函數(shù)恒成立存在性及有解問(wèn)題

1、()()() () ( )() ()() ()()()x2m函數(shù)恒成立存在性問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)梳理1、恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： a f (x)恒成立a f (x)； a f (x)恒成立 a f (x)max2、能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： a f (x)能成立a f (x)； a f (x)能成立a f (x)minmin maxaf(x)在m上恒成立3、恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： a f x 在 m 上恰成立 a f x 的解集為 m af x 在c rm 上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若 x d, f ( x ) a 在 d 上恰成立，等價(jià)于 f ( x ) 在 d 上的最小值 f ( x) =a ，若 x d, f ( x

2、) bmin在 d 上恰成立，則等價(jià)于 f ( x ) 在 d 上的最大值 f ( x ) =b .max4、設(shè)函數(shù)f (x)、g(x)，對(duì)任意的x a,b ，存在 1x c,d ，使得 f (x2 1)g(x)，則 2fmin(x)gmin(x)5、設(shè)函數(shù)f (x)、g(x)，對(duì)任意的x a,b ，存在 1x c,d ，使得 f (x)g(x)，則 2 1 2fmax(x)gmax(x)6、設(shè)函數(shù) f (x)、g(x)，存在xa,b，存在x c,d ，使得 f (x)g(x)，則f (x)g (x)1 2 1 2 max min7、設(shè)函數(shù) f x 、 g x ，存在 x a , b ，存在

3、x c , d ，使得 f x g x ，則 f (x)g (x)1 2 1 2 min max8、若不等式 f x g x 在區(qū)間 d 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 d 上函數(shù) y = f x 和圖象在函數(shù) y =g x圖象上方； 9、若不等式f (x)0，x 01）對(duì)任意x 1,2，都有f ( x) g ( x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2）對(duì)任意2、設(shè)函數(shù)x 1,2, x 2,4 ，都有 f ( x ) g ( x ) 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；1 2 1 2a 1 1h( x) = + x + b ，對(duì)任意 a ,2 ，都有 h( x) 10 在 x ,1 恒成立，求實(shí)數(shù) b 的取

4、值范圍 x 2 43、已知兩函數(shù)f ( x ) =x21 ， g ( x) = -m ，對(duì)任意 2 x 0,2，存在 1x 1,2，使得 2f ( x ) g (x)1 2，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、對(duì)于滿足 p 2 的所有實(shí)數(shù) p,求使不等式x2+px +1 p +2 x恒成立的 x 的取值范圍。2、已知函數(shù) f ( x) =ln(ex+a )( a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集 r上的奇函數(shù)，函數(shù) g (x)=lf(x)+sin x是區(qū)間 -1,1上的減函數(shù)，()求 a的值；()若 g ( x ) t 2 +lt+1在x -1,1上恒成

5、立，求 t 的取值范圍；題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來(lái)）1、當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式x +mx +4 a成立,則等價(jià)于在區(qū)間 d 上 f (x) a ；max若在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f (x)b成立,則等價(jià)于在區(qū)間 d 上的 f (x)b .minx , y322x2()()a1、存在實(shí)數(shù) x，使得不等式 x +3 + x -1 a 2 -3a有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為_(kāi)。2、已知函數(shù)f (x)=lnx-12ax 2 -2 x (a0)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考

6、，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式 f (x)m對(duì) x i 不等式 f (x)m對(duì) x i 不等式 f (x)m對(duì) x i 課后作業(yè)：時(shí)恒成立 f ( x ) m， x i 。即 f (x)的上界小于或等于 m ；max時(shí)有解 f ( x) m ， x i 。即 f (x)的下界大于或等于 m ；min時(shí)有解 f ( x ) m ， x i .。 或 f (x)的上界大于或等于 m ； max1、設(shè) a 1 ，若對(duì)于任意的 x a ,2 a ，都有 （a） a |1 a 2 （b） a | a 2y a , a 2 滿足方程 log x +log y =3 ，這時(shí) a 的取

7、值集合為（ ）a a（c） a | 2 a 3 （d） 2,32、若任意滿足 x -y 0 x +y -5 0的實(shí)數(shù) ，不等式 a( x2+y 2 ) ( x +y )2恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最大值是 _ .y -3 03、 不等式 sin 2x -4sin x +1 -a 0 有解，則 a 的取值范圍是4、 不等式 ax x (4-x)在x0,3內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。5、已知兩函數(shù) f (x)=7x2-28 x -c， g (x)=2x3+4 x2-40 x。（1）對(duì)任意 x -3,3，都有 f (x)g(x)成立，求實(shí)數(shù) c的取值范圍；（2）存在 x -3,3，使f(x)g(x

