離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

1、.二項分布【知識點】1. 次獨立重復(fù)試驗：在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立2. 次獨立重復(fù)試驗的概率：一般地，事件在次試驗中發(fā)生次，其有種情形，由試驗的獨立性知在次試驗中發(fā)生，而在其余次試驗中不發(fā)生的概率都是，所以由概率加法公式知，如果在一次試驗中事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為3. 二項分布:在上公式中，若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是.其中于是得到的分布列01.各對應(yīng)項的值,所以稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為的二項分布,記作4.離散型隨機變量的數(shù)學期望一般地,設(shè)一個離散型隨機變

2、量所有可能取的值是這些對應(yīng)的概率是,則叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望.5. 二項分布的數(shù)學期望:【經(jīng)典例題】【例1】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下. 根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品. 壽命（天）頻數(shù)頻率合計（）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出的值；（）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求的最小值； （）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購

3、買的燈泡中次品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.1、【答案】（）解：，. （）解：由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有個，正品有個，次品有個，所以優(yōu)等品、正品和次品的比例為. 所以按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)，所以的最小值為 （）解：的所有取值為. 由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為， 從本批次燈泡中購買個，可看成次獨立重復(fù)試驗，所以，. 所以隨機變量的分布列為：所以的數(shù)學期望【例2】甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃（）記甲投中的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（）求乙至多投中次的概率；（）求乙恰好比甲多投進次的概率2.【答案】解：（

4、）的可能取值為： 的分布列如下表： （）乙至多投中次的概率為 （）設(shè)乙比甲多投中次為事件A，乙恰投中次且甲恰投中次為事件，乙恰投中次且甲恰投中次為事件，則為互斥事件 所以乙恰好比甲多投中次的概率為 【例3】某商場一號電梯從1層出發(fā)后可以在層停靠.已知該電梯在層載有位乘客，假設(shè)每位乘客在層下電梯是等可能的.() 求這位乘客中至少有一名乘客在第層下電梯的概率；() 用表示名乘客在第層下電梯的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.3【答案】解：() 設(shè)位乘客中至少有一名乘客在第層下電梯的事件為, 由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是，則 . () 的可能取值為 由題意可得每個人在第層下電梯的概率均為，且

5、每個人下電梯互不影響，所以，. . 【易錯題】【例1】經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類會引起汞中毒，其中羅非魚體內(nèi)汞含量比其它魚偏高現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚中隨機地抽出條作樣本，經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點前的數(shù)字為莖，小數(shù)點后一位數(shù)字為葉）如下：羅非魚的汞含量（ppm）中華人民共和國環(huán)境保護法規(guī)定食品的汞含量不得超過ppm（）檢查人員從這條魚中，隨機抽出條，求條中恰有條汞含量超標的概率；（）若從這批數(shù)量很大的魚中任選條魚，記表示抽到的汞含量超標的魚的條數(shù)以此條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù)，求的分布列及數(shù)學期望1.【答案】解：（）記“條魚中任選條恰好有條

6、魚汞含量超標”為事件，則，條魚中任選條恰好有條魚汞含量超標的概率為. （）依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標的魚的概率， 可能取，. 則 ，其分布列如下：所以. 【例2】某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，.（）求直方圖中的值；（）如果上學所需時間不少于小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校名新生中有多少名學生可以申請住宿；（）從學校的新生中任選名學生，這名學生中上學所需時間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望.（以直方圖中新生上學所需時間少于分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于分鐘

7、的概率）2、【答案】解：（）由直方圖可得：.所以 . （）新生上學所需時間不少于小時的頻率為：， 因為，所以600名新生中有72名學生可以申請住宿. （）的可能取值為. 由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于分鐘的概率為，, ,. 所以的分布列為：.（或）所以的數(shù)學期望為. 【例3】國家對空氣質(zhì)量的分級規(guī)定如下表：污染指數(shù)空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染某市去年6月份30天的空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下： 根據(jù)以上信息，解決下列問題：（）寫出下面頻率分布表中的值；（）某人計劃今年月份到此城市觀光天，若將（）中的頻率作為概率，他遇到空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)用表示，求的分布列和均值.頻率分

