考慮幾何非線性時梁板的彎曲變形計算

1、文章編號 :1672 - 6146 (2004) 02 - 0049 - 03考慮幾何非線性時梁 (板) 的彎曲變形計算鄧科濤(湖南文理學院 土木建筑工程系 ,湖南 常德 415000)摘 要 : 改進了梁 ( 板) 的撓曲線微分方程的求解 ,對彈性范圍內梁 (板) 大變形情況下的彎曲變形計算給予修正 , 給 出了考慮幾何非線性時梁 (板) 彎曲變形計算的有限差分法 , 提高了計算精度 .關鍵詞 : 幾何非線性 ;彎曲變形 ;有限差分法較大的誤差 , 當然直接求解式 ( 1) 則會在數(shù)學上碰到很大困難 . 為了便于求解 , 并提高精度 , 利用泰勒展 開有 : 3= 1 + 32224d yd

2、 y + 3d y1 + (2)d x2d x8 d x中圖分類號 : tb 301文獻標識碼 :a在上式中截取前兩項顯然將比傳統(tǒng)地取 1 項將精確一些 , 事實上從第三項起每項的確很小了 . 故可將式(1) 近似寫為 :d2 y長期 以 來 , 在 傳 統(tǒng) 的 材 料 力 學 教 材 中 介 紹 梁(板) 的彎曲變形計算時 , 都是采用撓曲線近似微分 方程進行求解 , 當梁 ( 板) 的撓度和轉角很小時 , 這種 計算固然較精確 , 但對于某些情形將帶來較大的誤 差 . 例如 , 類似薄鋼尺的彎曲情況 , 它在彈性范圍之 內 , 其最大轉角可超過 15, 最大撓度與跨度之比可 超過 15 %

3、. 這已不滿足小變形假設 . 此種情況下的彎 曲變形計算必須考慮幾何非線性帶來的影響. 本文 從理論上提出了較為精確的計算方法 .1 考慮幾何非線性時梁 ( 板) 的撓曲線 方程1. 1 基本方程推導文 1 給出了梁 ( 板) 的撓曲線微分方程 :d2 yd x2m ( x)2 =( 3)1 + 3 d yei2 d x由于轉角 ( x) = d y , 故式 (3) 可寫為 :d xd d x = m ( x)( 4)1 + 3 2ei2將式 (4) 積分并利用三角函數(shù)性質則有 :2m ( x) d x)2 tg (3 ei( x) =( 5)3考慮到在彈性范圍內 md x 為一小量 , 再

4、( )xei 1 1 12 353利用tg = + 3 + 5 + + 3 故 式d x2m ( x)3 =( 1)(5) 可簡化為 :ei2d y21 +( x) = m ( x) d x + 1 (m ( x) d x) 3d x2 ei( 6)ei這里的坐標軸 y 以向上為正. 在梁 ( 板) 發(fā)生小上式即為 考 慮 幾 何 非 線 性 時 梁 ( 板) 轉 角 計 算 的 公式 ,式中第二項即為幾何因素 ( 大變形) 引起的非線 性項 , 當不計此項時完全與按近似撓曲線微分方程 求解結果一致 . 由式 (6) 求出轉角后再積分一次即得撓度計算公式 :變形時 , 亦即轉角 = d y 在

5、不超過 5時 , 因 ( d y ) 2 d xd x21 , 故式 (1) 可近似為 d y = m ( x) , 即撓曲線近似微分d2 xei方程. 由于工程中有不少情況其轉角可超過 15, 此時如果在式 (1) 中直接略去 ( d y ) 2 項將會帶來 m ( x ) 1 m ( x )y ( x) = d x d x + 2 (ei d x) d x (7)3d xei收稿日期 :2004 - 01 - 09作者簡介 :鄧科濤 ( 1964 - ) , 男 , 講師 , 研究方向 :固體力學.1m , b = 50mm , h = 2mm , e = 210 gpa , = 240m

