專(zhuān)題6.11：數(shù)列中公共項(xiàng)問(wèn)題的研究與拓展

1、專(zhuān)題6.11 :數(shù)列中公共項(xiàng)問(wèn)題的研究與拓展【探究拓展】探究1：設(shè) 曲是公差不為0的等差數(shù)列，印=2且31,33,86成等比數(shù)列，則Ca/的前n項(xiàng)和Sn=-變式1:等比數(shù)列：an /的前n項(xiàng)和為sn，且4aj， 2a2，a3成等差數(shù)列，若a1=1，貝US4=-變式2:已知:an /為等差數(shù)列，公差d = 0, a !的部分項(xiàng)ak1、ak2、恰為等比數(shù)列，若1, k2 =5 , k3 =17，求 kn.變式3:設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a“=2 , a3=6，若自然數(shù) 山，n?,nk, 滿(mǎn)足3cmcn2成vnkv，且an，是等比數(shù)列，則nk=.1nk3k 1 ;提示：an是以2為首項(xiàng)，2

2、為公差的等差數(shù)列，a* = 2 n ； - ank =久nk印忌耳，an ,是以2為首項(xiàng)，k3為公比的等比數(shù)列，k: ；1k： (1 ank = 23, n k = 3變式4 :已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列an的公差d不等于0,設(shè)a1,a3,ak是公比為q的等比數(shù)列bn的前二項(xiàng),(1)若 k=7, a1 =2(i) 求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn；(ii) 將數(shù)列an和bn的相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列Cn，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,求S2nx -22心 3 2nn _2,n N*)的值；(2)若存在mk,m，N*使得a1, a3,ak, am成等比數(shù)列，求證 k為奇數(shù).(研究子數(shù)列問(wèn)題的根本

3、著力點(diǎn)是算兩次)(1) 因?yàn)閗 =7，所以印衛(wèi)彳衛(wèi)?成等比數(shù)列，又 訂僉是公差d =0的等差數(shù)列，所以a-1 2d a-1a-1 6d，整理得a 2d，又a12，所以 d 1 ,0 p =2 , q 二吏二色出=2，所以 aa n -1 d 二n 1匕=0 qn =2n ,bj aa用錯(cuò)位相減法或其它方法可求得anbn ；的前n項(xiàng)和為T(mén)n = n 2n 1 ； 因?yàn)樾碌臄?shù)列唧 的前2n 一 n_1項(xiàng)和為數(shù)列 召門(mén)的前2n -1項(xiàng)的和減去數(shù)列CbJ前n項(xiàng)的和，所以S廠（2：2 2） 一2八（丫 - 陽(yáng)-1）.所以 S2n丄_22心 3 2n(n_2,n N*)=1.2 2 由 2d)=a1(a1

4、 (k -1)d，整理得4d =印小你-5),因?yàn)閐 = 0，所以da1(k -5)4a3，所以q二工aa 2da1k -32因?yàn)榇嬖趍 k,m N*使得印忌成等比數(shù)列，所以3am =a1qfk-3又在正項(xiàng)等差數(shù)列an中,am=a1 (m -1)d = a1a1 (m -1)(k -5)4所以 a1 - a1（m）（k 一54，又因?yàn)?a10，有 2 14 (m-1)(k-5) |-(k-3)3，因?yàn)? 4 （m-1）（k -5）是偶數(shù)，所以（k-3）3也是偶數(shù)，即k-3為偶數(shù)，所以k為奇數(shù).拓展1 :（ 1）是否存在不相同的三個(gè)數(shù)，使得三個(gè)數(shù)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列？（2）是否存在這樣的三元

5、素集，使得三個(gè)元素既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列？（3） 設(shè)a1,a2,，an是各項(xiàng)不為零的n（n _4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差 d = 0，若將數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列，所有數(shù)對(duì) n，魚(yú)i所組成的集合為 d丿（4）（ 1 ）設(shè)a1,a2,|ldHan是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 （n 一 4）,且公差d = 0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得 到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列 當(dāng)n =4時(shí)，求 也的數(shù)值；求n的所有可能值；d（2）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)（n _4），存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列bbzIlMlbn，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列【解】本小題考

