誤差理論與數(shù)據(jù)處理第6版費(fèi)業(yè)泰-課后答案全

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理練習(xí)題第一章 緒論1-7 用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測量某壓力得，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測得為，問二等標(biāo)準(zhǔn)活 塞壓力計(jì)測量值的誤差為多少【解】在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測得的量值當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活 塞壓力計(jì)測量值的絕對誤差測得值實(shí)際值（Pa）。相對誤差 = 0.3 100% 0.3%） m ，為了使 g100.5221-9 使用凱特?cái)[時(shí)， g由公式 g=4 （ h1+h2） /T 給定。今測出長度（ h1+h2）為（ 振動(dòng)時(shí)間 T為（） s。試求 g及其最大相對誤差。如果（ h +h ）測出為（） m ， 2 1 2的誤差能小于 0.001m/s 2， T的測量必須

2、精確到多少【解】測得（ h1+h2）的平均值為（ m），T 的平均值為（ s）。由gT2 (h1h2) ,得：422.048021.04230 9.81053(m/ s2)當(dāng) （h1 h2） 有微小變化(h1 h2) 、T有 T 變化時(shí)，令 h h1 h2g 的變化量為：(h1gh2) (h142T2 4T 2 (h1(h1h2)8T32(h1 h2) T2Th2) 2TT(h1 h2)4T2gh2(hTg T2TTh)42T28T3 h Tg 的最大相對誤差為：24 T2 h 2 TTh4 T2 (h1 h2)0.00005 2 ( 0.0005)24 T2 h 2 TThh 2 T4 2

3、h4 T2 hhT 1.042302.0480100% 0.054%如果 (h1h2) 測出為() m，為使 g 的誤差能小于 0.001m/s 2，即： g 0.001也即42g T 2(h1 h2 )2 T (h1 h2) 0.0014222.048022T0.00052.0480T1.04220 0.0010.00051.01778 T 0.00106T 0.00055( s)檢定級(jí)(即引用誤差為 %)的全量程為 100V 的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V 刻度點(diǎn)的示值誤差求得：rmVUm2 2%Um100由于： 2%1-10.2V 為最大誤差，問該電壓表是否合格【解】 引用誤差示值誤差測量范圍上

4、限。所以該電壓表的引用誤差為：所以該電壓表合格。113 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為 10000km 時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過， 優(yōu)秀射手能在距離50m 遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為 2cm 的靶心，試評述哪一個(gè)射擊精度高解：多級(jí)火箭的相對誤差為：0.10.00001 0.001%10000射手的相對誤差為：1cm 0.01m 0.0002 0.002%50m 50m多級(jí)火箭的射擊精度高。附加 1 1 測得某三角塊的三個(gè)角度之和為180o0002”,試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于：180o0002 180o 2相對誤差等于：2 2 2o 0.00000308641 0.000031% 180o

5、 180 60 60 648000第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理2-2. 試述單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 ，兩者物理意義和實(shí)際用途有何x不同【解】單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 表征同一被測量 n次測量的測量值分散性的參數(shù)，可作為測量列中單次測量不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)?？勺鳛樗阈g(shù)平均值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)xn算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 是表征同一被測量各個(gè)獨(dú)立列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，x當(dāng)測2 , 2 中的概P( 2 )122(2 2 )d2e (2 )d引入新變量 t: tt ,經(jīng)變換上式成為：2tP( 2 )22 0 et22 dt2 (t) 2 0.4195 0.84 84%2）誤差服從反正弦分布時(shí)因反正弦

6、分布的標(biāo)準(zhǔn)差為：，所以區(qū)間 2 , 2a,a在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的 量次數(shù) n愈大時(shí) ,算術(shù)平均值愈接近被測量的真值，測量精度也愈高。2-3. 試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在 率。【解】（1）誤差服從正態(tài)分布時(shí)故 : P( 2 )a2a2d3） 誤差服從均勻分布時(shí)因其標(biāo)準(zhǔn)差為：所以區(qū)間232a ，故P( 2 )123a23a1d2a2a2 23a 0.8282%2-4. 測量某物體重量共 8次， 差。測得數(shù)據(jù)（單位為g）為，求其算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)解】選參考值 x0 236.00，計(jì)算差值 xixi 236.00、 x0 和殘差 v

