歷年數(shù)列高考題及答案

1、1.（福建卷）已知等差數(shù)列 an中,a7 a9 16 a41,則 a12 的值是() 2. （湖南卷） A. 0 3. （江蘇卷） (A ) 33 4. 5. A. 15 已知數(shù)列an滿足 B.3 B. 30 C. 31 D. 64 ai 0,an 1 C. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 (B ) 72 （全國(guó)卷II ） (A) a1a8 （全國(guó)卷II ） (C ) 84( D )189 如果數(shù)列 a4as an是等差數(shù)列，則（ an3(n f 3an 1 N ) ，則 a20= 3 D.2 中，首項(xiàng)a1=3， 前三項(xiàng)和為21, 則 a3+ a 4+ a 5=() (B) a1 a8 a4 a5(

2、C) a1 a8a4 11如果a1，a2丄，直為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差 (A) a1 a8a4 a5 (B)a1a8a4a5 as (D) a1a8 d 0，則（ a4 as (C) a1 鬼 a4 a5 (D)a8 a4 as 6. （山東卷）an是首項(xiàng)a1=1，公差為d =3的等差數(shù)列，如果 an =2005,則序號(hào)n等于（） （A） 667（B） 668（C） 669（D） 670 7. （重慶卷）有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè) 頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2,且改塔形的表面積（含最底層 正方體的底面面積）超

3、過(guò)39,則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（） （A） 4 ;（B） 5 ;（C） 6 ;（D） 7。 8. （湖北卷）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為S,若SmSn, S+2成等差數(shù)列，則q的值為 827 9. （全國(guó)卷II ）在3和2之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 10. （上海）12、用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)91-92- -9n可得到n!個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫(xiě)成一個(gè) n!行的數(shù)陣。 對(duì)第 i 行 9|19|2，ain，記 bi ai12九 3ai3 （ %, i1,2,3, n!。例如：用1, 2 , 3可得數(shù)陣 如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是 12,所

4、以，b1 b2b6122 12 3 1224，那么，在 用1, 2, 3, 4, 5形成的數(shù)陣中，b1 b2b120=。 11.(天津卷)在數(shù)列 佝中,a 1=1, a 2=2,且 an 2 an 1 ( 1) (n N ), 則 S00 =. n為偶 an 1 12.(北京卷)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a=az 4 ,且 an n為奇 ，記bn 1 a2n 1 4 , n= I ,2,3,. (I )求 a2, a3； (II )判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論; (III )求 nim(b1 b2 b3 Lbn) 13.(北京卷)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且a=1, 3Sn 2, 3,，求

5、(I ) a2, a3, a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (II)a2ga6La2n 的值. 14 .(福建卷)已知 an是公比為q的等比數(shù)列，且ai，a3，a2成等差數(shù)列 (I)求q的值； (H)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為S,當(dāng)n2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明 理由 丄 15.(福建卷)已知數(shù)列an滿足ai=a,亦=1 +為 我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得 3 511 1,2,-,-,;當(dāng)a-時(shí),得到有窮數(shù)列：-，1,0. 到無(wú)窮數(shù)列：2 -22 (I)求當(dāng)a為何值時(shí)a4=0； 1 (n N ) (n)設(shè)數(shù)列b n滿足b1=- 1,

6、 bn+1= bn 1，求證a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮 數(shù)列an； -an 2(n4) (川)若2，求a的取值范圍. 16.(湖北卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2n2, bn為等比數(shù)列，且ai，b2(a2 ai) b1- (I)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式; (n)設(shè) bn，求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn. 仃.(湖南卷)已知數(shù)列l(wèi)og 2(an 1)n N )為等差數(shù)列，且 a13, a39. 1 1. (n)證明 a2 a1 a3 a2an 1 an (I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 20.(全國(guó)卷I )設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn 0 (n 1,2,) n 1,2,3

7、,其中A,B為常數(shù). (I )求A與 B的值； (n )證明數(shù)列 an為等差數(shù)列 (出)證明不等式-5amn； aman 1對(duì)任何正整數(shù) m、n都成立 1 19.(全國(guó)卷I )設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的首項(xiàng)12，前n項(xiàng)和為Sn，且2S30(21)S203。0 (I)求an的通項(xiàng)； (n)求nSn的前n項(xiàng)和Tn。 (I)求q的取值范圍； bn an 2 _ an 1bTo T (n)設(shè)2 ，記bn的前n項(xiàng)和為ln，試比較Sn與ln的大小。 21. n (全國(guó)卷II)已知 可 是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，9印、9比、lg 34成等差數(shù)列.又 1,2,3,L (I )證明bn為等比數(shù)列； 7 (n )如

8、果數(shù)列bn前3項(xiàng)的和等于24，求數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公差d . (I ) 數(shù)列（高考題）答案 1-7 8. A B C B B C C (湖北卷)-2 9. (全國(guó)卷II ) 216 10.(上海)-108011. （天津卷）2600 12. （北京卷）解: a2= a1+ 4 =a+ 4 , 1 1 a3= 2 a2= 2 a+ 8 ； (II 3 )v a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 1 所以 a5= 2 a4= 13 4 a+16 1 1 1 所以 b1=a1 4 =a 4 ,b=a3 4 = 2 (a 4 ), 1 1 1 bs=a5 4 = 4 (a 4 ), 猜想：bn是公比為

