修改后第四章彎曲

1、化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 第四章第四章 彎曲彎曲 一、本章的重點、難點：一、本章的重點、難點： 1.1.剪力和彎矩的求法；剪力和彎矩的求法； 2.2.純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力的計算方法；純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力的計算方法； 3.3.利用正應(yīng)力強度條件解決實際問題。利用正應(yīng)力強度條件解決實際問題。 二、本章授課內(nèi)容：二、本章授課內(nèi)容： 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 4.4 4.4 純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力 4.5 4.5 慣性矩的計算慣性矩的計算 4.6 4.6 彎曲正應(yīng)

2、力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 4.8 4.8 提高梁彎曲強度和剛度的措施提高梁彎曲強度和剛度的措施 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 起重機大梁起重機大梁 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 車削工件車削工件 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 火車輪軸火車輪軸 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 彎曲特點彎曲特點: 作用在桿件上的外力垂直于桿件的軸線，使原直線的軸作用在桿件上的外力垂直于桿件的軸線，使原直線的軸 線變形成為曲線。以彎曲變形為主的桿件通常

3、稱為梁。線變形成為曲線。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 平面彎曲：平面彎曲： 平面彎曲平面彎曲: 彎曲變形后的軸線為平面曲線彎曲變形后的軸線為平面曲線, 且該且該 平面曲線仍與外力共面平面曲線仍與外力共面。 對稱彎曲對稱彎曲 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 常見彎曲構(gòu)件截面：常見彎曲構(gòu)件截面： 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 梁的載荷與支座：梁的載荷與支座： 集中載荷集中載荷 分布載荷分布載荷 集中力偶集中力偶 固定鉸支座固定鉸支座活動

4、鉸支座活動鉸支座 固定端固定端 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 火車輪軸簡化：火車輪軸簡化： 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 吊車大梁簡化：吊車大梁簡化： 均勻分布載荷均勻分布載荷 簡稱均布載荷簡稱均布載荷 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 非均勻分布載荷：非均勻分布載荷： 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化

5、學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 簡支梁簡支梁 外伸梁外伸梁 懸臂梁懸臂梁 FAx FAy FBy FAx FAyFBy FAx FAy MA 靜定梁的基本形式：靜定梁的基本形式： 4.1 4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 FN FS M 0 x F 0 N F 0 y F 1AS FFF y 0 c M)( 1 axFxFM Ay F FS S剪力，平行于剪力，平行于 橫截面的內(nèi)力合力橫截面的內(nèi)力合力 M M 彎矩，垂直于彎矩，垂直于 橫截面的內(nèi)力系的橫截面的內(nèi)力系的 合力偶矩合力偶矩 FBy FN FS M 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 FAy 化學(xué)化工與材料科

6、學(xué)學(xué)院 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的剪力對所選梁截面上的剪力對所選梁 段上任意一點的矩為順時針段上任意一點的矩為順時針 轉(zhuǎn)向時，剪力為正；轉(zhuǎn)向時，剪力為正；反之為反之為 負(fù)。負(fù)。 + _ 截面上的彎矩截面上的彎矩 使得梁呈凹形為正；使得梁呈凹形為正； 反之為負(fù)。反之為負(fù)。 左上右下為正；左上右下為正；反之為負(fù)反之為負(fù) 左順右逆為正；左順右逆為正；反之為負(fù)反之為負(fù) + _ 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 解：解： 1. 確定支反力確定支反力 FAyFBy 0 y F FFF ByAy 2 0 A M aFFaaFBy23 3 F FBy

7、3 5F FAy2. 用截面法研究內(nèi)力用截面法研究內(nèi)力: FAy FSE ME 0 y F 3 5 2 F FF SE 0 O M 2 3 3 5 2 2 aF M a F E 3 F FSE 2 3Fa M E 例題例題4-14-1 FAy 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 FBy FByFAy FSE ME O 3 F FBy 3 5F FAy 分析右段得到：分析右段得到： FSE ME O 0 y F0 BySE FF 3 F FF BySE 0 o MFa a FM ByE 2 3 2 3Fa M E 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 化學(xué)化工與材料科學(xué)

