd()的影響： (1)在理想特性不連續(xù)點=c

9、附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值（肩峰）在c2/N處，影響了濾波器通帶的平穩(wěn)性；阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處，影響了阻帶最小衰減，阻帶內(nèi)最大負(fù)肩峰為-8.95% ，對應(yīng)的阻帶最小衰減為-20lg0.089 21dB。,(3) N增加最大的好處是過渡帶減小,但N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，即不能改變波動的幅度，只能使RN（）的絕對值幅值變大，頻率軸變密。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管N怎樣改變，最大肩峰總是 8.95% 。,這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng)。,用矩形窗設(shè)計的c=p/2 ，F(xiàn)IR濾波器的幅度

10、響應(yīng),0,0.25,0.5,0.75,1,-40,-30,-21,-10,0,N=15,N=31,減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶的衰減只能從各種窗函數(shù) 的形式上找到解決方法。 對窗函數(shù)要求 a）窗函數(shù)的譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度就減小了，這樣可使通帶和阻帶波動減小，肩峰值減小。 b）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這是因為過渡帶等于主瓣寬度。,但是這兩個要求通常是互相矛盾的。 由于矩形窗是突然截斷的，所以矩形窗的頻譜包含較多的高頻分量，所以旁瓣的相對幅度比較大。 為了減小窗函數(shù)旁瓣的幅度，可以選擇在時域幅度是逐漸減小的窗函數(shù)。這類窗函數(shù)的特點是減小了窗函數(shù)旁瓣的相對幅度，增加了

11、主瓣的寬度。,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應(yīng)為,2. 三角形窗(Bartlett Window巴特利特),(7.2.8),其頻率響應(yīng)為,(7.2.9),阻帶最大衰減25dB，只比矩形窗提高了4dB,過渡帶=8/N ,比矩形窗寬了一倍；,3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗,當(dāng)N1時，N-1N，,圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性,此時幅度函數(shù)為三項頻譜之和，如圖所示。由三部分頻譜的疊加，使旁瓣得到很大的抵消，使能量有效的集

12、中在主瓣之內(nèi)。不過主瓣的寬度增加了一倍。,升余弦窗的技術(shù)指標(biāo)為,過渡帶=8/N（主瓣寬度）,阻帶最大衰減44dB,4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗，海明窗,(7.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e j)為,其幅度函數(shù)WHm()為,當(dāng)N1時，可近似表示為,改進(jìn)升余弦窗的技術(shù)指標(biāo)為,過渡帶=8/N（主瓣寬度）,阻帶最大衰減54dB,與升余弦窗相比在過渡帶相同情況下，獲得了更 好的旁瓣抑制及阻帶衰減。,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(7.2.14),過渡帶=12/N（主瓣寬度）,阻帶最小衰減74dB,布萊克曼窗的技術(shù)指標(biāo)為,6、Kai

13、ser（凱塞或凱澤）窗,其中I0(x)是零階貝塞爾函數(shù)。,圖7.2.4 常用的窗函數(shù)包絡(luò)形狀,圖7.2.4 常用的窗函數(shù)包絡(luò)形狀,圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,表7.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),總結(jié)： 窗函數(shù)主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶； 相對主瓣的幅度，旁瓣要盡可能小，使能量可以集中在主瓣，這樣可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。,用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟: (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響 應(yīng)hd(n)。 給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：,(7.2.17),例如，理想低通濾波器:,(7.2.1),(7.2.2),(2)根據(jù)對阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式；并根據(jù)對過渡帶的要求估計窗口長度N，濾波器的過渡帶近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 參見表7.2.2 原則：在保證阻帶衰減的情況滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。,(3) 計算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n) h(n)=hd(n)w(n) w(n)