7、i 等列于表中?；蛞浪阈g(shù)平均值計(jì)算公式， n=8，直接求得：xi236.43(g)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算：i10.0680.02826 測量某電路電流共 5 次，測得數(shù)據(jù) （單位為 mA） 為，。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解：Iii1168.49(mA)0.085(Iixn0.0850.04i1I)123 0.0850.05R 0.6745x0.020.06T 0.7979x0.034 0.085mm) 為27 在立式測長儀上測量某校對量具，重復(fù)測量 5 次，測得數(shù)據(jù) ( 單位為20 0015，。若測量值服從正態(tài)分布，試以99的置信概率確定測量結(jié)果。解： 求算術(shù)平均值

8、 nlix i 1 20.0015mmn 求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差用貝塞爾公式計(jì)算：用別捷爾斯公式計(jì)算：求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差42.55 10 4 mmnvi1.253 i 1n(n 1)1.2530.00085442.24 10 4 mm2.55 1041.14 10 4 mm2.24 10 40.0001求單次測量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差 做法 1 ：因 n 5 較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按 t 分布處理。 現(xiàn)自由度為： n1 4； 1， 查 t 分布表有： t 單次測量的極限誤差：limx t 4.60 2.55 104 1.173 103 1.17 103mm算術(shù)平均值的極限誤

9、差：limx t x 4.60 1.14 10 4 5.24 10 4mm寫出最后測量結(jié)果做法 2 ：4L x lim x 20.0015 5.24 10 4 mm因假設(shè)測量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=2 (t)=99%，則 (t)=，查正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù) t 2.6單次測量的極限誤差：lim xt2.60 2.55 10 46.63 10 40.00066算術(shù)平均值的極限誤差：limxtx2.60 1.14 10 42.964 10 40.0003寫出最后測量結(jié)果L x lim x 20.0015 0.0003 mm0.001mm ，若要求測量的允許極210 用某儀器測量工件尺寸

10、，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差 限誤差為 0.0015mm ，而置信概率 P 為時(shí)，應(yīng)測量多少次 解：根據(jù)極限誤差的意義，有t x t 0.0015n根據(jù)題目給定得已知條件，有0.0015 1.50.001查教材附錄表 3 有若 n5， v 4，有 t，t n2.7852.781.242.236若 n4， v 3，有 t，t3.183.181.59n42即要達(dá)題意要求，必須至少測量5 次。2-11 已知某儀器測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 m 。若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測得值為 26.2025mm ，試寫出測量結(jié)果。若重復(fù)測量 10次，測得值(單位為 mm )為， 試寫出測量結(jié)果。若手頭無該儀器測量的標(biāo)準(zhǔn)差值

11、的資料，試由中10次重復(fù)測量的測量值，寫出上述、的測量結(jié)果。解： 單次測量的極限誤差以 3 計(jì)算 :limx 3 3 0.5 1.5( m) 0.0015m( m)所以測量結(jié)果可表示為： (mm)10 重復(fù)測量 10 次，計(jì)算其算術(shù)平均值為： xxi 26.2025(mm)i10.0005 -4 取與相同的置信度，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 : x1.58 10 mmn 10limx 3 x 3 1.58 10-4 4.74 10-4 5 10-4 mm則測量結(jié)果為： x 3 x 26.2025 0.0005(mm) 若無該儀器測量的標(biāo)準(zhǔn)差資料，則依 10 次重復(fù)測量數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和表示測量結(jié)果。選參

12、考值 x0 26.202，計(jì)算差值 xi xi 26.202、 x0 和殘差 vi 等列于表中。42 108 2.2 10 4mm用貝塞爾公式計(jì)算：n vi2i1n1算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：10 1n2.2 10 40.00007 mm取與相同的置信度，則測量結(jié)果為：xi 3此時(shí)的測量結(jié)果為26.2025 3 0.00022 26.2025 0.00066的測量結(jié)果為26.2025 0.0007(mm) ；26.2025 3 0.00007 26.2025 0.0002126.2025 0.0002 (mm).2-13 測量某角度共兩次， 測得值為 1=24 1336，”2=241324，”其標(biāo)準(zhǔn)

13、差分別為 1=3.1 ”， 2=13.8 ”，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解】已知各組測量的標(biāo)準(zhǔn)差，可確定各組的權(quán)。11p1 : p22 : 2121 : 12 : 23.12 13.821 19044:9619.61 190.44取： p119044p, 2 961選取 0 24 1336，可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：pi ii1 0m pii124 1335.424 133619044 0 961 (12)19044 961加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求兩測量結(jié)果的殘余誤差：v1 0.6v,2 11.4m2pivx2ii1m(m 1) pii1算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：6.6