8、布表分組頻數(shù)頻率合計3.解：（）, （）由題意，該市4月份空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為P=， . 的分布列為: , . 【例4】某市規(guī)定，高中學生三年在校期間參加不少于小時的社區(qū)服務(wù)才合格教育部門在全市隨機抽取位學生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段，（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示（）求抽取的位學生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于小時的學生人數(shù)，并估計從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于小時的概率；組距頻率0.0050.07575808590950.0201000.0400.060服務(wù)時間/小時O（）從全市高中學生（人數(shù)很多）中任意選取位學生，記為位學生中參加社區(qū)服務(wù)時間不

9、少于小時的人數(shù)試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望4.【答案】解：（）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段小時的學生人數(shù)為（人），參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段小時的學生人數(shù)為（人）所以抽取的位學生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于小時的學生人數(shù)為人所以從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于小時的概率估計為 （）由（）可知，從全市高中生中任意選取人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于小時的概率為由已知得，隨機變量的可能取值為所以；隨機變量的分布列為 因為 ，所以 【課后測試】1.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（）求甲

10、以比獲勝的概率；（）求乙獲勝且比賽局數(shù)多于局的概率；（）求比賽局數(shù)的分布列.1.【答案】（）解：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是 記“甲以比獲勝”為事件，則 （）解：記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于局”為事件.因為，乙以比獲勝的概率為， 乙以比獲勝的概率為， 所以 （）解：設(shè)比賽的局數(shù)為，則的可能取值為 ， ， ， 比賽局數(shù)的分布列為： HCA1A2B1B2L1L2A32.張先生家住小區(qū)，他在科技園區(qū)工作，從家開車到公司上班有兩條路線（如圖），路線上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，（）若走路線，求最多遇到次紅燈的概率；（）若走路線

11、，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望；（）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由2、【答案】解：（）設(shè)走路線最多遇到1次紅燈為事件，則 所以走路線，最多遇到次紅燈的概率為（）依題意，的可能取值為 ， ， 隨機變量的分布列為： （）設(shè)選擇路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機變量服從二項分布，所以 因為，所以選擇路線上班最好 3.為提高學生學習數(shù)學的興趣,某地區(qū)舉辦了小學生“數(shù)獨比賽”.比賽成績共有五種,按本次比賽成績共分五個等級.從參加比賽的學生中隨機抽取了名學生,并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)表:成績等級成績(分)人數(shù)(名)()根

12、據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù),試估計從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生中任意抽取一人,其成績等級為“ 或”的概率;()根據(jù)()的結(jié)論,若從該地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生(參賽人數(shù)很多)中任選人,記表示抽到成績等級為“或”的學生人數(shù),求的分布列及其數(shù)學期望;()從這名學生中,隨機選取人,求“這兩個人的成績之差大于分”的概率.3、【答案】解:()根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,從這名學生中任選一人,分數(shù)等級為“或”的頻率為. 從本地區(qū)小學生中任意抽取一人,其“數(shù)獨比賽”分數(shù)等級為“ 或”的概率約為 ()由已知得,隨機變量的可能取值為. 所以; ;. 隨機變量的分布列為 所以 ()設(shè)事件M: 從這名學生中,隨機選取人,這兩個人

13、的成績之差大于分. 設(shè)從這名學生中,隨機選取人,記其比賽成績分別為. 顯然基本事件的總數(shù)為. 不妨設(shè), 當時,或或,其基本事件數(shù)為; 當時,或,其基本事件數(shù)為; 當時,其基本事件數(shù)為; 所以. 所以從這30名學生中,隨機選取2人,這兩個人的成績之差大于分的概率為 4.在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下. 根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品. 壽命（天）頻數(shù)頻率合計（）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出的值；（）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的等級

14、情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求的最小值； （）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.4.【答案】（）解：，. （）解：由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有個，正品有個，次品有個，所以優(yōu)等品、正品和次品的比例為. 所以按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)，所以的最小值為 （）解：的所有取值為. 由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為， 從本批次燈泡中購買3個，可看成3次獨立重復(fù)試驗，所以，. 所以隨機變量的分布列為：所以的數(shù)學期望5.為提高學生學習數(shù)學的興趣,某地區(qū)舉辦了小學生“數(shù)獨比賽”.比賽成績共有五