8、)成立，求實(shí)數(shù) c的取值范圍；（3）對(duì)任意 x , x -3,3，都有f (x)g(x)，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍；1 2 1 2（4）存在 x , x -3,3，都有f (x)g(x)，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍；1 2 1 216、設(shè)函數(shù) f ( x) =- x +2 ax -3a x +b (0 a g(x)成立,求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.0 0 0函數(shù)專題 4：恒成立問(wèn)題參考答案：題型一、常見(jiàn)方法1、分析：1）思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f (x) -g(x) 0恒成立，在通過(guò)分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決2）思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)f ( x) 和 g ( x)分別求最值，即只需滿足f (x) g

9、 (x) min max即可簡(jiǎn)解：（1 ）由 x2-2 ax +1 -ax0 a 0，故j( x) 在 x 1,2 是增函數(shù)，j ( x) =j(1) =min23，所以 a 的取值范圍是0 a 0 ,設(shè) f (p)=(x-1)p+x2-2x+1，則f(p)在-2,2上恒大于 0，f(-2)0x2-4x+30 x 3或x 1故有： x 3f2 0 x-10 x 1或x -12、 ()分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母： l及 t ,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將 l視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在 (-,-1內(nèi)關(guān)于 l的一次函數(shù)大于等于 0 恒成立的問(wèn)題。()略解：

10、由()知： f ( x) =x ， g ( x) =lx+sin x ，q g ( x) 在 -11，上單調(diào)遞減，g(x) =l+cos x 0l-cos x在 -1，1上恒成立， l-1，g( x )max=g (-1) =-l-sin1，只需-l-sin1 t2+lt+1， (t +1)l+t2+sin1 +1 0（其中 l-1）恒成立 ， 由 上 述 結(jié) 論 ： 可 令 f(l)=(t+1)l+t2+sin1 +1 0(l-1）,則t +1 0 -t -1 +t 2 +sin1 +1 0 t2t -1-t +sin1 0， 而t 2 -t +sin1 0恒成立， t -1。題型三、分離參

11、數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來(lái)）1、當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式x +mx +4 0恒成立，則 的取值范圍是 .解析: 當(dāng) 時(shí)，由 x +mx +4 0得 m -x +4x. m -5.o題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問(wèn)題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1、解析：對(duì) x r,不等式| x |ax恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知-1a 1，即-1a 1。2、分析：為了使 f(x)k在 x -1,+)恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù) f(x)= f(x)-k，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間 -1,+)時(shí)恒大于等于 0 的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問(wèn)題得到圓滿解決。解：令 f(

12、x)= f(x)-k =x2-2 kx +2 -k，則 f(x)0對(duì) x -1,+)恒成立，而 f(x)是開(kāi)口向上的拋物線。當(dāng)圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)滿足 d0 ，即 d=4 k2-2(2-k)0，解得 -2 k 1 。當(dāng)圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且在 x -1,+)時(shí) f(x)0，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得：2()()( )()2()()u x =-1min22 ( )x 0,32d0f (-1)0解得-3k-2 -2k- -12，故由知 -3k 0d0，同理，若二次函數(shù) y =ax 2 +bx +c (a0)小于 0恒成立，則有a 0da成立,則等價(jià)于在區(qū)間 d 上 f (x) a

13、；max若在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f (x)b成立,則等價(jià)于在區(qū)間 d 上的 f (x)b .min1、解：設(shè) f (x)=x+3+x -1 ，由 f (x)a2-3a有解， a 2 -3a f (x)，又 x +3 + x -1 (x+3)-(x-1)=4，a2-3a 4，解得a 4或a -1。min2、解： 因?yàn)楹瘮?shù)f (x)1 ax +2 x -1存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 f x = -ax -2 =-x x - x 0, + 能成立, 設(shè) u x = -x 2 x x 2 x.1 2 1 由 u x = - = -1 -1得, .于是, x 2 x x 由題設(shè) a 0 ,所

14、以 a 的取值范圍是 (-1,0)u(0,+) 課后作業(yè)：a -1,1、b。解析：由方程log x +log y =3 a a可得 y =a 3x，對(duì)于任意的x a ,2 aa2 a 3 ，可得 a2 x2，依題意得 a2a a 2。 2a2 a 2252、 答案： 。解析：由不等式 a ( x 2 +y 2 ) ( x +y ) 213可得a 1 +2x y+y xy 3，由線性規(guī)劃可得1 。x 23、解：原不等式有解 a sin2x -4sin x +1 =(sinx -2 )-3 (-1sinx 1)有解，而 (sinx-2)-3 min=-2，所以 a -2。4、解：畫(huà)出兩個(gè)凼數(shù) y