6、pa . 現(xiàn)用有限差分法計算選定點的撓度 , 并與不考慮非線 性時作一比較 .1. 2算例以一簡單情況為例 ( 如圖 1) , 目的 是 考 查 幾 何 非線性對彎曲變形的影響程度.圖 2 懸臂梁受均布荷載fig. 2 cantilever beam loaded uniform load將梁 10 等分 , 即 h = l / 10 = 0. 1 m , 邊界條件為圖 1 懸臂梁受力偶作用fig. 1 cantilever beam loaded a couple將 m (x) = m 代入式 (7) 積分 ,并利用邊界條件(0) = 0 ,y (0) = 0 ,可得 :y = 0 , (

7、d y ) 0 = 0 , ( d y ) 0 = 0 , 由式 ( 9) 可得 : y1 = y - 1 ,d xd x23 4y ( x) = mx +m x( 8)y即為撓曲線向左延伸的一個虛擬點 - 1 的撓度 .8 e3 i32 ei- 1再利用差分公式 ( 11) 針對 i = 0 寫出方程并考慮到y(tǒng)0 = 0 , y1 = y - 1 , 則可求得 y1 = 3. 571 ( mm) , 再依次 對 1 , 2 , 3 , , 9 寫出差分方程 , 每次解一個一元二次方程可求得數(shù)據(jù)如下表所示 :上式中第二項可理解為由于幾何非線性引起的附加變形 ,工程中一般的受彎構件 ,其附加變形

8、很小 ,可 以忽略. 但當長度較長 ,截面較薄 ( 如薄鋼條) 時 ,則 不能忽略了 . 在此例中取 m = 2nm , e = 210 gpa , b =30mm , h = 2mm ,1 = 1 . 3m ,s = 240mpa . 則由式 ( 8) 可算得第 一 項 和 第 二 項 之 最 大 值 ( 見 式 ( 6 ) ) 分 別 為402 . 4mm 和 38 . 6mm ,可見附加變形占總變形約 9 % , 這已不 屬 于 小 變 形 范 圍 之 內 , 但 仍 屬 于 彈 性 范 圍 max = m/ wz = 2000/ 20 = 100 (mpa) . 由此可見彈性 范圍內的

9、不少彎曲變形計算 ,如果仍然采用近似撓 曲線微分方程求解 ,將帶來較大誤差 ,有必要考慮幾何非線性 .表 1用差公法計算的各分點撓度 ( 單位 :毫米)tab. 1 the deflection at dividing points by finite diffence method( unit :mm)分點號撓度值分點號撓度值12343. 5712. 9627. 0244. 72678989. 21113. 57138. 65164. 03 5 66. 06 10 189. 49 2 考慮幾何非線性時的有限差分法2 . 1差分公式的導出考慮到利用式 (7) 進行積分求解 ,有時情況較復 雜

10、,如荷載變化較大 ,截面變化等 ,這時積分計算將 會非常困難 . 在此就介紹常用的數(shù)值方法 有限差 分法.由文 1 有 :該算例若用近似撓曲線微分方程求解 , 所求得2qx( x2 - 4 lx + 6 l2 ) , 將前面給撓曲線方程為 y = -24 ei定參數(shù)值代入該方程依次算得各分點撓度大小如下表 :表 2用撓曲線方程算得的各分點撓度 ( 單位 :毫米)tab. 2 the deflection at dividing pointsby equation of deflection curve ( unit :mm)d y= yi + 1 - yi - 1分點號撓度值分點號撓度值( 9

11、)d x2 h y i + 1 - 2 y i + y i - 1i12343. 3412. 5026. 2044. 43678984. 87107. 63131. 06154. 78d2 y=(10)d x2h2i將上兩式代入 ( 3) 并稍作整理得 : 5 63. 25 10 178. 59 mi3 miyi + 1 - 2 yi + yi - 1 = h2+( y2- 2 yy+i + 1 i + 1 i - 1eii8 eiiy2i - 1)(11)根據(jù)式 ( 9) 再利用表 1 中數(shù)據(jù)可得 9 號點轉角上式即為考慮非何非線性時梁 ( 板) 彎曲變形計算的差分公式 .2. 2算例給定一

