傅里葉變換公式.doc

1、 第2章 信號分析本章提要n 信號分類n周期信號分析-傅里葉級數(shù)n非周期信號分析-傅里葉變換n脈沖函數(shù)及其性質(zhì)信號：反映研究對象狀態(tài)和運(yùn)動特征的物理量信號分析：從信號中提取有用信息的方法和手段 21 信號的分類l兩大類：確定性信號，非確定性信號 確定性信號：給定條件下取值是確定的。 進(jìn)一步分為：周期信號，非周期信號。 非確定性信號（隨機(jī)信號）：給定條件下取值是不確定的l按取值情況分類：模擬信號，離散信號數(shù)字信號：屬于離散信號，幅值離散，并用二進(jìn)制表示。l信號描述方法 時(shí)域描述 如簡諧信號 頻域描述 以信號的頻率結(jié)構(gòu)來描述信號的方法:將信號看成許多諧波（簡諧信號）之和，每一個(gè)諧波稱作該信號的一個(gè)

2、頻率成分，考察信號含有那些頻率的諧波，以及各諧波的幅值和相角。22 周期信號與離散頻譜一、周期信號傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式l 周期信號時(shí)域表達(dá)式T：周期。注意n的取值：周期信號“無始無終”#l 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式 （n=1, 2, 3，） 傅立葉系數(shù)： 式中 -周期；w0-基頻, w0=2p/T。 l三角函數(shù)展開式的另一種形式： 周期信號可以看作均值與一系列諧波之和-諧波分析法l頻譜圖 l周期信號的頻譜三個(gè)特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性l 例1：求周期性非對稱周期方波的傅立葉級數(shù)并畫出頻譜圖解：解：信號的基頻傅里葉系數(shù)n次諧波的幅值和相角最后得傅立葉級數(shù)頻譜圖幅頻譜圖 相頻譜圖二、周期信

3、號傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式l歐拉公式 或 l傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式 l復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù)的表達(dá)式 其中an，bn的計(jì)算公式與三角函數(shù)形式相同，只是n包括全部整數(shù)。l一般cn是個(gè)復(fù)數(shù)。 因?yàn)閍n是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)，因此 # 即：實(shí)部相等，虛部相反，cn與c-n共軛。lcn的復(fù)指數(shù)形式共軛性還可以表示為，即：cn與c-n模相等，相角相反。l傅立葉級數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號頻率結(jié)構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系 對于n0 （等于三角函數(shù)模的一半） （與三角函數(shù)形式中的相角相等） l用cn畫頻譜：雙邊頻譜第一種：幅頻譜圖:|cn|-w，相頻譜圖: jn- w第二種：實(shí)譜頻譜圖:Recn- w，虛頻譜圖：Im

4、cn- w；也就是an- w 和-bn- w .#23 非周期信號與連續(xù)頻譜分兩類：a.準(zhǔn)周期信號 定義：由沒有公共周期（頻率）的周期信號組成頻譜特性：離散性，非諧波性判斷方法：周期分量的頻率比（或周期比）不是有理數(shù)b.瞬變非周期信號幾種瞬變非周期信號數(shù)學(xué)描述：傅里葉變換一、傅里葉變換演變思路：視作周期為無窮大的周期信號式（2.22）借助（2.16）演變成：定義x(t)的傅里葉變換X() X()的傅里葉反變換x(t):l傅里葉變換的頻譜意義：一個(gè)非周期信號可以分解為角頻率w 連續(xù)變化的無數(shù)諧波的疊加。稱X(w)其為函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù)。l對應(yīng)關(guān)系：X(w)描述了x(t)的頻率結(jié)構(gòu)X(w)

5、的指數(shù)形式為l以頻率 f (Hz)為自變量，因?yàn)閒 =w/(2p)，得 X( f )的指數(shù)形式 l頻譜圖幅值頻譜圖和相位頻譜圖：實(shí)頻譜圖ReX()和虛頻譜圖Im()如果X(w)是實(shí)函數(shù)，可用一張X(w)圖表示。負(fù)值理解為幅值為X(w)的絕對值，相角為或。二、傅里葉變換的主要性質(zhì)（一）疊加性（二）對稱性 （注意翻轉(zhuǎn)）（三）時(shí)移性質(zhì)（幅值不變，相位隨 f 改變2pft0）（四）頻移性質(zhì) （注意兩邊正負(fù)號相反）（五）時(shí)間尺度改變特性 （六）微分性質(zhì)（七）卷積性質(zhì) （1）卷積定義 （2）卷積定理三、脈沖函數(shù)及其頻譜（一）脈沖函數(shù)：定義d函數(shù)（要通過函數(shù)值和面積兩方面定義）函數(shù)值： 脈沖強(qiáng)度（面積） （二）脈沖函數(shù)的樣質(zhì)1脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì)：函數(shù)值：強(qiáng)度：結(jié)論：1.結(jié)果是一個(gè)脈沖，脈沖強(qiáng)度是x(t)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的函數(shù)值 2.脈沖函數(shù)與任意函數(shù)乘積的積分等于該函數(shù)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的的值。2脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì)：(a) 利用結(jié)論2 (b)