2019廣東中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練4.代數(shù)與幾何綜合題

1、代數(shù)與幾何綜合題類型一動點型探究題1. 如圖，已知 RtAABC 中，/ C= 90 AC= 8 cm, BC= 6 cm,點 P 由 B 出 發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動， 它們的速度均為2 cm/s以AQ、PQ為邊作四邊形AQPD，連接DQ，交AB于 點E.設(shè)運動的時間為t(單位：s)(Ov t4)解答下列問題：(1)用含有t的代數(shù)式表示AE=;如圖，當(dāng)t為何值時，四邊形AQPD為菱形；求運動過程中，四邊形 AQPD的面積的最大值.圖第1題圖解:(1)5 -1;【解法提示】T在RtAABC中，/ C= 90 AC= 8 cm, BC=6 cm,.由勾

2、股定理得:AB= 10 cm, v點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為2 cm/s, BP= 2t cm,A AP= AB- BP= 10-2t,v 四邊形 AQPD 為平行四邊形，AE =1AP= 5-1.(2)如解圖，當(dāng)四邊形 AQPD是菱形時,DQ丄 AP,貝卩 cos/ BAC =AE _ ACAQ= AB，2t82510, 解得 t=13,二當(dāng)t=誇時，四邊形AQPD是菱形;(3)如解圖，作PM丄AC于M，設(shè)平行四邊形AQPD的面積為S.v PM / BC, APM ABC,.AP_ PM 即 10 2t_ PMAB= BC，即 10 = 6， PM = |(5 t), S=

3、 AQ PM = 2t+ 12t= 一1255215 (Ov t(16 2t) 6=48 6t,t 6v 0, S隨t的增大而減小，當(dāng)t = 3時，S取得最大值，最大值為30cm2.4. 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 AC= 8, BC = 6, CD丄AB 于點 D.點 P 從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A 運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點 都停止.設(shè)運動時間為t秒.(1)求線段CD的長；求證： CBDs ABC;設(shè) CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值;(3)是否存在某一時刻

4、t，使得 CPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.第4題圖備用圖(1)解：vZ ACB= 90 AC= 8, BC= 6, AB= 10,v CD 丄 AB, Sa abc = BC AC = *AB CD , CDBC AC 6X8AB = 70245線段CD的長為24 ;5證明：vZ B=Z B,Z CDB=Z BCA= 90 CBDsA ABC;解：如解圖，過點P作PH丄AC,垂足為H , 由題可知DP = t, CQ= t,則 CP= 24 -1,5vZ ACB=Z CDB = 90 Z HCP= 90-Z DCB=Z B,v PH丄 AC, Z

5、CHP= 90 Z CHP=Z ACB, CHPs BCA,.PH_PCAC=bA，PH510.96 4PH = 25 5t， S= *CQ PH =1 96 42t(954t)-5 v 0，12 二當(dāng)t = *時,S最大288125；1214 424存在，t = 5或|或石.【解法提示】若CQ = CP,如解圖，則t = 24 -1.解得：t= ；若PQ =1PC ,如解圖所示.v PQ = PC , PH 丄 QC ,. QH = CH = - QC =-24 ttCH CP 2144chpbca. bc=ab；.6= ，解得 t=n;若 QC= QP,女口解圖，過點Q作QE丄CP,垂足為

6、E,同理可得：t =2411綜上所述：當(dāng)t為學(xué)144秒或154ft第4題解圖5. 如圖，在矩形 ABCD中，AB= 6cm, BC= 8cm.如果點E由點B出發(fā)沿BC 方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發(fā)沿DA方向向點A勻速運動，它們 的速度分別為2cm/s和1cm/s.FQ丄BC,分別交AC、BC于點P和Q,設(shè)運動時 間為 t(s)(Ov t v 4).(1) 連接EF、DQ，若四邊形EQDF為平行四邊形，求t的值；連接EP，設(shè) EPC的面積為ycm2,求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大 值；若 EPQ與厶ADC相似，請直接寫出t的值.AF D AD AI)第5題圖 備用圖 備用圖解：(1