14、19044 0.62 961 ( 11.4)2(2 1)(19044 961)2-15. 試證明 n 個(gè)相等精度測得值的平均值的權(quán)為 n 乘以任一個(gè)測量值的權(quán)?！咀C明】因?yàn)榈染葴y量，可設(shè) n 個(gè)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差均為 ，且其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：xn又設(shè)各測量值的權(quán)相等，即：p1 p2pip0。 n 個(gè)相等精度測得值的平均值的權(quán)為 px，則：n 個(gè)相等精度測得值的平均值的權(quán) px 與各 測得值的權(quán)1 1 n 1 pi (i 1,2.n.)的比為 px : pi2 : 2 : n:1xipx npi2-17 對某量進(jìn)行 10次測量，測得數(shù)據(jù)為，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：先計(jì)算算術(shù)平均值

15、：x 14.96。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：v1 0.26v20.04v3 0.24v4 0.16v5 0.54v6 0.36v70.06v8 0.16v9 0.14v10 0.04 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差符號(hào)正負(fù)個(gè)數(shù)相同，且無顯著變化規(guī)律， 因此可判斷該測量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式：1in1v1i20.624 0.26310 1用別捷爾斯法計(jì)算：nvi1.253 i 1 n(n1.253 2 0.2641)10 9令： 2 0.2641 0.2631.004因?yàn)椋?20.6670.004，故無根據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫

16、準(zhǔn)則 ） 按殘余誤差校核法： 為5 個(gè)殘余誤差和與后 5 個(gè)殘余誤差的差值5vii110vj 0.4 ( 0.4) 0.8 j6兩部分之差顯著不為 0，阿卑 -赫梅特準(zhǔn)則則有理由認(rèn)為測量列中含有系統(tǒng)誤差。n1vivii10.260.04 0.04 0.24 0.24 0.16 0.16 0.540.540.36 0.36 0.06 0.06 0.16 0.16 0.140.14 0.00.30560.3n120.2632 0.212 0.21這就提醒我們）4 次是和另所以測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差 （為什么會(huì)得出互為矛盾的結(jié)論問題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差 在判斷是否有系統(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除

17、粗大誤差，然后再進(jìn)行系統(tǒng)誤差判斷。 2-18、對某一線圈電感測量 10 次，前 4 次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH ）： 試判斷前 4 次和后 6 次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。 【解】將兩組數(shù)據(jù)混合排列，用秩和檢驗(yàn)法有：n1 4,n2 6,T 5.5 7 9 10 31.5 QT 14,T 30,T T所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差2-19 等精度測得某一電壓 10次，測得結(jié)果（單位為 V）為，。測量完畢后，發(fā)現(xiàn) 測量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重 新做了 10次等精度測量，測得結(jié)果（單位為 V）為，。試

18、用 t 檢驗(yàn)法（取 =）判斷 兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。【解】計(jì)算兩組測量結(jié)果的算術(shù)平均值：1x10x 26.001 ySx21(xi x)2 0.00155101y 25.971102 1 2Sy2 (yi y)2 0.00215 y 10 i10 10(10 10 2)(26.001 25.971)(10 10)(10 0.00155 10 0.00215)1.48由 =10+10-2=18 及取 =，查 t 分布表，得 t 2.1因 t 1.48 t 2.1 ，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2-20. 對某量進(jìn)行了 12次測量，測得數(shù)據(jù)為， ，試用兩種方法判斷該測量列中是

19、否存在系統(tǒng)誤差。解】先計(jì)算算術(shù)平均值：12xxii120.125。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：v10.065v20.055v30.065v40.045v50.025v60.005v70.015v80.015v90.055v100.055v110.085v120.065 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測量開始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào)相反，故可判斷該測量列存在線性系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫準(zhǔn)則 ）按殘余誤差校核法：前 6 個(gè)殘余誤差和與后 6 個(gè)殘余誤差的差值為12vivi 0.26 0.26 0.52i=1 i=7兩部分之差顯著不為 0，則有理由認(rèn)為測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。 采用不同