6、查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。（1）當(dāng)n=4時(shí)，a1.a2.a3.a4中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=022a*!若刪去a2，則a3二6刁4，即佝2d）二印佝，3d）化簡(jiǎn)得a1 4 0 ,得 -4d若刪去a3，則a22 =a a4，即（印 d）2二a13d）化簡(jiǎn)得ai -d = 0，得旦=1d綜上，得？ =_4或魚(yú)=1d d當(dāng)n=5時(shí)，a1,a2, a3,a4,a5中同樣不可能刪去 a1,a2, a4,a5，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去 a3，則 a a5 二 a2 a4，即 a-i (a1 4d) =(a1 d) (a1 3d)化簡(jiǎn)得 3d =0，因?yàn)?d

7、= 0,所以 a3不 能刪去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列a1,a2,a3| ,an,anJ,an中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，右刪去32 ,則必有31 3n - 93 3n _2 ,這與d匯0矛盾；同樣若刪去3n J也有31 Gn = 03 3n_2 ,這與d匯0 矛盾；若刪去33,|比3./中任意一個(gè)，則必有 3, On =32，這與d=0矛盾(或者說(shuō)：當(dāng)n6時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，n=4(2)假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n,存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列 b,b2, bn，其中bx d ,by d, bz d(0蘭xvy 2,k,m N* ，使得q、

8、5、Ck成等比數(shù)列.若存 bn 4在，求出所有符合條件的 m、k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1) t di =2，二 a3 二 a2 2 ,又 a； =1 a3,解得 a2 = 2 或 a2 = -1 .(2 ) T a2k，a2k 1, a2k -2 成等差數(shù)列，-2 a2 k = a2k a2k 2 ,a2k 12k i1qk -1而 a2k，a2k- a2 k 1 qk 1，故一qk -2，則 qk 1 - 1.qkqkqk得 蟲(chóng) 11,所以11，即bk.1-bk=1.qk 1一1 qk 一1 qk 一1qk 1 1 A故數(shù)列:bk 是公差為1的等差數(shù)列.(3 )由 q1 =2 得

9、=11，則 bn =1 (n -1) 1 = n .5 -1bnn1mkI Cn.貝U G,Cm,Ckbn 1 n 12 m 1 k 1假設(shè)存在m、k k m 2,k, m N* ，使得q、5、Ck成等比數(shù)列,整理得22mk =m 2m 112分因?yàn)閗 0 ,所以-m2 2m 10 .因?yàn)閙 2,m N*，所以m =2，此時(shí)k =8 .故存在m=2 , k =8，使得g、Cm、Ck成等比數(shù)列. 16分變式：在數(shù)列an中，a1=1 ,且對(duì)任意的kN*, a22,a2k,a2k1成等比數(shù)列，其公比為qk. (1 )若qk =2(k N*)，求 a1 83 85 .;- * 1(2)若對(duì)任意的k N

10、 , a2k, a2k 1, a2k 2成等差數(shù)列，其公差為 dk，設(shè)bk qk T 求證：”4 成等差數(shù)列，并指出其公差； 若d1 =2,試求數(shù)列dk的前k項(xiàng)的和Dk.解：因?yàn)閝k =2 ,所以的等比數(shù)列，所以色= 4,故ai,玄彳忌，,a2k是首項(xiàng)為1,公比為4a2k 二印 a3 a5“2 i 匕土 (4k 1-)1-43因?yàn)閍2k,a2k1, a2 k 2成等差數(shù)列，所以2a2k 1 =a2ka2k2，而 a2k, a2k 2 - a2k 1 qk 1，所以一 qk 1 - 2 ,則 qk 1 1 二qkqkqk1q111得1,所以1,即 bk 1 - bk = 1,qk 1 廠1qk

11、一1qk 廠1qk 1 _1qk -1所以:bk 是等差數(shù)列，且公差為1I I 2 因?yàn)閐2，所以a a22 ,則由a2 =1a a22，解得a2= 2或a2- -1(i )當(dāng) a2 時(shí)，q1=2,所以 d =1,則 bk =1 (k -1)仁 k,即二k ,qk -1得qka2k 1(k 1)2a2kk2則 a2k 1a2k 1(k 1)2k2a2k Ja2k J3a1k2(k-1)222712=(k 1)所以a2ka2k 1(k 1)2二k(k 1),則 dk所以aqkq1 二-1,所以 bi-a2k 1 一 a2k - k 1,故 Dk -E,則 bk1 (k -1) 1 -k2k(k

