最優(yōu)化控制時間、燃料最優(yōu)控制問題.

1、主要內(nèi)容4. 1 Bang-Bang 控制4.2線性時不變系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題4.3時間最優(yōu)控制系統(tǒng)的綜合4.4燃料最優(yōu)控制問題4.5時間燃料最優(yōu)控制問題4.1Bang-Bang 控制問題4.1(時間最優(yōu)控制問題)已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程I%(/) =+ BX(ttU(t) (4)審Mx(o，F(xiàn)是對X(0和F連續(xù)可微的77維向最函數(shù)；X(F), t 是對X(r)和F連續(xù)可微的維的矩陣兩數(shù).要求確定滿足下列 不等式|wy(/)| 1 丿=1,2,，加(4.1.2)約束的加維容許控制向量，使系統(tǒng)(4.1.1)從給定的初態(tài)X(G = X(j(4.1.3)到達(dá)滿足約束條件(I)X(r/),r/ = 0(4

2、.1.4)的某一終態(tài)X0),其中濾可變的，是對X(r)和連續(xù)可微的廠 維向量函數(shù)。并使性能指標(biāo)達(dá)到最小值。(4.1.5)J = J f dt = tf -t0J /fl解：(1)應(yīng)用最小值原理來求解。寫出該問題的哈密頓函數(shù)= 1 + 才/認(rèn)(4+ /鳳 x (/)(/)-(2)規(guī)范方程及邊界條件分別為X(t)=翌=/%(/),r +CAdXdX(t)辦=_cH_= dflXjqt dBX(ttU(t)r ax(/)X Go) = X。0X(rz),rz = O小知寥 I =0di(r),/(；*(/)佩馭+ )小如+心加如)日亠.著重分析下式:min AT(t)BXt)jU(t)丿= 1.2,

3、加 |山歸(4.6)為i寸論方便起見，定義加維行向量q(t) = AT(r)BX(tt其分量qJ(t) = AT(t)h)X(t)9t, j = 12 ,m其中0X(/), /是矩陣/的第/個列向量，即則m%”(/)=久a)xa),/R/a)=q(t)u(t)=工幻(。(“ J=1于是2r(r)BX*(r),d*(0= min A1J = 1,2,，加祐(呻|可轉(zhuǎn)化為如下條件min y/U(t)= mn Y ()竹()不定，若幻JJ亠*o“：a)= sgn%a) = sgn (r)巧X(JJ = 1,2,” f wgffl由上式可知， %（何,則吋有定義。 g“） = o,咲河取滿足約束條件/

4、.（r）jl的任何值，“/）不定。定義4.1 若在區(qū)間心巾內(nèi)，存在一時間可躺TS,切，,仏 w%心,P = 1,2,;） = 1,2,，加 使得對所有的/=1, 2,，加，有,0,當(dāng)且僅當(dāng)心如非零，當(dāng)“則稱該時間量優(yōu)問題電正郴O在正常的時間最優(yōu)問題中，函數(shù)幻只是在有限個孤 立的時刻取零值、相應(yīng)的最優(yōu)控制分量礦僅在這些時刻發(fā)生 跳變。I是具有第一類間斷點的 分U 胡山函數(shù)。8Uj(t) = -sgn(z(/)圖41定義4.2若在區(qū)間心 巾內(nèi)，至少存在一個區(qū)間M，r2l Gr(), 使得對所肴的/丘八，4】有qJ(t) = A, (r)巧X(f),f =(), j = 1,2,m則稱該時/礙優(yōu)問碑

5、站的而區(qū)間兒,t?稱為奇亓區(qū)間。町 廠上| q j命異區(qū)間心？11J_只要有一個函數(shù)j= ，2, . /?)在某一段(或幾段)時 ft：間IGer0,引上取零值，則稱該時間最優(yōu)問題是奇異的，在區(qū)間兒，r2h,切等于零。此時，由關(guān)系式幻()=一 sgnq/(F), J = 1,2.m無法確定最優(yōu)控制各分量約P)之值。2.奇異情況的出現(xiàn),既不意味著時間最優(yōu)控制不存在，也不意 味著時間最優(yōu)控制無法定義，它僅僅表明，由控制方程不能 推岀最優(yōu)控制fT(r)與片、兄和了的確切關(guān)系.定理4.1 Bang-Bang控制原理(正常的時間最優(yōu)控制問題) 設(shè)是問題4的時間最優(yōu)控制，X0)和2是相應(yīng)的狀 脊和協(xié)態(tài)。若

6、問題是正常的，則時間最優(yōu)控制曠的各個 旱吋(戶1，2,，川)可以按照下列關(guān)系確定(0 = -sgn (/) = -sgn (r)/?y | X (r), f 1丿=1,2,，加 則時間最優(yōu)控制的并個分量礦都是時間的分段常值函數(shù)， 并在開關(guān)時間伽上發(fā)生吋(/)由一個恒值到另一個恒值的跳變。*上式還可以寫成向量的形式= -sgnr(r) = -sgn 2r(r)BX(0,zr = -sgn ”X(/),/(/) 就劍：定理4.1表明,一個正常的時間最優(yōu)控制問題，其最優(yōu) 控制的每個分量竹p)均在自己的兩個邊界值之間來冋轉(zhuǎn)換， 滿足幻=0的諸點恰好是轉(zhuǎn)換點。這是一種繼電型控制， 通常稱為Bang-Ba