15、種,按本次比賽成績共分五個等級.從參加比賽的學生中隨機抽取了名學生,并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)表:成績等級成績(分)人數(shù)(名)()根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù),試估計從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生中任意抽取一人,其成績等級為“ 或”的概率;()根據(jù)()的結(jié)論,若從該地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學生(參賽人數(shù)很多)中任選人,記表示抽到成績等級為“或”的學生人數(shù),求的分布列及其數(shù)學期望;()從這名學生中,隨機選取人,求“這兩個人的成績之差大于分”的概率.5.【答案】解:()根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,從這名學生中任選一人,分數(shù)等級為“或”的頻率為. 從本地區(qū)小學生中任意抽取一人,其“數(shù)獨比賽

16、”分數(shù)等級為“ 或”的概率約為 ()由已知得,隨機變量的可能取值為. 所以; ;. 隨機變量的分布列為 所以 ()設(shè)事件M: 從這名學生中,隨機選取人,這兩個人的成績之差大于分. 設(shè)從這名學生中,隨機選取人,記其比賽成績分別為. 顯然基本事件的總數(shù)為. 不妨設(shè), 當時,或或,其基本事件數(shù)為; 當時,或,其基本事件數(shù)為; 當時,其基本事件數(shù)為; 所以. 所以從這30名學生中,隨機選取2人,這兩個人的成績之差大于分的概率為 【課后作業(yè)】1.某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min。（）求這名學生在上學路上到第三個路口

17、時首次遇到紅燈的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望。2.為保護水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準備去附近的甲、乙、丙三家公園進行宣傳活動，每名志愿者都可以從三家公園中隨機選擇一家，且每人的選擇相互獨立.（）求4人恰好選擇了同一家公園的概率；（）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為，試求的分布列及期望3.為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（

18、）求該產(chǎn)品不能銷售的概率；（）如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損元（即獲利元）.已知一箱中有產(chǎn)品件，記一箱產(chǎn)品獲利元，求的分布列，并求出均值3、【答案】解：（）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件，則.所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為. （）由已知，可知的取值為. ， ，. 所以的分布列為 4.某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進經(jīng)濟發(fā)展有大的提速，對市民進行了“生活滿意”度的調(diào)查現(xiàn)隨機抽取位市民，對他們的生活滿意指數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到如下分布表：滿意級別 非常滿意 滿意 一般 不滿意滿意指數(shù)（分）人數(shù)（個）（I）求這位市民滿意指數(shù)的平均值；（II）以這人為樣本的滿意

19、指數(shù)來估計全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選人，記表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù)求的分布列；（III）從這位市民中，先隨機選一個人，記他的滿意指數(shù)為，然后再隨機選另一個人，記他的滿意指數(shù)為，求的概率4.解：（）記表示這40位市民滿意指數(shù)的平均值，則（分）（）的可能取值為0、1、2、3. 的分布列為12（）設(shè)所有滿足條件的事件為滿足的事件數(shù)為：滿足的事件數(shù)為：滿足的事件數(shù)為：所以滿足條件的事件的概率為.5.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的

20、2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.5【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）記事件從甲箱中摸出的1個球是紅球，從乙箱中摸出的1個球是紅球 顧客抽獎1次獲一等獎，顧客抽獎1次獲二等獎，顧客抽獎1次能獲獎，則可知與相互獨立，與互斥，與互斥，且，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得，即可知的概率分布及其期望.試題解析：（1）記事件從甲箱中摸出的1個球是紅球，從乙箱中摸出的1個球是紅球 顧客抽