12、3)qk -1a2k +2k 1 =a2k 4a2k 4a2ka3印a1(k-(k-23 25 2(k-?) (k-?)(于1 24(一寸)2,則 a2k 二仏=(2k -1)(2k -3),所以 dk 二 a2k 1 -a2k =4k -2 ,從而 D2k2. qk綜上所述,Dk = k(k 3)或Dk =2k22(2)如果在數(shù)列:an /中，2an二an上-an ,k( n k 0)，你能得到什么結(jié)論？拓展1:數(shù)列Can?的各項(xiàng)均為正數(shù)若對(duì)任意的nN*，存在k- N* ,使得 ank an，an42k 成立，則稱(chēng)數(shù) 列Can 為“Jk型”數(shù)列.(1) 若數(shù)列CaJ是 &型”數(shù)列，且a8,a

13、1，求a?n ；(2) 若數(shù)列：a/f既是 型”數(shù)列，又是 6型”數(shù)列，證明：數(shù)列 曲 是等比數(shù)列.解：(1)由題意得n _41nJ 12， a2n =21 a乜 a?,a4, a6, a8 ,成等比數(shù)列，且公比q -a2 ”(2)證明：由an是J型”數(shù)列，得a1，a5 ， a9 ，a13，a17 ，,成等比數(shù)列，設(shè)公比為由 an是型”數(shù)列，得a1 ,a4 ,a7 ,a10,a13 ,-成等比數(shù)列，設(shè)公比為:-1;a2 ,a5 ,a8,a11,a14 ,-成等比數(shù)列，設(shè)公比為：2 ；a3 ,a6 ,a9 ,a12,a15 ,成等比數(shù)列，設(shè)公比為：3 ；a1343a174.3a214. 3則1二

14、t_ = -2-t ,3 -t .a1a5a94所以1 =2 = -3，不妨記=1 = ：3，且k_ (3k_2)丄是 a3k _2 二 aa 1.k 2k _2 k _2383 k 1 = a 5a ta-i -也 =a9k二=旳2:，丿=印飛3 3k 丄a1所以an 1 3亍n故 an為等比數(shù)列.a1 =1，前n項(xiàng)的和為Sn，已知對(duì)任意整數(shù)拓展2:設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項(xiàng)k M，當(dāng) n k 時(shí)，Sn -k Sn = 2(Sn Sk)都成立.(1) 設(shè) M =1 , a2 = 2，求 a5 的值；(2) 設(shè)M =3,4,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解】(1)由題設(shè)，當(dāng) n _2

15、時(shí),Sn 1 -Snj=2(Sn-Si),(Sn1 - Sn) -(Sn- Sn)=2Si ,從而 an t -an = 2印=2,又a2 = 2,故當(dāng) n _ 2時(shí),an = a2 2(n -2) = 2n -2. a5 的值為 8(2)由題設(shè)知，當(dāng) M 工3, 4,且n . k時(shí),Sn ,k - Sn -2Sn - 2Sk且 Sn 1 k Sn 1 - 2Sn 1 2Sk，兩式相減an 1 k an 1 _k - 2an 1 ,即 an 1 k _ an d _k - an 1 - an 1 _k所以當(dāng)n亠8時(shí),an _6 , an J3 ,an , an 3, an 6成等差數(shù)列，且an

16、 _6 , an _2 ,an 2, an 6也成等差數(shù)列從而當(dāng) n 一8時(shí)，2an =an 3 anv 二 an 6 an.(*)且 an .6 an_6 ran .2 a.工,所以當(dāng) n 一8時(shí)，2a. a. 2 a./，即 an.2 - an =an -and .于是當(dāng) n9時(shí),anj3,an J,an 1,an 3 成等差數(shù)列,從而 an 3 an J3 = an 1 an 1，故由(*)式知 2an = an 1 an J,即 an 1 - an = an - an當(dāng) n 一9 時(shí)，設(shè) d =an a* 1.當(dāng)2乞m乞8時(shí)，m 6 -8，從而由(*)式知2amam - am .伐故 2am 7 - am 1 am 13 .從而 2( am 7 iam6)