7、ngjS制或開關(guān)控制。12控制向量受限時，非線性系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題控制向量受限時，非線性系統(tǒng)的綜合最優(yōu)控制問題線性時不變系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題問題42(時間最優(yōu)控制問題)已知線性時不變系纟允的狀態(tài)方程X(t) =+(4.2)式屮X(f)是”維狀態(tài)向顯，U是力維控制向呈，A是心維 矩陣，是朋加維常數(shù)矩陣。設(shè)系統(tǒng)(4.2.1)是】1、* 的。要求確定滿足下列不等式nz(r)| 0時，u*=.l1kfX x, 、“.、一 _T T = x(t) = (xQ + k)e T -kx(0) = x0當(dāng)=Tln(l+半)時，入)=0,即狀態(tài)垃)能冋到狀態(tài)空間 原點(2)當(dāng)初始狀態(tài)x(0)=x00,c2

8、=0fiT*1 I33Cl=0心,C20雙積分系統(tǒng)幾種可能的最短時間控制曲線該問題的時間最優(yōu)控制存在且唯一，最優(yōu)控制只可能取并且最多切換一次。 豈時，狀態(tài)方程為= dx = xdx.1 、n = X, + c1 2 2相軌跡為一簇拋物線。其箭頭代表狀態(tài)運動的方向。在這簇拋物線中，只有也線q = （X|,X2） : xl = x2 x2 0)能到達(dá)坐標(biāo)原點。將匚和廠合并為一條曲線，記為C該曲線方程為 r=/；Uc = (x,x2):x, =-x2x2 且垓曲線是系統(tǒng)由任一初態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到原點的必 以o若令 F(x2) = -|x2|x2和 Mx1.x2) = xi-(-|x2|x2) = x1

9、-F(x2) hxv x2)稱為開關(guān)函數(shù)。 乙又可表示為切換曲線方程：r = /；Ur_ =(X|,X2)：X| =x2x2r:/j(xl,x2) = x1 - F(x2) = 0R切換曲線/將狀態(tài)平面心一心劃為四部分:/*+；J切換曲線廠以上的平面，記為 切換曲線廠以下半平面，記為/?+；R =(XI,X2)：/7(XI,X2)OR/?+ =(x,x2):/?(x1,x2)0-sgnx2(r)9 A(xpx2) = O+ 1,/2(XpJf2)0I-sgnx2(/)J,/z(%px2) =0H克，所綜合的時間最優(yōu)控制系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。 圍中虛線部分為所設(shè)計的時間最優(yōu)控制器。廠求解也即J

10、:在最短時間控制函數(shù)涉作用下系統(tǒng)的性能指標(biāo)4=(取最小，這時的最小轉(zhuǎn)移時間與X2O) 1在相平面的位置有關(guān)。(1)(x10, x20)處于 上時，u=+l,則狀態(tài)方程的解為兀2(1) = / + %20t = t且兀2(，/)=。解得丄(2)(x10, x20)處于上時,十則狀態(tài)方程的解為x2(r) = -r + x20令 t t f-且 x2 (tf ) = 0吃0 解得u=-l(3)(x10,x20）處于 R_ 上時，u*= -1, 1, E為切換點，將其分為兩段：u=-l,狀態(tài)方程的解伏Z1 =2O +U = l,狀態(tài)方程的解為/； =/1+r2=x20 + 2(4)(Xo，x20)處于

11、 R+上時，u*= 0)的情況$(s + a)G($)=U(s) ssa)y + ay = ux y ? x2= y佔=兀2x2 ax2 + u47求解思路(同上例) 1、獲取吋間最優(yōu)控制的相關(guān)信息-判斷時間最優(yōu)控制是否存在-判斷時間最優(yōu)控制問題是否正常-判斷吋間最優(yōu)控制是否唯一-判斷切換次數(shù) 2、寫出可能的最優(yōu)控制律 3、具體分析求解思路(同上例) 3、具體分析*1)當(dāng)“1吋，寫出狀態(tài)方程，畫出相平血軌線 (可得到一簇軌線，為什么？)，從中找到使得 x(tf)=O的軌線仃；(2) 當(dāng)時，寫出狀態(tài)方程，畫出相平面軌線， 從中找到使得x(tf)=O的軌線匚；(3) 合并，得r = r Ur ,寫出開關(guān)函數(shù)h(x),切 換曲線廠將狀態(tài)平面x,-x2劃為四部分：廠+： r_； 切換曲線廠以上的平面h(x) X),記為切換曲線 r以下半平面h(x) )：