8、學(xué)院 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截 面任一側(cè)外力的代數(shù)和。面任一側(cè)外力的代數(shù)和。 FAy FSE 3 5F FSE 2F FSE F2 3 F 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的彎矩等于截面任截面上的彎矩等于截面任 一側(cè)外力對截面形心力矩的代一側(cè)外力對截面形心力矩的代 數(shù)和。數(shù)和。 ME FAy 2 3 3 5aF M E 2 2 a F Fa 2 3 2F ME 4.2 4.2 剪力和彎矩剪力和彎矩 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 8/ 2 ql q 懸臂梁受均

9、布載荷作用。懸臂梁受均布載荷作用。 試寫出剪力和彎矩方程，并試寫出剪力和彎矩方程，并 畫出剪力畫出剪力圖圖和彎矩和彎矩圖。圖。 解：解：任選一截面任選一截面x x ，寫出剪力，寫出剪力 和彎矩方程和彎矩方程: : x lxqxxFS0 lxqxxM02/ 2 依方程畫出剪力依方程畫出剪力圖圖和彎矩和彎矩圖圖 FS x M x ql 2/ 2 ql l 由剪力由剪力圖、彎矩圖可見。最圖、彎矩圖可見。最 大剪力和彎矩分別為大剪力和彎矩分別為: : qlFS max 2/ 2 max qlM 例題例題4-24-2 q x xM xFS 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)

10、學(xué)院 BA l FAY FBY 圖示簡支梁圖示簡支梁C C點受集中力作用。點受集中力作用。 試寫出剪力和彎矩方程，試寫出剪力和彎矩方程， 并畫出剪力圖和彎矩圖。并畫出剪力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 00， BA MM F FAy Ay Fb/l F FBy By Fa/l 2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程 FS x M x lFb/ lFa/ lFab/ x1 AC axlFbxFS 11 0/ axlFbxxM 111 0/ CB lxalFaxF S 12 / lxalxlFaxM 112 / 3. 3. 依方程畫出剪力圖和彎矩圖。依方程畫出剪力圖和彎矩圖。

11、 C F ab 例題例題4-34-3 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA l 圖示簡支梁圖示簡支梁C C點受集中力偶作用。點受集中力偶作用。 試寫出剪力和彎矩方程，試寫出剪力和彎矩方程， 并畫出剪力圖和彎矩圖。并畫出剪力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 00， BA MM FAyM / l FBy -M / l 2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程 x2 lMa/ x1 AC axlMxFS 11 0/ axlMxxM 111 0/ CB bxlMxFS 22 0/ bxlMxxM 222 0/ 3. 3. 依方程畫出剪力圖和彎矩圖

12、。依方程畫出剪力圖和彎矩圖。 lM / lMb/ C M ab 例題例題4-44-4 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 32/3 2 ql32/3 2 ql BA l 簡支梁受均布載荷作用。簡支梁受均布載荷作用。 試寫出剪力和彎矩方程，試寫出剪力和彎矩方程， 并并畫出剪力畫出剪力圖圖和彎矩和彎矩圖。圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 00， BA MM FAy FBy ql/2 2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程 y x C x lxqxqlxF S 02/ lxqxqlxxM02/2/ 2 3.3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。依方程畫出剪力圖和

13、彎矩圖。 FS x M x 2/ql 2/ql 8/ 2 ql 例題例題4-54-5 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 剪力圖和彎矩圖有以下五點規(guī)律：剪力圖和彎矩圖有以下五點規(guī)律： 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 1.1.若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，M M為斜為斜 直線；直線； 2.2.若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，M M為二為二 次拋物線；次拋物線； 3.3.若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力圖有突變，若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪

14、力圖有突變， 其值為該處集中力的大小，其值為該處集中力的大小，M M圖在此有折角；圖在此有折角； 4.4.若梁上有集中力偶，則在集中力偶作用處，剪力圖無若梁上有集中力偶，則在集中力偶作用處，剪力圖無 變化，而彎矩圖有突變，突變值及為該處集中力偶的力偶矩；變化，而彎矩圖有突變，突變值及為該處集中力偶的力偶矩； 5.5.某截面剪力某截面剪力0 0的地方，則彎矩為極值。的地方，則彎矩為極值。 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA 1.5m1.5m1.5m FAYFBY 1kN.m 2kN 例題例題4-64-6 簡支梁受力的大簡支梁受力的大 小和方向如圖示。小和方向如圖示。 試畫出其剪力圖和彎矩圖。試畫出其剪

15、力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 00， BA MM 求得求得A、B 二處的約束力二處的約束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根據(jù)力矩平衡方程根據(jù)力矩平衡方程 2 2確定控制面確定控制面 在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力 內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 (+) (-) BA FAYFBY 1kN.m 2kN M (kN.m) x O 3 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 建立建立F FS Sx

16、x 和和M Mx x 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。 5 5根據(jù)微分關(guān)系連圖線。根據(jù)微分關(guān)系連圖線。 4 4應(yīng)用截面法確定控制面應(yīng)用截面法確定控制面 上的剪力和彎矩值，并將其上的剪力和彎矩值，并將其 標(biāo)在標(biāo)在F FS S-x-x和和M-x M-x 坐標(biāo)系中。坐標(biāo)系中。 0.89 1.11 1.335 1.67 (-) (-) 0.335 x FS (kN) O 0.89 kN= 1.11 kN 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （-） （+） 解法解法2 2：1 1確定約束力確定約束力 F FAy Ay 0.89 kN 0.89 kN F FFy Fy 1.11 kN 1

17、.11 kN 2 2確定控制面為確定控制面為A、C、D、 B兩側(cè)截面。兩側(cè)截面。 FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC 3 3從從A A截面左測開始畫剪力截面左測開始畫剪力 圖。圖。 Fs（ kN） 0.89 1.11 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （-）（-） 4 4從從A A截面左測開始畫截面左測開始畫 彎矩圖。彎矩圖。 M（ kN.m） 從從A A左到左到A A右右 從從C C左到左到C C右右 從從D D左到左到D D右右 從從A A右到右到C C左左 1.330 0.330 從從C C右到右到D D左左 1.

18、665 （-） （+） FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC Fs（ kN） 0.89 1.11 從從D D右到右到B B左左 從從B B左到左到B B右右 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 q B A FAy FBy 例題例題4-7 4-7 試畫出梁試畫出梁 的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 根據(jù)梁的整體平衡，由根據(jù)梁的整體平衡，由 00， BA MM 求得求得A A、B B 二處的約束力二處的約束力qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , qa 2 2確定控制面確定控制面 由于

19、由于ABAB段上作用有連續(xù)分布載荷，故段上作用有連續(xù)分布載荷，故A A、B B兩個截兩個截 面為控制面，約束力面為控制面，約束力F FBy By右側(cè)的截面，以及集中力 右側(cè)的截面，以及集中力qaqa 左側(cè)的截面，也都是控制面。左側(cè)的截面，也都是控制面。 C 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （+） （-） （+） q B A FAy FBy C 3 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐坐 標(biāo)系。標(biāo)系。 O FS x O M x 4 4確定控制面上的剪確定控制面上的剪 力值，并將其標(biāo)在力值，并將其標(biāo)在F FS Sx x 中。中。

20、 4/9qa 4/7qa qa 32/81 2 qa 4/9a 2 qa 5 5確定控制面上的彎矩確定控制面上的彎矩 值，并將其標(biāo)在值，并將其標(biāo)在M Mx x中。中。 qa 4 9 qa 4 3 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （+） （-） qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , q B A FAy FBy 解法解法2 2：1 1確定約束力確定約束力 2 2確定控制面，即確定控制面，即A A、B B、 D D兩側(cè)截面。兩側(cè)截面。 3 3從從A A截面左測開始畫截面左測開始畫 剪力圖。剪力圖。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4.3 4.3 剪力圖

