19知識(shí)梳理定積分(20210112131126)

1、定積分【考綱要求】1. 了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。2. 正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、定積分的概念定積分的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)aXoXiXi 1 XiXn b將i (i 1,2,n)，作和式區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間Xi 1, x上任取一點(diǎn)In f( i) Xi 1nf( i)，當(dāng) ni 1 n時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù) f(x)在b區(qū)間a,b上的定積分.記作 f(x)dx ,即 f(x)dx = limaanL_af(i),這里，a與b分別叫做積分

2、下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),X叫做積分變量，f (x)dx叫做被積式.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；(2) 用定義求定積分的四個(gè)基本步驟：分割；近似代替；求和; 要點(diǎn)二、定積分的性質(zhì)取極限(1)bkf (x)dxabk f (x)dxa(k為常數(shù))，(2)ba f1(x)bf2(x) dxabf1(x)dxf2(x)dxa(3)bf(x)dxacf(x)dxabf (x)dx (其中cac b),(4)利用函數(shù)的奇偶性求積分：若函數(shù)yf (X)在區(qū)間b,b上是奇函數(shù)，則bf (x)dxb若函數(shù)yf (x)在區(qū)間b,b上是偶函數(shù)

3、，則bbf(x)dx0 ；b2 0 f(x)dx.F(b) F(a),其中 F(x)叫做 f (x)的一要點(diǎn)三、微積分基本定理b如果 F (x) f (x)，且 f (x)在 a,b 上連續(xù)，貝y f (x)dxa個(gè)原函數(shù).由于F(x)c f (x), F(x) c也是f(x)的原函數(shù),其中c為常數(shù).般地，原函數(shù)在a,b上的改變量F(b) F(a)簡(jiǎn)記作F(x)a.因此，微積分基本定理可以寫(xiě)成形式:F(b) F(a).ba f(x)dx F(x)要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵蠖ǚe分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說(shuō)，要找到一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù) 由此，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)四、定積

4、分的幾何意義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù).在a,b上，當(dāng)f(X)0時(shí)，定積分bf (x)dx在幾何上表示由曲線yf (x)以及直線x a,x b與ax軸圍成的曲邊梯形的面積；如圖(1)所示.在a,b上，當(dāng)f(X)0時(shí),由曲線y f (x)以及直線x a,x b與x軸圍成的曲邊梯形位于x軸下方，定積分bf (x)dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值;a在a,b上，當(dāng)f (x)既取正值又取負(fù)值時(shí)，定積分bf(x)dx的幾何意義是曲線 y f (x)，兩條直線 ax a,x b與x軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和.在x軸上方的面積積分時(shí)取正號(hào)， 在x軸下方的面積積分時(shí)，取負(fù)號(hào).如圖(2)所示.要點(diǎn)

5、五、應(yīng)用(一)應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積1.如圖,由三條直線 x a， xb (ab), x軸(即直線yg(x) 0)及一條曲線y f(X)(f(x)2.如圖,由三條直線 Xbb0)圍成的曲邊梯形的面積:b及一條曲線y f (x)(f(x)3.如圖,由曲線 yf1(x) y0)圍成的曲邊梯形的面積:bbg(x) f(x)dx ；aa， x b (a b)圍成圖形的面b積公式為：S f1(x)dx f2(x)c fi(x)dxacf2(x)dx.a乃4.利用定積分求平面圖形面積的步驟:(1)(2)(3)(4)x b (a b)，那么變力F(x)所作的功ba F(x)dx.畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中

6、畫(huà)出曲線或直線的大致圖像； 借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限; 寫(xiě)出定積分表達(dá)式；求出平面圖形的面積.(二)利用定積分解決物理問(wèn)題變速直線運(yùn)動(dòng)的路程作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程S，等于其速度函數(shù)v v(t)(v(t) 0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定b積分，即S v(t)dt.a變力作功物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x a移動(dòng)到【典型例題】類(lèi)型一：運(yùn)用微積分定理求定積分 例1.運(yùn)用微積分定理求定積分0x(1)0(sin x cosx)dx ;(2)：(X x2-)dx ；x(3)(cosx e )dx.【解析】cosx sin x

7、)sin x cosx，0 (sin xcosx)dx (cosxsin x)(2)v (2x2 x3In x)21(x-)dxxx2(TInx)5 ln2 -6(3)v (sin xXe )cosx ex，0(cosx ex)dx (sin x【總結(jié)升華】求定積分最常用的方法是微積分基本定理，其關(guān)鍵是找出使得F (x) f (x)的原函數(shù)F(x)。通常我們可以運(yùn)用基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向求F(x)，即利用求導(dǎo)函數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算。舉一反三：【變式】計(jì)算下列定積分的值:_ 1(1) 2 (x sinx)dx,(2)(8x0 0 1 2【解析】(1) o2(x sinx)dx