7、)在矩形 ABCD 中，T AB= 6 cm, BC= 8 cm, CD = AB= 6 cm, AD = BC= 8 cm, / BAD =Z ADC =Z DCB =Z B = 90在RtAABC中，由勾股定理得：AC= 10,V FQ 丄 BC,/ FQC= 90四邊形CDFQ是矩形， DF = QC, FQ = DC = 6 cm,由題意知，BE= 2t, QC= DF = t, EQ= BC BE QC= 8-3t,V四邊形EQDF為平行四邊形， FD = EQ,即 t = 8 3t,解得t = 2; V/ FQC = 90 / B= 90 / FQC=/ B, PQ/ AB, CP

8、Qs CAB,PQ QCAB = BC ,PQ6t8,13 PQt,-epc = qEC PQ,1332c丄32c y=2 （82t）4t= 4 + 3t =-4（t 2）+ 3,即 y=3（t2）2+3,3門-a= 4 ，當(dāng)t = 2時，y有最大值，y的最大值為3;128 128(3)t的值為2或當(dāng)或囂.【解法提示】分兩種情況討論：若E在FQ左邊，當(dāng) EPQs ACD時，可3得: CQ = EQ，即 = 色，解得 t= 2；當(dāng) EPQs cad 時，可得：PQ3t CQ，即4 = 8 31，解得t =128若E在FQ右邊，當(dāng) EPQs ACD時，可3得: Cd=器，即46=38解得t=4(舍

9、去);當(dāng) epqscad時，可得:4= CQ，即8 =廠，解得t=蘭8綜上所述，若 EPQ與厶ADC相似，則t128 亠 128的值為：2或 或盂.5739類型二動線型探究題6. 如圖，在 ABC 中，/ C= 90 / A= 60 AC= 2 cm長為 1 cm 的線段 MN 在厶ABC的邊AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向點B運動(運動前點M與點A 重合).過M , N分別作AB的垂線交直角邊于P, Q兩點，線段MN運動的時 間為t s.(1)若厶AMP的面積為y,寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量t的取值范圍), 并求出y的最大值；在線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎

10、？若有可能，求出 此時t的值；若不可能，說明理由；(3)t為何值時，以C, P, Q為頂點的三角形與 ABC相似？第6題圖解：(1)當(dāng)點P在AC上時,v AM = t，二 PM = AM tan60=Q3t,當(dāng) t= 1 時，y 最大 =2；當(dāng)點P在BC上時，PM = BM tan 30 =-33(4 -1),f(t 2)2 + 竽(1v t3),1J32 y=213(4-t)=-it2+當(dāng)t= 2 s時，y最大2.33，綜上所述，貴，0t 1y=1 v t3當(dāng)t = 2 s時，y最大(2) v AC= 2,二 AB= 4,二 BN= AB- AM-MN = 4-1- 1 = 3-1. QN=

11、 BN tan 30 J(3-t),由題知，若要四邊形 MNQP為矩形，需PM = QN,且P, Q分別在AC,BC上，即 3t = f(3t), t=4，3二當(dāng)t = 4s時，四邊形MNQP為矩形.3(3) 由(2)知，當(dāng)t=4 s時，四邊形MNQP為矩形，此時PQ/ AB, PQCs ABC,除此之外，當(dāng)/ CPQ=Z B = 30時， QPCs ABC,此時器=tan 30 =33,V AP = cos 60 = 1，二 AP= 2AM = 2t,CP= 2-2t,.BNV BQcos 30 23,.BQ = B3 =爭(3_ t),2又 BC = 2 3,. CQ = 2 3-3(3-

12、1) =,2 3t _ 221=扌解得 t = 2,13二當(dāng)t = qs或4s時，以C, P, Q為頂點的三角形與 ABC相似.7. 如圖，在 ABC 中，AB=AC =5 cm, BC= 6 cm, AD是BC邊上的高.點P由C出發(fā)沿CA方向勻速運動.速度為1 cm/s同時，直線EF由BC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1 cm/s,EF/BC,并且EF分別交AB、AD、AC于點E，Q，F(xiàn)，連接PQ若設(shè)運動時間為t(s)(Ov tv 4)，解答下列問題： (1)當(dāng)t為何值時，四邊形BDFE是平行四邊形?設(shè)四邊形QDCP的面積為y(cm2)，求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，