9、2的等比數(shù)列 1丄 丄 證明如下： 因?yàn)?bn+1 = a2n+1 4 = 2 a2n 4=2( a2n 1 4 )= 2 bn,( n N*) 所以bn是首項(xiàng)為a 4,公比為2的等比數(shù)列 lim(b| b2 L n bn)lim n (III ) 1 bi(1 歹) 廠 2 b 2 1 2(a 4) 13.（北京卷）解: (I) 由 a1=1, an 1Sn n=1, 3,，得 a2 1 3a1 a3 3S2 a2) a4 A3 1 3(a1 a2 a3) 16 27 由an 1 an 3(Sn 3 1 3a (n2) an 1 4 3an an=3( n 2 (n2),又 a2= 3，所以

10、 an= 3 3 (n 2), (II ) a2a4 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an 由（I ）可知 ,a4丄 公比為（3）2項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列， a6 La2n 3 4 2n K) 1 14 .（福建卷）解：（ I）由題設(shè)2a3 a1 a2,即 卩 2a1q2 a1 aiq, a10, 2q2 q 10. (n)若 q 1,則 Sn 2n n(n 1) 2 2 時(shí),Sn bnSn 1( 1)(n 2) 0. 故Sn bn . 1 n(n 1) ,則 Sn 2n ) 2 9n 2 時(shí),5bn Sn (n 1)(n 4 10) ，當(dāng)2 9時(shí),Snbn；當(dāng) n 10時(shí),Sn bn；當(dāng) n 11 時(shí),S

11、n 4a, an 1 15.（福建卷） ）解法一: an a2 a41 丄1 a1 丄 a3 3a 2a 1 a 2 故當(dāng)a 1 1 -,a3 1 a2 2a 1 a 1 解法二 a4 0, a31 丄 a2 a2 1 a3 丄 2 0, a2 0. 1. b a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù)不妨設(shè)a 1 1 bn (II )解法 1,bn bn 2.故當(dāng)a 3 1 1. bn 1 t 時(shí) a40. bn, a2 a3 a2 a1 bn 1 bn 1. bn 2. an an 1 an 1 0. b2 b1 1. 故a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù), 16.（湖北卷） 解: ( 1):當(dāng) n 1 時(shí),a1 s

12、 當(dāng) n 2 時(shí),an Sn Sn1 bn . 都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 an 2； 2n22(n1)2 4n 2, 故an的通項(xiàng)公式為an4n 2,即an是ai 2,公差d 4的等差數(shù)列 q,則 biqd bi,d 4, q -. 設(shè)bn的通項(xiàng)公式為4 故bn b-qn 1 當(dāng),即bn的通項(xiàng)公式為 4 bn (II ) cn an bn 4n 2 2 4 (2n 1)4n1, CC2 14 3 兩式相減得 Tn 4Tn 42 Cn 5 1 43 1 2 45 4 (2n3)4n 1 (2n (2n 1)4n 1)4n 1, 3Tn1 2(41 42 43 4n 1)(2n 1)4n 1 n 3

13、(6n 5)4 5 1 n Tn 9【(6 n 5)4n 5. 17.(湖南卷) 2n 8 ， (I )解：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)Og 2(an 1)的公差為d. 由 a13, a3 9得 2(log2 2 d) log2 2 lOg2 8,即 d=1. 所以 lOg2(an 1)1 (n 1)n,即 an 2n 1. 1 1 1 (II )證明因?yàn)镵 n 1ana 12*2“ 1 1 1 1 1 1 1 所以a2 a1 a3a? an 1an 21 22 23 2n 1 1 1 2_21 2 1 - -1. 1 1 2 2 解: ( I )由 3-| 132 6 比 11 得 S| 1 S22S318

14、 A B 28, 把n 1,2 分別代入(5n 8)Sn !(5n 2)Sn An B ,得 2A B 48 解得， A 20 B 8 18.(江蘇卷) (n )由(I )知，5n(Si 1 Sn )8Sn 12 20n 8 即 5nan 1 8Sn 1 2Sn 又 5(n 1)an 2 8Sn 2 2Sn 1 20(n 1) 8. -得，5（n 1）a 2 5nan 1 8an 2an 120，即(5n 3)an 2 (5n 2總 1 20 又(5n2) an 3 (5n7)an 2 20 -得，（5n 2)(an 3 2an 1) -an 3 2an 2 an 10 -an 33n 2 a

15、n 2 an 1 a3 a2 5 又 a2 a15 因此，數(shù)列an是首項(xiàng)為 公差為5的等差數(shù)列. 4,(n N 考慮 5amn 5(5 mn 4) 25mn 20 ( 10 即 2 (a21 a22 a30) a12 可得 10 / q佝1 a12 a20 ) a11 a12 a20 - 因?yàn)閍n 0，所以 10 10 q 1, 解得q 1 2，因而 an n 1,2, （n）因?yàn)閍n是首項(xiàng) a1 公比 1 q 2的等比數(shù)列, Sn 2(1 2,nSn 2n n 2n 則數(shù)列nSn的前n項(xiàng)和 (1 2 n)(1 2n), 1 2 Tn 2(1 n)(2 角. 前兩式相減, Tn 2 -(1 2 2 n) (2 丄)丄 nn 1 2 2 n(n 1) _4 2d Tn n(n 1) _2 1 2* 1 20.（全國(guó)卷I 解：（I）因?yàn)?an是等比數(shù)列, Sn 0,可得a1 S1 0,q 0. 當(dāng)q 1時(shí),Sn 當(dāng)q 1時(shí),Sn a1(1 qn) 上式等價(jià)于不等式組: 0,(n 1,2,L ) 00,(n 1,2, 1 q 0, 彳n,（n 1,2, 或1 q 0 解式得q1;解，由于n可為奇數(shù) 可為偶數(shù), 得一 1q0 且1q 0 1 2或q 2時(shí)Tn Sn0 即 Tn