21、獎1次獲一等獎，顧客抽獎1次獲二等獎，顧客抽獎1次能獲獎，由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且， ，故所求概率為；（2）顧6.某學科測試中要求考生從三道題中任選一題作答,考試結(jié)束后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有600名學生參加測試.選擇三題答卷數(shù)如下表：題答卷數(shù)180300120（）某教師為了解參加測試的學生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答卷中抽出若干份答卷，其中從選擇題的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇題的答卷中抽出多少份？（）若在（）問中被抽出的答卷中，三題答卷得優(yōu)的份數(shù)都是.從被抽出的三題答卷中再各抽出1份，求這3份答卷恰有1份得優(yōu)的概率；（）測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，題的答卷得優(yōu)的有100份

22、，若以頻率作為概率，在（）問中被抽出的選擇題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學期望6（）由題意可得：題答卷數(shù)180300120抽取的答卷數(shù)352應(yīng)分別從題的答卷中抽取5份，2份.4分（）記事件：被抽取的三種答卷中分別再各任取1份，這3份答卷恰有1份得優(yōu)，可知只能題答卷為優(yōu).依題意8分（）由題意可知，題答卷得優(yōu)的概率是顯然被抽取的題的答卷中得優(yōu)的份數(shù) 的可能取值為，且；隨機變量的分布列為012345所以.13分7.甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響.若三人中只有甲破譯出密碼的概率為.（）求甲乙二人中至少有一人破

23、譯出密碼的概率；（）求的值；（）設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.7.【答案】記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件，依題意有且相互獨立.（）甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為. （）設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為事件，則有， 所以，. （）的所有可能取值為. 所以，= . 分布列為：所以，. 8.生產(chǎn)兩種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于為正品，小于為次品現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：測試指標元件元件（）試分別估計元件，元件為正品的概率；（）生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利元，若是次品則虧損元；生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利元，

24、若是次品則虧損元 .在（）的前提下，（）記為生產(chǎn)件元件和件元件所得的總利潤，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（）求生產(chǎn)件元件所獲得的利潤不少于元的概率8.【答案】（）解：元件為正品的概率約為 元件為正品的概率約為 （）解：（）隨機變量的所有取值為 ； ； 所以，隨機變量的分布列為: （）設(shè)生產(chǎn)的件元件中正品有件，則次品有件.依題意，得 ， 解得 所以 ，或 設(shè)“生產(chǎn)件元件所獲得的利潤不少于元”為事件，則 9.汽車租賃公司為了調(diào)查兩種車型的出租情況,現(xiàn)隨機抽取了這兩種車型各輛汽車，分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: 型車出租天數(shù)車輛數(shù)型車出租天數(shù)車輛數(shù)（I）從出租天數(shù)為天的汽車

25、（僅限兩種車型）中隨機抽取一輛，估計這輛汽車恰好是型車的概率；（）根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為天的概率；（）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從兩種車型中購買一輛，請你根據(jù)所學的統(tǒng)計知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種車型，并說明你的理由.9.【答案】解：（I）這輛汽車是型車的概率約為 這輛汽車是型車的概率為0.6 （II）設(shè)“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，其中則該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為天的概率為 該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為天的概率

26、為（）設(shè)為型車出租的天數(shù)，則的分布列為設(shè)為型車出租的天數(shù)，則的分布列為 一輛類型的出租車一個星期出租天數(shù)的平均值為天，類車型一個星期出租天數(shù)的平均值為天. 從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，型車出租天數(shù)的方差小于型車出租天數(shù)的方差,綜合分析，選擇類型的出租車更加合理 . 第三節(jié) 超幾何分布【知識點】一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所有這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率的分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為的超幾何分布.【經(jīng)典例題】【例1】某綠化隊甲組有名工人，其中有名女工人；乙組有名工人，其中有名女工人，現(xiàn)采用分層抽

27、樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名工人進行技能考核.（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （II）求從甲組抽取的工人中至少名女工人的概率；（III）記表示抽取的名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望. 1.【答案】（I）從甲組抽取人, 從乙組抽取人. （II）.從甲組抽取的工人中至少名女工人的概率 （III）的可能取值為,，, P. 【例2】邏輯思維能力某單位從一所學校招收某類特殊人才對位已經(jīng)選拔入圍的學生進行運動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：運動協(xié)調(diào)能力一般良好優(yōu)秀一般良好優(yōu)秀例如，表中運動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學生有人由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知

