南工大高數(shù)A(下)2006

1、實(shí)用文案南京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)A試題（A ）卷（閉）2005-2006 學(xué)年第 二學(xué)期 時(shí)間2006.7.使用班級2005級本科（江浦）學(xué)院班級學(xué)號 姓名、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號中）（A）（ 1）（ 2）都收斂（B） （1 ）發(fā)散，（2）收斂（C）（ 1）（2）都發(fā)散（D）（ 1）收斂，（2）發(fā)散答:（）（本大題分3小題，每小題3分,共9分）1、設(shè)則=(A)(B)(C)(D)答：（)2、設(shè)級數(shù)與級數(shù)，其斂散性的判定結(jié)果是標(biāo)準(zhǔn)文檔3、設(shè)刀為球面x2+y2+z2=R2的下半球面下側(cè)，則fdjrdv =（）、填空題（將正確答案填在橫線上）（本大題分2小題，

2、每小題3分，共6分）1、某物質(zhì)沿曲線 C:, 0Wt 1分布，其線密度為.2y，則它的質(zhì)量 M可用定積分表示為 。2、設(shè)函數(shù)f （x, x+ y, xz）對各變元具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則grad f=。三、解答下列各題（本大題共6小題，總計(jì)36分）1、（本小題6分）設(shè)，求。2、（本小題6分）求函數(shù)的極值。3、（本小題6分）計(jì)算二重積分xydxdy其中D是由雙曲線盧-一，直線y=x及x=2所圍成的IlD區(qū)域。4、（本小題6分）求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面和法線方程。5、（本小題6分）求微分方程的通解。6、（本小題6分）的和。求級數(shù)四、解答下列各題（本大題分4小題，每小題8分，共32分）R為半徑的圓周

3、1、（本小題8分）計(jì)算曲線積分I:型廠弩，其中L是以（1,0）為中心,l 9x y(R 1)，取逆時(shí)針方向。2、(本小題8分)在 內(nèi)把展成以2為周期的正弦級數(shù)。0確定，求,x y3、(本小題8分)設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程F x , y y x14、（本小題8分）證明級數(shù)（1）n（ n下 1）收斂。1五、解答下列各題（本大題9分）計(jì)算I xdydz ydzdx zdxdy，其中刀是曲面z=x2+y2在0z1范圍內(nèi)在第一卦限部分曲 面的下側(cè)。六、解答下列各題(本大題8分)求曲線AB : y f (x)0的方程，使曲線 y f (x)與兩個(gè)坐標(biāo)軸及過點(diǎn)(x，0) (x 0)的垂直于x軸的直線所

4、圍成的曲邊梯形，繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的4形心(即重心)的橫坐標(biāo)等于 一x.5南京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)A試題 （A ）卷試題標(biāo)準(zhǔn)答案2006.72005 -2006學(xué)年第二學(xué)期使用班級2005級本科（江浦）注：各主觀題答案中每步得分是標(biāo)準(zhǔn)得分,第N步實(shí)際得分=本題實(shí)際得分實(shí)際得分應(yīng)按下式換算：解答第N步標(biāo)準(zhǔn)得分解答總標(biāo)準(zhǔn)得分（本大題共9分）二、（本大題共6分）124t .1 t2 t4dt0fl+f2+zf3, f2，Xf3。三、解答下列各題（本大題共6小題，總計(jì)36分）（本小題6分）zxx22 In 2 2xy(5分)Zy2 23y 2xy ( 10 分)（本小題6分）由D(1,Zx2x 2y

5、3y2 2x010，得駐點(diǎn)1 1亍3 ,(1, 1)占八、zxxzxy22zyxzyy26y1)80,Zxx(1Zy12y4 D1) 2 01 13 3非極值點(diǎn)。函數(shù)z 在點(diǎn)（1, 1）處取極小值z（1,1)1。10 分3、（本小題6分）原式-104、（本小題6分）對應(yīng)的切平面法向量n 4,2, 14, 2,1(5分)切平面方程1554（x1）2（y y （z ）0 或4X 2y Z 20 io25、（本小題6分）特征方程r r0的根為：r10，D對應(yīng)的齊次方程的通解為ycCiC2e（5分）設(shè)特解為ypx（Ax2BX C），代入方程得ypx（2x232x 1）（8 分）故所求通解為yyc yp