20、公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式：n2 vi i1 n0.032112 10.054用別捷爾斯法計(jì)算：nvi1.253 i 1n(n 1)1.253 0.55 0.0612 110.061 0.110.0540.603n112 10.11，故無根據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。 阿卑 -赫梅特準(zhǔn)則因?yàn)椋?vivi 110.02n 1 2 11 0.0542 0.01u n 1 2 ，所以測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差xiyi221 對某量進(jìn)行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下：又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢）試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng) 誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T1

21、23456789101112131415xiyiT161718192021222324252627282930xiyiT=1+2+5+6+7+8+9+12+14+15+18+20+25=174因 n1n21510，秩和 T 近似服從正態(tài)分布，N(n1(n1n21),n1n2(n1n21)2 12n1n2 (n1由 a (n1 (n1 n2 1) 232.5 ；2t選取概率 2 (t) 0.95 ，即 (t) 因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。選取置信概率 99%(顯著度)，即取 (t)Tan2122.431)24.11求出：0.475 ，查教材附表 1 有 t 1.96。由于 t t0.49

22、5 ，由附錄表 1 查得： t 2.60。由于 t 2.43 t 2.60，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2- 22 對某量進(jìn)行 15 次測量， 測得數(shù)據(jù)為， ，若這些測得值已消除系統(tǒng)誤差， 試用萊以特準(zhǔn)則、 格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測量列中是否含有粗大誤差的測 量值。解】將有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)：平均值、殘差vi 等列于表中：直接求得 15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差：x1 1515 i 1 xi28.57 用萊以特準(zhǔn)則判別粗大誤差因 v4 0.95 30.795，故第 4 個(gè)測量數(shù)據(jù)含測量誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對剩余的 14 個(gè)測得值重新計(jì)算，得：x1 1414 i 1 xi28.500.

23、014814 10.03373 3 0.0337 0.1011由表知第 14 個(gè)測得值的殘余誤差：v (14) 0.17 30.1011 ，故也含粗大誤差，應(yīng)剔除。再重復(fù)驗(yàn)算，剩下的 13 個(gè)測得值已不包含粗大誤差。 用格羅 布斯 準(zhǔn)則 判別 已經(jīng)計(jì) 算出 15 個(gè)測 量數(shù) 據(jù)的 統(tǒng)計(jì) 特征 量 x 28.57, 0.265 。將測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x(1) 28.40, x x(1) 28.57 28.4 0.17x(15) 29.52, x(15) x 29.52 28.57 0.952-26 對某被測量 x 進(jìn)行間接測量得： 2x 1.44,3x 試求 x 的測量結(jié)果及其

24、標(biāo)準(zhǔn)差1.440.72, x222.18,4x 2.90，其權(quán)分別為 5:1:1，解】 x12.18 0.727,x332.90 0.725,4選取 p1 5, p2 1,p3 1可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：511加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求殘余誤差：x 0.72 50 1 0.007 1 0.005 0.722x1 x0.002, vx20.005, vx3 0.003算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：xm2pi vx2ii1m(m 1) pii15 0.0022 1 0.0052 1 0.0032 0.002(3 1)(5 1 1)lim x 3 x 3 0.002 0.006x 0

25、.722 0.0062-28 測量圓盤的直徑 D (72.003 0.052)mm，按公式計(jì)算圓盤面積 于選取 的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對面積 S計(jì)算帶來系統(tǒng)誤差，為保證2SD2/ 4，由S的計(jì)算精度與直徑測量精度相同，試確定 的有效數(shù)字位數(shù)【解】測得 D 的平均值為 72.003mm由SD24,得：4222.048021.0423029.81053( m / s2)當(dāng) D 有微小變化 D 、SD有 變化時(shí)， S 的變化量為：DD2D240.0523.1416 72.0032( 0.052)72.003240.052m5.8813272.003240.0045 0.004取 4 位有效數(shù)字第三章

26、 誤差的合成與分配3-2 為求長方體體積 V，直接測量其各邊長為： a 161.6mm, b 44.5mm,c 11.2mm ， 已知測量的系統(tǒng)誤差為 a 1.2mm, b 0.8mm, c 0.5mm ，測量的極限誤差為a 0.8mm, b 【解】立方體體積：0.5mm, c 0.5mm ，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。 V abc ，若不考慮測得值的系統(tǒng)誤差，則計(jì)算體積為：V0 abc 161.6 44.5 11.2 80541.44( mm3 )體積 V的系統(tǒng)誤差為：考慮測量系統(tǒng)誤差后的立方體體積：又直接測量值存在極限誤差，則間接測量體積存在的極限誤差為：故測量結(jié)果為： VlimV