28、道從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率為（I）求，的值；（II）從參加測試的位學生中任意抽取位，求其中至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率；（III）從參加測試的位學生中任意抽取位，設(shè)運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生人數(shù)為，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望2.【答案】解：（I）設(shè)事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生由題意可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生共有人則解得 所以 （II）設(shè)事件：從人中任意抽取人，至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生由題意可知，至少有一項能力測試優(yōu)秀的學

29、生共有人則 （III）的可能取值為，位學生中運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生人數(shù)為人所以，所以的分布列為所以， 【例3】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有人（1）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數(shù)；（2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于個小時的學生中任取人參加測試，設(shè)人中甲班學生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望3.【答案】解： 由直方圖知，解得，因為甲班學習時間在區(qū)間的有人，所以甲班的學生人

30、數(shù)為，所以甲、乙兩班人數(shù)均為人所以甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為（人） 乙班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為（人）由知甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為人，在兩班中學習時間大于小時的同學共人，的所有可能取值為，所以隨機變量的分布列為：【例4】某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數(shù)如下：組別性別甲乙男32女52現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學進行學業(yè)檢測（）求從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率；（）記為抽取的名同學中男同學的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望4.【答案】（）解：依題意，甲、乙兩組的學生人數(shù)之比為 ，所以，從甲組抽取的學生人數(shù)為；從乙組抽取的學生人數(shù)為設(shè)“從甲組抽取

31、的同學中恰有名女同學”為事件， 則 ，故從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率為 （）解：隨機變量的所有取值為 ， ， 所以，隨機變量的分布列為: 【答案】【易錯題】【例1】甲班有名男乒乓球選手和名女乒乓球選手，乙班有名男乒乓球選手和名女乒乓球選手，學校計劃從甲乙兩班各選名選手參加體育交流活動.（）求選出的名選手均為男選手的概率.（）記為選出的名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望.1.【答案】解：（）事件表示“選出的名選手均為男選手”.由題意知 . （）的可能取值為. ， ， ， . 的分布列：.【例2】在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩

32、個科目的考試，成績分為五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)榈目忌腥? （I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)榈娜藬?shù)；（II）若等級分別對應(yīng)分，分，分，2分，分.（i）求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分； (ii)若該考場共有人得分大于分，其中有人分，人分，人分. 從這人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望. 2.【答案】解：（）因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為的考生有人，所以該考場有人所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為的人數(shù)為(II) 求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為（）設(shè)兩人成績之和為，則的值

33、可以為， ， 所以的分布列為所以所以的數(shù)學期望為【例3】在一次抽獎活動中，有甲、乙等人獲得抽獎的機會。抽獎規(guī)則如下：主辦方先從人中隨機抽取兩人均獲獎元，再從余下的人中隨機抽取人獲獎元，最后還從這人中隨機抽取人獲獎元。（）求甲和乙都不獲獎的概率；（）設(shè)是甲獲獎的金額，求的分布列和均值。3【答案】解：（）設(shè)“甲和乙都不獲獎”為事件 , 則P（A）=， 答：甲和乙都不獲獎的概率為. （）X的所有可能的取值為=, = ,= , = , 的分布列為 (元)答: 甲獲獎的金額的均值為(元). 【課后測試】1.甲箱子里裝有個白球、個黑球，乙箱子里裝有個白球、個黑球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)在從這兩個箱子里

34、各隨機摸出個球，求()摸出個白球的概率；()摸出至少兩個白球的概率；()若將摸出至少兩個白球記為分，則一個人有放回地摸次，求得分的分布列及數(shù)學期望。1【答案】解：（I）設(shè)“在次游戲中摸出個白球”為事件則 () 設(shè)“至少兩個白球”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以（） X的所有可能取值為.所以X的分布列是X的數(shù)學期望 2.某校高三年級同學進行體育測試,測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級.測試結(jié)果如下表:(單位:人)優(yōu)秀良好合格男女按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層,從中抽取人,其中成績?yōu)閮?yōu)的有人.()求的值;()若用分層抽樣的方法,在合格的同學中按男女抽取一個容量為的樣本,從中任選人,記為抽