21、和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （+） M （+） （-） q B A a FAy FBy Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4 4求出剪力為零的點求出剪力為零的點 到到A A的距離。的距離。 B B點的彎矩為點的彎矩為 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段為上凸拋物線。且有段為上凸拋物線。且有 極大值。該點的彎矩為極大值。該點的彎矩為 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/32 5 5從從A A截面左測開始畫彎截面左測開始畫彎 矩圖矩圖

22、4/9a 81qa2/32 qa2 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （-）（-） （+）（+） （-） Fs 例題例題4-8 4-8 試畫出圖示有中間試畫出圖示有中間 鉸梁的剪力圖和彎矩圖。鉸梁的剪力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力 2/qaFDy 從鉸處將梁截開從鉸處將梁截開 q FDy FDy qa 2/3qaFBy 2/qaFAy 2/ 2 qaM A qa/2 qa/2 qa M qa2/2qa2/2 B A a qa C aa D q 4.3 4.3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 1、回顧與比較：、回顧與比

23、較： 內(nèi)力內(nèi)力 N F A 應(yīng)力應(yīng)力 P I T FS M ? ? 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 2 2、純彎曲：、純彎曲： 梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 一、平面假設(shè)和變形幾何關(guān)系一、平面假設(shè)和變形幾何關(guān)系 x aa bb m n n m m

24、 aa b b mn n 平面假設(shè)：平面假設(shè)： 橫截面變形后保持為平面，橫截面變形后保持為平面， 且仍然垂直于變形后的梁軸且仍然垂直于變形后的梁軸 線，只是繞截面內(nèi)某一軸線線，只是繞截面內(nèi)某一軸線 偏轉(zhuǎn)了一個角度。偏轉(zhuǎn)了一個角度。 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 凹入一側(cè)纖維縮短凹入一側(cè)纖維縮短 突出一側(cè)纖維伸長突出一側(cè)纖維伸長 中間一層纖維長度不變中間一層纖維長度不變 中性層中性層 中間層與橫截面的交線中間層與橫截面的交線 中性軸中性軸 設(shè)想梁是由無數(shù)設(shè)想梁是由無數(shù) 層縱向纖維組成層縱向纖維組成 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 胡克定理：胡

25、克定理：E y E 建立坐標(biāo)建立坐標(biāo) 二、物理關(guān)系和應(yīng)力分析二、物理關(guān)系和應(yīng)力分析 (a) (b) dx aa bb m n n m oo y 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 三、靜力學(xué)關(guān)系三、靜力學(xué)關(guān)系 Z 1 EI M (c) FN、My、Mz 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式： 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系： 物理關(guān)系：物理關(guān)系： y E y E 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系： Z 1M EI Z I My 為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率 1 為

26、曲率半徑，為曲率半徑， 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 正應(yīng)力分布正應(yīng)力分布 Z I My Z max max I My max Z M W Z max Z I W y M M 與中性軸距離相等的點，與中性軸距離相等的點， 正應(yīng)力相等；正應(yīng)力相等； 正應(yīng)力大小與其到中性軸正應(yīng)力大小與其到中性軸 距離成正比；距離成正比； 中性軸上中性軸上,正應(yīng)力等于零。正應(yīng)力等于零。 min Z M W 4.44.4 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 一、常見截面的一、常見截面的 IZ 和和 WZ Z 圓截面

27、圓截面矩形截面矩形截面空心圓截面空心圓截面空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z Z max y z I W 64 4 Z d I 3 32 z d W )1 ( 64 4 4 Z D I 3 4 (1) 32 z D W 12 3 Z bh I 2 6 z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I 33 00 0 ()/(/2) 1212 z b hbh Wh 4.54.5 慣性矩的計算慣性矩的計算 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 二、組合截面的慣性矩二、組合截面的慣性矩 平行移軸公式平行移軸公式 1.1.組合截面的慣性矩：組合截面的慣性矩： AAA n 1i Z 222 Z 12

28、 i I.dAydAydAy I 2.2.平行移軸公式：平行移軸公式： AaIIAaII , AaaAy2I dAaydAa2dAy dAa)(ydAyI 22 ZZ 2 CZ A 2 AA 2 A 2 A 2 1Z 11 1 yy C 0yZ軸過形心，軸過形心，由于由于 C dA o Z1 y1 a y b Z Z1 y1 Z y 4.54.5 慣性矩的計算慣性矩的計算 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 彎曲正應(yīng)力強度條件：彎曲正應(yīng)力強度條件： Z W max maxmax max z MyM I 1.1.等截面梁彎矩最大的截面上等截面梁彎矩最大的截面上 2.2.離中性軸最遠(yuǎn)處離中性軸最遠(yuǎn)處 4.4.