6、C16、（本小題6分）Unn1n 1 !n!Snu1u2C2e x2 3 x32x2 x1n 1 !111 1Un 1!2!2!3!（10 分）（4分）1 1 n! （n 1）!1（n 1）!（7分）lim Sn1n，即級數(shù)的和為1。（10 分）另：本題也可用構(gòu)造幕級數(shù)求和函數(shù)進(jìn)行求解。四、解答下列各題（本大題分4小題，每小題8分，共32分）P1、本小題8分）解：令9x七,Q（i）當(dāng) R1時(shí)，設(shè)圓(x1)2R2y2 9x2 (9?Qx (x,y)(0,0)xdy ydx2yL 9x2在圓(xr cos1)2內(nèi)區(qū)域?yàn)镈，此時(shí)（0,0）D，則由格林公式有)dxdy 0 y2 2y R內(nèi)點(diǎn)(0,0)

7、處，yx無意義，作曲線C :3r s inr 0且足夠小，使C整個(gè)含在曲線L中，C取順時(shí)針方向。在L與C所圍的環(huán)型域L9x22y l c“ Qp、,()dxdyxy223o3內(nèi)，由復(fù)連通區(qū)域的格林公式有D0C0 3r2 coS22xdy ydx I3r2 sin29r210分2、（本小題8分）在（10）內(nèi)對f（x）作奇開拓，令f(x)1, 1x 0,則f(x)的Fourier系數(shù)an0,n0,1,2,3分1212,八 nbn2 sin xdxcos n x1 ( 1)0n0n7分4b2n0,b2n 1n 1,2,3,因此，(2n1)c、f (x)14sin (2 n1) x故在（01）內(nèi)，n

8、12n110分F x3、（本小題8分）解法一 公式法 令-,y - f(x,y,z)fxF1 F2z2 x,fyF1z2yzfxF1z2 xF2xfz-F11F2因此，yxyx則11F2,fz F1 F2yx6分z2F1F2zfyyyfz-F1-F2yx。10 分解法二直接法F x在方程z-,yy0的兩邊同時(shí)對x求偏導(dǎo)數(shù)得FiF2ZxXz2x解得同理，方程兩邊對4、（本小題8分）lim unnf(x)令Fix11-F1F2yx；y求偏導(dǎo)數(shù)，解得令Un1nn1，則UnF2y1 1F1F2y10分丄lnnen1滿足:1In nlim( enn1)啞 f(x)x1 In x2x0 (x3)故f（X）

9、單調(diào)遞減，所以當(dāng)n 3, Un單調(diào)遞減,所以根據(jù)萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂。10分五、解答下列各題（本大題9分）解法一曲面在yOz平面和xOy平面上的投影區(qū)域分別為2Dyz：0 y 1,y z1； Dxy : x21,x 0, y 0o由輪換對稱性有ydzdxxdydzy2dydz1 10dy yy2dz30(1 y2)2dyzdxdy(x2 y2)dxdyDxyxdydz ydzdx02dzdxdy3d10分解法二用高斯公式計(jì)算補(bǔ)充曲面“ 21 : z 1,x1,x 0,y0，取上側(cè);0,0y 1,y2 z 1后側(cè)；3: y0,0x 1,x21，取左側(cè)。則 與13構(gòu)成一封閉曲面的外側(cè),設(shè)所圍區(qū)域?yàn)椋@然在2和3的曲面積分為0。則由高斯公式有I1xdydz ydzdx zdxdy23xdydz ydzdx1zdxdy3dvzdxdy16分1z3dzQ o044848 o10分六、解答下列各題（本大題8分）