12、懸 臂 梁 如 圖 所 示 , 自 重 q = 10n/ m , l =9 = ( d y ) 9 = 189 . 49 - 138 . 65 = 0 . 254 ( rad)= 14. 6.d x2 100而利用轉角方程算得轉角值為 12. 4, 這已遠超出第 2 期鄧科濤 考慮幾何非線性時梁 (板) 的彎曲變形計算51(1. mathematics and computer science college , hunan normal university ,changsha hunan ,410081 ;2. department of mathematics , hunan unive

13、rsity ofarts and science ,changde hunan ,415000)小變形假設規(guī)定值 ( 一般規(guī)定小于 5) , 但最大彎曲1- 2210(1000) mmax2: max應 力 為=1wz50 226150 (mpa) s , 可見該例仍屬彈性范圍內的彎曲 .abstract : the fault - tolerant design of multibus structure inwhich each processor was connected to two buses ,and a new class of multibus structure with

14、better falu - tolerant and expandability was put forward.key words :multibus structure ;fault - tolerant ; graph ; connect2ed(責任編校 :譚長貴)結語彈性范圍內梁 ( 板) 彎曲問題 , 當最大轉角超過5時 , 其彎曲變形計算須考慮幾何非線性項的影響 , 即計入附加變形. 其附加變形隨著跨度增大 、彎矩增 大 、截面慣性矩的減小而迅速增大 , 受彎情況比較簡 單的情況下 , 可按式 ( 6) 、( 7) 計算轉角和撓度. 較為 復雜的彎曲情況 , 為避免數(shù)學上的困難 ,

15、 建議使用有限差公法 .3(上接第 26 頁)胡忠鯁主編 . 現(xiàn)代化學基礎 m . 北京 : 高等教育出版社 ,2001.顧 惕 人 等 編 著 . 表 面 化 學 m . 北 京 : 科 學 出 版 社 .1999.1314參考文劉鴻文 . 材料力學 (上冊) m .1992.獻北京 : 高等教育出版社 ,1study on the preparation technologyof nanosized fe3 o4 magnetic fluids2徐芝綸 . 彈性力學簡明教程 (第二版) m . 北京 :高等教育出版社 ,1983 :9 - 10.calculation of bending

16、 def ormationof bea m( plate) considering geometric nonlinearityzhan g yin - ya n1 ; wan g zun - yi2 ;gon g we n - guo 3 ; chen kun3 ; che zhi - lia ng3 ; zhao shi - feng3 ;yin yan - sheng1 ;zhang jin - sheng4(1. key lab. for liquid structure and heredity ofministry of education , engineering cerami

17、cskey lab. of shandong province ,jinan ,shandong ,250061 ;2. zhejiang wanli college ,ningbo zhejiang ,315100 ;3. taishan steel and iron corporate limited of shandongprovince ,jinan ,2711004. civil engineering department of shandong jiaotong university ,jinan ,250023 ,china)d en g ke - tao(department

18、 of civil and architecture engineering hunann university of arts and science ,changde hunan ,415000)abstract :the solution of differenetial equation of the deflectioncurve of beam(plate) was improved ,and which revised the calcula2 tion of bending deformation of beam ( plate) with large deformation

19、within region of elasticity ,gave the finite difference method of calcu2 lation of bending deformation of beam(plate) while considering geo2 metric nonlinearity ,and raised precision of calculation.key words :gemoetric nonliearity ; bending deformation ; finite difference method(責任編校 :劉剛毅)abstract : the technical process of nanosized fe3o4 magneticfluids was studied by chemical co - precipitation method