29、脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮 tt max, cc max, 3.3.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與 M z I 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K點正應(yīng)力點正應(yīng)力 2.2.C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力 3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力 4.4.已知已知E=200GPa， C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 FS x 9

30、0kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力） 解：解： 例題例題4-94-9： 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 9

31、0kN 90kN 2.2.C C 截面最大正應(yīng)力截面最大正應(yīng)力 C C 截面彎矩截面彎矩 mkN60 C M C C 截面慣性矩截面慣性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yM C C 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力 最大彎矩最大彎矩 mk

32、N5 .67 max M 截面慣性矩截面慣性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑 C 截面彎矩截面彎矩 mkN60 C M C 截面慣性矩截面慣性矩 45 Z m10832. 5 I m4

33、 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 z I yM max max max （1 1）分析）分析 （2 2）彎矩）彎矩 最大的截面最大的截面M （3 3）抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù) 最最 小的截面小的截面 z W 圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知：圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知： ,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130 2 Fbammd 材料的許用應(yīng)力：材料的許用應(yīng)力： .MPa60 mm160 1 d z W M

34、max max 例題例題4-104-10 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核 （4 4）強度校核）強度校核 B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M zB B MPa4 .46Pa104 .46 13. 0 321605 .62 32 6 33 2 max d Fb W M zC C C C截面：截面： （5 5）結(jié)論）結(jié)論 軸滿足強度要求軸滿足強度要求 （1 1）計算簡圖）計算簡圖 （2 2）繪彎矩圖

35、）繪彎矩圖 F Fa a F Fb b 解：解： 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 分析：分析： （1 1）確定危險截面）確定危險截面 （3 3）計算）計算 max M （4 4）計算）計算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號 z W 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重 材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 MPa,140 kN,7 . 6 1 F ,kN50 2 F 起重量起重量跨度跨度 m,5 . 9l 試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 z W M max max （2 2）

36、 例題例題4-114-11 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （4 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號 （5 5）討論）討論 （3 3）根據(jù)）根據(jù) z W M max max 計算計算 336 6 3 max cm962m10962 10140 4 5 . 910)507 . 6( M Wz （1 1）計算簡圖）計算簡圖 （2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖 解：解： 36c36c工字鋼工字鋼 3 cm962 z W kg/m6 .67q 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，

37、尋找需要校核的截面 cctt max,max, , 要同時滿足要同時滿足 分析：分析：非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。 試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30 ct 例題例題4-124-12 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080

38、 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （4 4）B B截面校核截面校核 t t MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, c c MPa1 .46Pa101 .46 1064. 7 1088104 6 6 33 max, （3 3）作彎矩圖）作彎矩圖 kN.m5 .2 kN.m4 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 （5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t

39、 MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, （4 4）B B截面校核截面校核 （3 3）作彎矩圖）作彎矩圖 tt MPa2 .27 max, cc MPa1 .46 max, kN.m5 .2 kN.m4 梁滿足強度要求梁滿足強度要求 4.64.6 彎曲正應(yīng)力的強度條件彎曲正應(yīng)力的強度條件 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 工程中的彎曲變形問題工程中

40、的彎曲變形問題 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 一、撓曲線一、撓曲線 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 撓曲線方程：撓曲線方程： )(xyy 由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計 撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為： dx dy tan 撓曲線撓曲線 y x x y 撓度撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓度撓度y y：截面形心在：截面形心在y y 方向的位移方向的位移 y 向上為正向上為正 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。 逆時針為正逆時針為正 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 二、撓曲線的近似微分