27、 77795.70 3729.1(mm3)3 3 長方體的邊長分別為 1， 2, 3 測量時(shí)： 標(biāo)準(zhǔn)差均為； 標(biāo)準(zhǔn)差各為 1、2、 3 。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長方體的體積計(jì)算公式為： V a1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：V2 ( V )2a2V 2 2 ( V )2 32 a3現(xiàn)可求出： V a2a3；a1a1a2a3；a1a2a3若： 1 則有： V若： 1則有： V2321V2( V )2a2(a2a3) 2 (a1a3)223(a2a3)2 12(a1a3)2V2( V )2a3(a1a2)2(a1a2)2a2)2V2( V)2a33-4 測 量 某 電 路 的 電 流 I 22.5

28、mA ， 電 壓 U 12.6V ， 測 量 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 分 別 為I 0.5mA, U 0.1V ，求所耗功率 P UI 及其標(biāo)準(zhǔn)差 P 。解】若不考慮測得值的誤差，則計(jì)算所耗功率為：P UI12.6 22.5 10 3 0.2835WPI22.510 3P U 12.6UI38.55 10 3(W)若電壓、電流的測量結(jié)果相互獨(dú)立，則所耗功率標(biāo)準(zhǔn)差為36.69 500625 10 36.69 10 3(W)3-6 已知 x與 y的相關(guān)系數(shù) xy21 ，試求 u x2 ay 的方差2 u。解】屬于函數(shù)隨機(jī)誤差合成問題。3-12 按公式 V= r2h 求圓柱體體積，若已知 r 約為 2cm，

29、 h 約為 20cm，要使體積的相對 誤差等于 1 ，試問 r 和 h 測量時(shí)誤差應(yīng)為多少解： 若不考慮測量誤差，圓柱體積為2 2 3V r 2 h 3.14 22 20 251.2cm3根據(jù)題意，體積測量的相對誤差為 1，即測定體積的相對誤差為：1%V即 V 1% 251.2 1% 2.51 現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出2.51 1測定 r 的誤差應(yīng)為：0.007cm1.41 2 hr1r 2 V / r測定 h 的誤差應(yīng)為：2.51 11.41 r 20.142cm3-10 假定從支點(diǎn)到重心的長度為 L 的單擺 振動(dòng)周期為 T ，重力加速度可由公式 T 2 g 給 出。若要求測量 g

30、的相對標(biāo)準(zhǔn)差 g 0.1% ，試問按等作用原則分配誤差時(shí)，測量 L 和T 的相對標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？解：由重力加速度公式， T 2 Lg 得，T24 2L4 2LT2因?yàn)椋?2T28 2LT3因?yàn)闇y量項(xiàng)目有兩個(gè)，所以 n 用原理分配誤差，按等作g1 L n g L L 1 g L 2 gg T224 24 2L gg 242gL2g2gL1 0.1% 0.07072%同理，g1T n g1gg T3g T2 T28 2L 2 8 2L42LTg g T 2 8 2L22g 2 2 g T|T|22g綜上所述，0.07072%1 0.1% 0.03536%22測量 L和T 的相對標(biāo)準(zhǔn)差分別是 和

31、0.03536% 。第四章 測量不確定度評定與表示測量不確定度的步驟可歸納為1) 分析測量不確定度的來源，列出對測量結(jié)果影響顯著的不確定度分量。2) 評定標(biāo)注不確定度分量，并給出其數(shù)值 ui 和自由度 vi 。3) 分析所有不確定度分量的相關(guān)性，確定各相關(guān)系數(shù) ij 。4) 求測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc 及自由度 v .5) 若需要給出展伸不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc 乘以包含因子 k，得展伸不確定度 U=kuc 。6) 給出不確定度的最后報(bào)告，以規(guī)定的方式報(bào)告被測量的估計(jì)值 y及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uc 或展伸不確定度 U，并說明獲得它們的細(xì)節(jié)。根據(jù)以上測量不確

32、定度計(jì)算步驟。4 1 某圓球的半徑為 r，若重復(fù) 10 次測量得 r r = cm，試求該圓球最大截面的圓 周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99。【解】求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度r24 3.141592 0.0052已知圓球的最大截面的圓周為： D 2 r其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：0.0314cm 確定包含因子。查 t 分布表( 9)，及 K 故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U Ku求圓球的體積的測量不確定度43圓球體積為： V r 33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u Vr24 r 2 2 r216 3.141592 3.1324 0.0052 0.616r確定包含因子。查