13、使點Q在線段AP的垂直平分線上？若存在，求出此 時點F到直線PQ的距離h;若不存在，請說明理由.A第7題圖解：(1)如解圖，連接DF，第7題解圖v AB= AC= 5，BC= 6，AD 丄BC，. BD = CD = 3,在 RtA ABD 中 AD = 52-32 = 4,v EF/BC, AEFs ABC,.EF = AQBC = AD， EF = 3(4 -1),v EF/BD,當(dāng)EF= BD時，四邊形EFDB是平行四邊形, 2(4 -1) = 3,當(dāng)1 = 2s時，四邊形EFDB是平行四邊形;如解圖，作PN丄AD于N,第7題解圖v PN/DC,PN AP DC = AC，.PN 5-1

14、T= ，-PN= |(5-t), y = 2DC AD - 2aQ PN=6 2(4 -1) 5(5 -1)=6-(10t2 - 10t+ 6)I 227=-10t + 1Qt(0EH =6t2 + 24t5626t2+5(t 2)2 +245，24當(dāng) t = 2時，y的最大值為24.9. 把RtA ABC和Rt DEF按如圖擺放(點C與點E重合)，點B、C(E)、F 在同一條直線上.已知：Z ACB=Z EDF = 90 Z DEF = 45 AC= 8cm, BC =6cm, EF= 10 cm.如圖， DEF從圖的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向厶ABC勻速移動，在 DEF移動的同時

15、，點P從厶ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動, DEF也隨之停止移動.DE與AC交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t(s).(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為y(cm2)，試求出y的最大值;(3)當(dāng)t為何值時， APQ是等腰三角形.I丄 第9題圖解：(1)AP = 2t,vZ EDF = 90 / DEF = 45/ CQE= 45=Z DEF，二 CQ= CE= t,AQ = 8 t,t的取值范圍是：ow6X8 2(6 t)茅(10 2t) 2t213 2 441344 2

16、968=10t + yt= 10(t 13) + 65，449682二當(dāng) t= 13(s)(在 0t5內(nèi)),y有最大值，y最大值=65(cm2);B GEH B E C F 甘 Ef： F 1f第9題解圖若 AP = AQ,則有 2t= 8t 解得：t = |(s),8 t若AP= PQ,如解圖：過點P作PH丄AC,則AH = QH =廠,PH / BC,AP AB 2t 1040,、 aphsabc,.ah=AC，即8t=百，解得: t=2i(s)，1若AQ= PQ,如解圖：過點 Q作QI丄AB,貝S AI = PI =t,Al AC t 8vZ AIQ =Z ACB= 90。/A=Z A,

17、.AQIABC. AQ =拓即訂t=為,解得：t=乎，綜上所述，當(dāng)t=3(s)或20(s)或32(s)時， APQ是等腰三角形.10. 如圖，把兩個全等的三角板 ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直 角邊FG經(jīng)過三角板ABC的直角頂點C,垂直AB于G,其中/ B=Z F = 30 斜邊AB和EF均為4現(xiàn)將三角板EFG由圖所示的位置繞G點沿逆時針方向 旋轉(zhuǎn) 如 av 90，如圖，EG交AC于點K, GF交BC于點H.在旋轉(zhuǎn)過程 中，請你解決以下問題：(1) 連接 CG,求證： CGHsAGK;(2) 連接 HK，求證：KH / EF;設(shè)AK=x, CKH的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值.圖圖第10題圖(1)證明：在 RtAABC 中，CG丄AB,Z B= 30:丄 GCH = Z GAK = 60又/ CGH = Z AGK = a, CGHs AGK ；證明：由(1)得厶CGHs agk ,.GH _ CGGK = AG.CG在 RtA ACG 中，tan/ CAG =忑=3,G