41、方程二、撓曲線的近似微分方程 推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響 z EI xM x )( )( 1 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 由數(shù)學(xué)知識可知：由數(shù)學(xué)知識可知： 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高階小量，得：略去高階小量，得： 2 2 1 dx yd 所以：所以： z EI xM dx yd)( 2 2 2 M(x) 0M(x) 0 O d y dx 2 0 x y M(x) 0 O dx d y 0 2 2 y x M(x) b。 解解 1 1）由梁

42、整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得： l Fa F l Fb FF ByAyAx ,0 2 2）彎矩方程）彎矩方程 axx l Fb xFxM Ay 1111 0 , AC AC 段：段： lxaaxFx l Fb axFxFxM Ay 222222 ),()( CB CB 段：段： max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分 11 2 1 1 2 )(x l Fb xM dx yd EI 1 2 1 1 1 1 2 )(Cx

43、l Fb xEI dx dy EI 111 3 1 1 6 DxCx l Fb EIy AC AC 段：段： ax 1 0 )()( 222 2 2 2 2 axFx l Fb xM dx yd EI 2 2 2 2 2 2 2 )( 22 )( 2 Cax F x l Fb xEI dx dy EI 222 3 2 3 2 )( 66 2 DxCax F x l Fb EIy CB CB 段：段： lxa 2 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界

44、條件確定積分常數(shù) 0)(, 22 lylx 0)0(, 0 11 yx 代入求解，得：代入求解，得： 位移邊界條件位移邊界條件 光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx l Fb FblCC 66 1 3 21 0 21 DD max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 )( 62 222 1 1 bl l Fb x l Fb EI 1 223 1 )( 66 1 xbl l Fb

45、x l Fb EIy AC AC 段：段： ax 1 0 )( 6 )( 22 222 2 2 22 bl l Fb ax F x l Fb EI 2 223 2 3 22 )( 6 )( 66 xbl l Fb ax F x l Fb EIy CB CB 段：段：lxa 2 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度 令令 得得， 0 dx d )( 6 , maxal EIl Fab lx B 令令 得，得， 0 dx dy )( 3

46、9 )( , 3 322 max 22 EIl blFb y bl x max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 )( 2 2 xMEIy dx yd EI 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩個載荷同時作用，任意截面上的彎矩 為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為y y，則有：，則有： )(xMEIy ii 若梁上只有第若梁上只有第i i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩 為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有： i

47、i y )(xM i 由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知： )()( 1 xMxM n i i 所以，所以， )( )( 11 xMyEIyEI n i i n i i 三、用疊加法求梁的變形三、用疊加法求梁的變形 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 故故 )( 1 n i i yy 由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此 , 1 n i i n i i yy 1 重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角， 等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù) 和。這

48、就是計算彎曲變形的疊加原理。和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 例例4-154-15 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q q、l、 EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面的撓度截面的撓度y yC C ；B B截截 面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角 B B 1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解 321CCCC yyyy 321BBBB yC1 yC2 yC3 2 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的撓度和截面的撓度和 B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI q

49、l B 3 3 3 EI ql yC 384 5 4 1 EI ql yC 48 4 2 EI ql yC 16 4 3 解：解： 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 3 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時 的結(jié)果求和的結(jié)果求和 )( 384 11 1648384 5 4 444 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql yy i CiC )( 48 11 31624 3 333 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB yC1 yC2 yC3 4.7 4.7 彎曲變形彎曲變形 化學(xué)化工與材料科學(xué)學(xué)院 例例4-164-16 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示， q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面的撓度截面的撓度 y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C 1 1）首先，將梁上的載荷變成有表）首先，將梁上的載荷變成有表 可查的情形可查的情形 為了利用梁全長承受均布載為了利用梁全長承受均布載 荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延 長至梁的全長，為了不改變原來長至梁的全長，為了不改變原來 載荷作用的效果，在載荷作用的效果，在AB AB 段還需段還需 再加上集度相同、方向相反的均再加上集度相同、方向相反的均 布載荷。布載荷。 C y 解：