33、t 分布表（ 9），及 K 最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U Ku4-3 測量某電 路電阻 R兩端的電壓 U，由公式 I UR算出電路 電流 I。若測得U (16.50 0.05)V 、 RR (4.26 0.02) ，相關(guān)系數(shù) UR0.36 ，試求電流 I 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。解】 I U /RI 1IUU RRR24-6 某數(shù)字電壓表的說明書指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其 2V 量程的測量誤差不超過 （1410-6 讀數(shù)+1 10-6量程 ）V，相對標(biāo)準(zhǔn)差為 20，若按均勻分布，求 1V測量時(shí)電 壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后，對標(biāo)稱值為 1V 的電壓進(jìn)行 16 次重復(fù)測量， 得

34、觀測值的平均值為，并由此算得單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差為，若以平均值作為測量的估計(jì)值， 試分析影響測量結(jié)果不確定度的主要來源， 分別求出不確定度分量， 說明評定方法的類別， 求測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度。解】（1）測量誤差根據(jù)相對標(biāo)準(zhǔn)差為 20%由 B 類評定，根據(jù)12.5，V 服從均勻分布，且 2V 量程測量誤差2( u )2u（14 10 6讀數(shù) 1 10 6 量程 ） ，所以在區(qū)間（ x-a,x+a）中ux14 10 6 1 10 6 2 16 10 61.6 10 59.24 101.6 10一年后，對標(biāo)稱值為 1V 的電壓進(jìn)行 16 次重復(fù)測量X 0.92857V X 0.00003

35、6V2）不確定度評定影響測量結(jié)果不確定度的主要來源：A 16 次重復(fù)測量誤差B 電壓表的示值誤差C 電壓表的穩(wěn)定度A 測量重復(fù)誤差引起的不確定度V 0.92857V0.000036VV 0.000009VV 16電壓重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uxV 9 10 6 9 Vux1 屬于 A類評定 自由度：1=16-1=15B 標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度ux2示值誤差按均勻分布計(jì)算，屬于 B 類評定614 10 1 6ux8.08 10 自由度：x2322( )2u11 =12.52 (20%)C 穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度ux3電壓表穩(wěn)定度按均勻分布，屬B 類評定ux31 1036 2 8

36、.0810自由度：3=12.5合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度2 x122ux2 ux3(9 10 6)2 (8.08 10 6)2 (1.15 10 6)2 28.010 6 28.0 V自由度：28.0 10 6 28.0 V4 ucu 4u 4u 4ux1ux2ux34-9 用漏電測量儀直接測量正常使用中微波爐的泄漏電流， 5 次測量的平均值為 ,平均值的 標(biāo)準(zhǔn)差為 ;已知漏電測量儀的示值誤差范圍為5%,按均勻分布，取相對標(biāo)準(zhǔn)差為10%;測量時(shí)環(huán)境溫度和濕度的影響范圍為2%,按三角分布， 其相對標(biāo)準(zhǔn)差為 25%;試給出泄漏電流測量的不確定度報(bào)告（置信概率為99% ）?！窘狻浚?）不確定度評定 對泄漏電流

37、測量不確定度影響顯著的因素有：A 泄漏電流測量重復(fù)性引起的不確定度 u1B 示值誤差引起的不確定度 u2C 環(huán)境溫度與濕度引起的不確定度 u3求 u1、 u2、 u3 A 測量重復(fù)誤差引起的不確定度u10.001mA 1 AV示值誤差（均勻分布） ：0.320 5%mA 9.24 A122( u2 )2u2122 (10%)250環(huán)境溫度（三角分布）a 0.320 2%662.61 10 3 mA 2.61 A132( u3 )2u3122 (25%)22）不確定度合成因不確定度各個(gè)分量相互獨(dú)立，即 ij 0 ，合成的不確定度為：ucu12 u22 u3212 9.242 2.612 9.65

