231方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書一數(shù)學(xué)必修三蘇教版 2.3 第7課時(shí)方差與標(biāo)準(zhǔn)差教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例是學(xué)生理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用；（2）學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差；（3）使學(xué)生掌握通過合理抽樣對(duì)總體的穩(wěn)定性水平作出科學(xué)估計(jì)的思想.教學(xué)重點(diǎn)用樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.教學(xué)難點(diǎn)理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意 識(shí).教學(xué)過程一、問題情境1 情境：有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單 位：kg/mm2），通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125。甲1101201301251201251351251

2、35125乙1151001251301151251251451251452.問題:哪種鋼筋的質(zhì)量較好?、學(xué)生活動(dòng)105110115 i t2O 123130135140-1 III kil J d bj 1 t h dBi I I i ji ViMlJ i h i i i n 9 1 i一；哼齊魏 :CTn乙100 105 , 110120125,133140145由圖可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值 100,最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）。由圖可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)

3、較分散；甲的極差小，數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定。運(yùn)用極 差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡(jiǎn)單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就 不容易得出結(jié)論。考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1方差：一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi , X2，Xn ,其平均數(shù)為x ,則稱n S21 (Xi X)2為這個(gè)樣本的方差.n i i因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.1 n2. 標(biāo)準(zhǔn)差：S J (X, X) n i i標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.3. 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征

4、數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大.四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1 .例題：例1.甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2),試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為(9.8-10) 2 + ( 9.9-10) 2+ (10.1-10) 2+ (10-10) 2+ (10.2-10) 2 - 5=0.02. 乙品種的樣本平均數(shù)也為10,樣本方差為(9.4-10) 2+ (10.3-10) 2+ (10.8-10) 2+ ( 9.7-10) 2

5、+ (9.8-10) 2 - 5=0.24 因?yàn)?.240.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。例2 .為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)151180181210211240241270271300301330331360361390燈泡數(shù):1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命。解：各組中值分別為165, 195, 225, 285, 315, 345, 375,由此算得平均數(shù)約為165X 1%+1

6、95 X 11%+225 X 18%+255 X 20%+285 X 25%+315 X 16%+345 X 7%+375 X 2%=267.9 268(天)這些組中值的方差為1/100 X 1 X (165-268) 2+11 X (195-268) 2+18 X (225-268)2+20 X (255-268) 2+25 X (285-268)2 + 16X (315-268)2+7 X (345-268)2+2 X (375-268) 2=2128.60(天 2).故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約.2128.646 (天)答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.2練習(xí)：(1) 課本第68頁練習(xí)第1、2、3、4題；(2) 在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4, 8.4 , 9.4, 9.9 , 9.6,9.4, 9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為9.5,0.016 ;(3) 若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，xn，方差為S2，則ax1,ax2，ax*方差是a2S2五、回顧小結(jié)：1 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：a) 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。b) 用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)