8、 x21rX9(2) (8x x8)dx ( )0In8rx8 )dxcosx)903In 2 9【高清課堂：定積分和微積分基本定理394577典型例題四】例2.求2x0【解析】0W1 sin2xdxJsin2 xcos2xdxsin xcos x dxsin x cosx dxsin x cosx dx04 (cos xsin x)dx2 (sin X cos x) dx4(sin xcos x) I (cosx sin x)30001逅12逅【總結(jié)升華】化簡(jiǎn)被積函數(shù)是積分的前提，直到最簡(jiǎn)為止 舉一反三：【變式】計(jì)算下列定積分的值 .31x(4x)dx ;2 3(x 1)3dx;【解析】（1

9、）31x(4x)dx31(4xx2)dx (2x22 34 (x 1)3dx2321 (x3 3x23x1)dx (1 x41 33x)3 2 -x22032 114x)21(xx)dx (-x1 :2 2x2In x) 12In 2.例3.求定積分3x , x 0,1f (x)jx, x 1,22x, x 2,3，求函數(shù)(3)1 (長(zhǎng))2dxf（x）在區(qū)間0,3上的積分;【解析】30 f(x)dx21 f(x)dx32 f(x)dxx3dx0Vxdx1322匕4 x12x322x4031ln21f(x)dx0324In2 472 123【總結(jié)升華】當(dāng)被積式為分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)分段積分。 舉一反三

10、：【變式】求定積分:x 1 dx;3【解析】1dx =31dx +x 1dx13(X(1 x)dx + 1(X 1)dx1 2 1 12X)|0 (2XX) |i類(lèi)型二：利用定積分的幾何定義例4.(2016河南商丘模擬)求定積分:24 x2dx;【解析】設(shè)y J4 X2，則(y 0,0 X 2)表示由定積分的概念可知，所求積分就是x2dx 1 44舉一反三:【變式】求定積分:2j16 X2dx0【解析】設(shè)y 6X216 (y 0,0 X 2)表示如圖的曲邊形,其面積S S扇形273,故X2 dx0273.類(lèi)型三：利用定積分求平面圖形面積例5.(2015山東淄博一模)如圖所示，曲線y= X2 1

11、,x= 2,陰影部分的面積為(A.2 (1X 1 dxB.dxy= 0圍成的dxC.D.dxX2 dx如下圖形的【答案】面積相等，即0|x2 1 dx，選A.Ji)i 2*2y= |x2- 1|的對(duì)稱(chēng)性，所求陰影部分的面積與【解析】由曲線畫(huà)出圖形，并把圖形適當(dāng)分解為若干個(gè)基本的曲邊梯形；找出相關(guān)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即解方程組，確定每個(gè)曲邊梯形的積分區(qū)間(即積分上下限) 確定被積函數(shù)，即解決“積什么”的問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵；寫(xiě)出表示各曲邊梯形面積的定積分表達(dá)式； 計(jì)算各個(gè)定積分，求出所求的面積.【高清課堂：定積分和微積分基本定理394577典型例題一】【變式1】由直線x曲線y -及x軸所圍圖形的面積為

12、(). x15A .4174C.【解析】121dx2 xIn xIn 2ln(1)2ln 22【答案】【變式D2】(2015江西宜春月考)已知函數(shù)f(x) = X3 x2+x+ 1,求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x) = x2【總結(jié)升華】求平面圖形的面積體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是解題的主要思路.求圖形的面積的一般步驟是：(1)(2)(3)(4)(5)舉一反三：圍成的圖形的面積.【解析】心上)為曲線f(x) = x3 x2 + x + 1上的點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k,則 k = f (1) = 3x2 2x+ 1= 2,過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y 2 = 2(x 1),即

13、y = 2x.y= 2x與函數(shù)g(x) = x2圍成的圖形如圖：由 y X可得交點(diǎn)A(2,4).y 2x y= 2x與函數(shù)g(x) = x2圍成的圖形的面積S 0 2x x2 dxx2 1 x3 |2 43a1.8米/秒 2 剎到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)以勻減速度類(lèi)型四：利用定積分解決物理問(wèn)題 例6.汽車(chē)以每小時(shí)32公里的速度行駛， 車(chē)，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)走了多少距離？【解析】首先要求出從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間，當(dāng)t 0時(shí)，汽車(chē)速度v032公里/小時(shí)=32 1000米/秒8.88米/秒.3600剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛，其速度為V(t)V at 8.88 1.8t.當(dāng)汽車(chē)停車(chē)時(shí)，速度 V(t) 0 ,故從V(t) 8.88到V(t) 0用的時(shí)間t竺M 4.93秒.1.8于是在這段時(shí)間內(nèi),4.93S 0 V(t)dt汽車(chē)所走過(guò)的距離是4.930(8.88 1.8t)dt=(8.88t 1.81)|0.93 21.90 米.221.90米才能停住.解題的關(guān)鍵是弄清事物變化發(fā)展的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律變化找到相應(yīng)即在剎車(chē)后，汽車(chē)需走過(guò) 【總結(jié)升華】解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題， 的函數(shù)式.舉一反三：【變式1】一物體在力F(x)3x4的作用下，沿著與 F相同的方向，從 x 0處運(yùn)動(dòng)到x 4處，求力F所做的功。4)dx (-3 x2 4x) |0 40.44【解析】W oF(x)dx 0 (3x