35、取女生的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.2.【答案】解:()設(shè)該年級共人,由題意得,所以. 則. ()依題意,所有取值為. ,. 的分布列為: 3.甲、乙兩人參加某種選拔測試在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機抽出道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選（）求乙得分的分布列和數(shù)學期望；（）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率3.【答案】解：（）設(shè)乙答題所得分數(shù)為，則的可能取值為 ； ； 乙得分的分布列如下： （）由已知甲、乙至少答對題才能入選，記甲入選為事件，乙入選為事件.則 ， 故甲乙兩人至少有一人入選的概

36、率 4.一個袋子中裝有大小形狀完全相同的編號分別為的個紅球與編號為的個白球，從中任意取出個球.（）求取出的個球顏色相同且編號是三個連續(xù)整數(shù)的概率；（）求取出的個球中恰有個球編號相同的概率；（）記為取出的個球中編號的最大值，求的分布列與數(shù)學期望.4.解：（）設(shè)“取出的個球顏色相同且編號是三個連續(xù)整數(shù)”為事件，則 .答：取出的個球的編號恰好是個連續(xù)的整數(shù)，且顏色相同的概率為. （）設(shè)“取出的個球中恰有兩個球編號相同”為事件，則 . 答：取出的個球中恰有兩個球編號相同的概率為. （）X的取值為. ， ，. 所以X的分布列為 的數(shù)學期望. 【課后作業(yè)】1.為了解某校學生的視力情況，現(xiàn)采用隨機抽樣的方式

37、從該校的,兩班中各抽名學生進行視力檢測檢測的數(shù)據(jù)如下：班名學生的視力檢測結(jié)果：.班名學生的視力檢測結(jié)果：.（）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪個班的學生視力較好？（）由數(shù)據(jù)判斷哪個班的名學生視力方差較大？（結(jié)論不要求證明）（） 現(xiàn)從A班的上述名學生中隨機選取名學生，用X表示其中視力大于的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.1.【答案】（）解：班名學生的視力平均數(shù)為，班名學生的視力平均數(shù)為. 從數(shù)據(jù)結(jié)果來看班學生的視力較好. （）解：班名學生視力的方差較大. （）解：由（）知，班的名學生中有名學生視力大于.則的所有可能取值為. 所以 ； ； . 所以隨機變量的分布列如下：故. 2.“你低碳了

38、嗎？”這是某市為倡導建設(shè)資源節(jié)約型社會而發(fā)布的公益廣告里的一句話.活動組織者為了解這則廣告的宣傳效果，隨機抽取了名年齡段在，的市民進行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.（）求隨機抽取的市民中年齡段在的人數(shù)； （）從不小于歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取人，求年齡段抽取的人數(shù)；（）從按（）中方式得到的人中再抽取人作為本次活動的獲獎?wù)?，記為年齡在年齡段的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望0.0200.02510 20 30 40 50 600.0150.005頻率組距2、【答案】解：（）， ， 即隨機抽取的市民中年齡段在的人數(shù)為（），所以，即抽取的人中年齡段抽取的人數(shù)為 （）的所有可能

39、取值為，；所以的分布列為的數(shù)學期望為3.某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題,按照題目要求獨立完成.規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.() 分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計算其數(shù)學期望；()請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？3、【答案】解:()設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為, 則的取值分別為. ； 考生甲正確完成題數(shù)的分布列為 . 設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值分別為. ；,. 考生乙正確完成題數(shù)的分布列為: . ()因為, . （或）. 所以. (或：因為, 所以. ) 綜上所述，從做對題數(shù)的數(shù)學期望考查,兩人水平相當； 從做對題數(shù)的方差考查,甲較穩(wěn)定； 從至少完成道題的概率考查,甲獲得面試通過的可能性大. 4.某次有人參加的數(shù)學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定分及其以上為優(yōu)秀.（）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)的值；區(qū)間人數(shù)（II）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這人中抽取人的成績進行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)； （）在（II）中抽取的名學生中，要隨機選取名學生參