概率論與數(shù)理統(tǒng)計學1至7章課后答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計學1至7章課后答案第五章作業(yè)題解 5.1已知正常男性成人每毫升的血液中含白細 胞平均數(shù)是7300,標準差是700.使用切比雪 夫不等式估計正常男性成人每毫升血液中含白 細胞數(shù)在5200到9400之間的概率.解：設(shè)每毫升血液中含白細胞數(shù)為，依題意得，E(X) 7300，Var(X) 700由切比雪夫不等式，得P(5200 X 9400)P(| X 73001 2100)7002221005.2設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為的泊松分布,使用切比雪夫不等式證明P0 X 2 解：因為 X P()，所以 E(X) 。2 Var(X)故由切比雪夫不等式，得P(0 X 2 )P(| X不等式得證.5

2、.3設(shè)由機器包裝的每包大米的重量是一個隨 機變量，期望是10千克，方差是0.1千克2.求100 袋這種大米的總重量在990至1010千克之間的概 率100Xi。i 1因為E(Xi) 10所以E(X) 100Var(XJ 0.1 ,解：設(shè)第i袋大米的重量為Xi, (i =1,2,-,100), 則100袋大米的總重量為x101000 , Var(X) 100 0.110由中心極限定理知，X r近似服從N(0，D5.4解:記VVk，求P(V 105)的近似值。P(990 X 1010)P(| X 10001 10)P(l X 200 | V10)2(后)1v102 (3.16) 12 0.999

3、10.998-加法器同時收到20個噪聲電壓 Vi,(i 1,2,L ,20),設(shè)它們是相互獨立的隨機變 量，并且都服從區(qū)間0,10上的均勻分布。20Vkk 1E(Vk) 5,D(Vk) 10012( k 1,2,L ,20)，由定理 1,得V 20 5105 20 5、P(V 105) P( = _)(10 J12)(20(10 712)20P(V 100(10 12) ： 200.387)V 1000.387)1 P(10 .12), 201(0.387)0.348即有 P(V 105)0.3485.5 一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的 部件組成，在整個運行期間每個部件損壞的概 率為0

4、.1,為了使整個系統(tǒng)起作用，至少要有85 個部件正常工作.求整個系統(tǒng)起作用的概率 解：設(shè)正常工作的部件數(shù)為X，因為部件正常工 作的概率為p 1 0.1 0.9，所以 X B(100,0.9)，有 E(X) 100 0.9 90， Var(X) 90 0.19由中心極限定理知，七90近似服從N(0,1)故所求的概率為P(X 85)1 P(X 85) 1 P(X 90-)33551( 3)(3)(1.67) 0.95255.6銀行為支付某日即將到期的債券需準備一 筆現(xiàn)金.這批債券共發(fā)放了 500張，每張債券到期之日需付本息1000元.若持券人(一人一張) 于債券到期之日到銀行領(lǐng)取本息的概率為 0.

5、4,問 銀行于該日應(yīng)至少準備多少現(xiàn)金才能以 99.9% 的把握滿足持券人的兌換？解：設(shè)領(lǐng)取本息的人數(shù)為X，則XB(500,0.4)。有E(X) 500 0.4200， Var(X) 200 0.6120由中心極限定理知，X 200近似服從N(0,1)心20又設(shè)要準備現(xiàn)金x元，則滿足兌換的概率為x/1000.120200xP(1000X x) P(X)1000依題意，要滿足宀怛200) 0.999(3.1)，即要V120x/1000200 門解之得120 .x (3.1. 120200) 1000233958.80故應(yīng)準備234000元的現(xiàn)金。切 比 雪設(shè)隨機變量X有期望E(x)和方差D(X)

6、2 ,則對于任給 0 ,有2P| X1 F夫 不 等 式(1)大 數(shù)定律X切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機變量X”X2,LXn相互獨立，均 具有有限方差，且被冋一常數(shù)C所界：Var(Xi)(i 1,2,L ),則對于任意 的正數(shù)，有1 n1門lim P - Xi - E(Xi)1.nn i 1n i 1特殊情形：若XX2,L Xn具有相同 的數(shù)學期望E(Xi) , i 1,2,L，則上式 成為lim P 丄Xi1.nn i 1伯 努 利A欠 山是煢 aP 酰 n 久feB 是快發(fā) 設(shè)血驗發(fā)試大數(shù)定律驗蹣很 頻 試生性 了 當發(fā)能 述 1 , A可 O 描 明F的 式 P 琥艸別 形 P事判 。學 一 n

7、碇人大 -n數(shù) 有mp擻旳較mp的。 ,H 大有 格性 利彳r嚴定 數(shù) 努n概即 以穩(wěn) 正 伯數(shù)與，就的 的 次率小 這率辛欽大數(shù)定律則Y ?一L2 跖g有 0 E er V 1 二二 ， 是列正 L量意 X x2度任1n1n X 機于 P 設(shè)隨對啊(2)中列設(shè)隨機變量Xi,X2丄Xn相互獨立，心極限維服從同一分布，且具有相同的數(shù)定理學期望和方差：2X N(,)林E(Xk) ,D(Xk)2 0(k 1,2,)，則隨機n德變量伯nXk n格Yk 1nQ n疋的分布函數(shù)Fn( X)對任意的實數(shù)理X,有nXk nt2.11Xlim Fn (x) lim Px e 2 dt.nnJnU2此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗設(shè)隨機變量Xn為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項分布，則對于任 意實數(shù)X,有拉 普 拉 斯 疋 理t2limP Xn np x 丄 J% nJn p(1 p)2(3) 一 項定理右當N時,M p(n,k不變)，貝卩N5八 Jk x- n kCM CN M