38、 V 0.00965mA4 自由度： c 4 uc44 57.1u1 u2 u3123根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則” ，對標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行修約得 uc 0.010mA 10 A3）展伸不確定度取置信概率 P 99%， =57，查 t 分布表，得 t0.99(57) 2.68 ，泄漏電流測量的展伸不確定度為U kuc 2.68 9.65 25.862 0.025862 mA 根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則” ，對展伸不確定度進(jìn)行修約得 U 0.026mA 26 A(4)不確定度報(bào)告1)用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定泄漏電流，則測量結(jié)果為：I 0.320mAuc 10 A 57.12)用展伸不確定度評定泄漏電流，則測量結(jié)果為：

39、57I (0.320mA 0.026)mA P 0.99第五章 最小二乘法原理 參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡單推導(dǎo)及回顧： 由誤差方程V L AX 且要求 VTV 最小，則：VTV (L AX)T(L AX )(LT XTAT)(L AX )LTL LTAX XTATL XTAT AX 令其等于f( X), 要f( X)最小，需其對應(yīng)偏導(dǎo)為 0： 所以：ddXf( X )LTALTA XTA TALTA (ATAX )T XTATA 0ATL AT AXX (A TA) 1A TL 理論基礎(chǔ)：ddXTf( X)= ddXf( X)ddXf( X)g( X)=g( X) ddX f( X) f

40、(X) ddXg(X)5-1 由測量方程3x y 2.9 x 2y 0.9 2x 3y 1.9 試求 x、y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 【解】方法一（常規(guī)）1、列出誤差方程組v12.9(3x2y)v20.9(x2y)v31.9(2x3y)32 2 2 2 Vi2(2.9 (3x y)2 (0.9 (x 2y)2 (1.9 (2x 3y)2 i1分別對 x,y 求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為 02(3x y) 2.9) 3 2(x 2y) 0.9) 2(2x 3y) 1.9) 2 02(3x y) 2.9) 2(x 2y) 0.9) 2 2(2x 3y) 1.9) 3 014x 5y 13.4

41、即：5x 14y 4.6由上式可解得結(jié)果： x= y=2. 直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)iai1ai22 ai12 ai2ai1ai2liai1liai2li13191321-214-232-349-6-1414-5-可得正規(guī)方程14x 5y 13.4 5x 14y 4.6將 x,y 的結(jié)果代入分別求得：v1 2.9 (3 0.96260.0152) 0.003 v2 0.9 (0.9626 2 0.0152) 0.0322v3 1.9 (2 0.96263 0.0152)0.0204得，2 2 2 2viv1v2 v3i10.0014622( 0.003)2 ( 0.0322) 2(

42、0.0204)由題已知， n 3， t 2得1.46 10 30.0382由不定乘數(shù)的方程組14d11 5d12 15d11 14d12 014d21 5d22 05d21 14d22 1解得 d11 0.0819 d 22 0.0819xd11 0.0382 0.0819 0.0109yd22 0.0382 0.0819 0.0109方法二(按矩陣形式計(jì)算) ：由誤差方程V L A XC 1ATL (ATA) 1ATLv1 2.9 (3x 2 y) v2 0.9 (x 2 y) v3 1.9 (2 x 3y)v1l131xv2l212即yv3l323v1l12.931xVv2Ll20.9A1

43、2Xv3l31.923y上式可以表示為可得： Xx式中：C 1 (A T A) 1121414 51414 514 517114 514 55 14所以：即解得，x 0.9626y 0.01522.92.91 14 5 3 1 21 47 4 130.90.9171 14 5 1 2 3171 29 23 321.91.91 164.6 0.9626C2.60.01521711ATLy將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得，l1v2l22.9310.96260.00300.9120.01520.03221.9230.0204y23v3將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中l(wèi)332vi1nt1.46 1033-20.0

44、382為求出估計(jì)量 x,y 的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不定常數(shù)dij (i， j1，2) 。由已知，不定常數(shù) dij 的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而dij 是矩陣 C 1中各元素，即14 514 5C 1 d11 d12 1d21 d22 171d110.081911 17114d220.081922 171可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.01090.0109xd11 0.0382 0.0819yd22 0.0382 0.08195-5 測力計(jì)示值與測量時(shí)的溫度 t 的對應(yīng)值獨(dú)立測得如下表所示。t/ C151821242730F/N設(shè)t無誤差， F值隨 t的變化呈線性關(guān)系 F k0 kt ，試給出線性方程中系數(shù) k0和k的最 小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。解法一：利用矩陣求解，誤差方程VLA X 可寫成v1l11 15v2l21 18即v3l31 21 k0v1v4 l1l443.161 24 k115v2v5 l2l543.163 27118v3