15、=ax 和y =x (4-x)在x 0,3y上的圖象如圖知當(dāng) x =3時(shí) y =3， a =33當(dāng) a 3 3 ， 時(shí)總有 ax x 4 -x 所以 a 3 30 3 x5、解析：（1 ）設(shè) h (x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+c，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 x -3,3時(shí)，h(x)0恒成立，故 h (x)0。令minh(x)=6x-6x-12 =6 (x+1)(x-2)=0，得x=-1或2。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知h (x)在-3,-1單調(diào)遞增，在-1,2單調(diào)遞減，在 2,3單調(diào)遞增，且 h (-3)=c-45 由 c -45 0 ，得 c 45 。，h (x) =h (-1)=c+7 極大值，

16、h (x) =h (2)=c-20 極小值，h (3)=c-9， h (x)=h(-3)=c-45 min，（2）據(jù)題意：存在 x -3,3，使f(x)g(x)成立，即為：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3,3 （1）知 h (x)=c+70，于是得 c -7。max（3）它與（1）問(wèn)雖然都是不等式恒成立問(wèn)題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意x , x -3,31 2有解，故 h (max ，都有 f (x)g1x )(x0 ，由)成立，2x12x2x1 (x2)2 (x1)(x2)2x22221x2 1x2q(1)m22m30( ) ()()2不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x ，x 的取值在

17、 -3,3上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：1 2f ( x) g ( x),x -3,3 。 f (x)=7(x-2)2-c-28,x-3,3f(x)=f (-3)=147-c，max min max g (x)=6x2+8x-40= 2 (3x+10 )(x-2)，g(x)=0在區(qū)間-3,3上只有一個(gè)解x=2。 g (x)=g (2)=-48，147 -c -48 ，即 c 195 . min（4）存在 x , x -3,3，都有f (x)g(x)，等價(jià)于 f1 2 1 2 ming (x)=g(-3)=102，-c-28102 c -130 max 2(x)g (x)1 max

18、 2，由(3)得f (x)=f(2)=-c-28 min 1，點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使 用其成立的充要條件。6、解：（）f (x) =-x2 +4 ax -3a 2（1 分）令f (x) 0, 得 f ( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令f (x) 0,得f ( x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+） （4 分）當(dāng) x=a 時(shí)，f ( x)極小值=-34a 3 +b;當(dāng) x=3a 時(shí)，f ( x)極小值=b. （6 分）（）由|f(x)|a，得ax2+4ax3a2a.（7 分）0a2a.f(x) =-x2+4 ax

19、 -3a2在 a +1, a +2上是減函數(shù). （9 分） f (x) = f (a +1) =2 a -1. f (x) = f ( a +2) =4a -4. max min于是，對(duì)任意 x a +1, a +2 ，不等式恒成立，等價(jià)于-a4 a -4, 4 解得 a 1. a 2 a -1. 5又0 a 1,45a 1. 7、解：(1)oay2f /(1)obln(x1)oc0，oay2f /(1)obln(x1)oc由于 a、b、c 三點(diǎn)共線 即y2f /(1)ln(x1)12 分yf(x)ln(x1)12f /(1)1 1f /(x) ，得 f /(1) ，故 f(x)ln(x1)4

20、 分2x 1 2(x2)2x x2（2）令 g(x)f(x) ，由 g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)6 分故 g(x)g(0)02x即 f(x) 8 分1（3）原不等式等價(jià)于 x2f(x2)m22bm31 1 2x x3x令 h(x) x2f(x2) x2ln(1x2)，由 h/(x)x 10 分 當(dāng) x1，1時(shí)，h(x)max0，m22bm30q(1)m22m30令 q(b)m22bm3，則得 m3 或 m312 分8、解：(i) 由題意得f (e)=pe-q p 1 -2ln e =qe - -2 p -q e + =0e e e 而1e + 0e，所以p =q

21、p p 2 px 2 -2 x +p(ii) 由 (i) 知 f x =px - -2ln x ， f x =p + - = 4 分x x 2 x x 2令 h (x)=px-2x +p ，要使 f (x)在其定義域 (0,+?) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+?) 內(nèi)滿足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5 分 當(dāng) p 0 時(shí)， px 2 0 , -2 x 0 h (x)0 時(shí)， h (x)=px2-2 x +p，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為1x = 0 ，+ p)，h (x)=h min1 1= p -p p，只需1p - 0p，即 p1 時(shí)， h(x)0，f(x)

22、0， f (x) 在 (0,+?) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1 適合題意. 綜上可得，p1 或 p0pp 21 2另解：(ii) 由 (i) 知 f (x) = pxx2ln x f(x) = p +x 2= p (1 +x 2)x要使 f (x) 在其定義域 (0,+?) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 f(x) 在 (0,+?) 內(nèi)滿足：f(x)0 或 f(x)0 恒 成立.1 2 2 2由 f(x)0 ? p (1 + x 2 )x 0 ? p 1 ? p( 1 )max，x 0x +xx +x2 2 2 = 1，且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立，故 (x + x 2 x x x + p11x)max = 11 2 2x 2x由 f(x)0 ? p (1 + x 2 )x 0 ? p x