數(shù)理方程第一講 定解問題1-1講解

1、數(shù)學物理方程 數(shù)學和物理的關系 課程的內容 數(shù)學和物理從來是沒有分開過的 三個方程: 波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程 四種方法: 分離變量法、行波法、積分變換法、 格林函數(shù)法 數(shù)學物理方程定義 用數(shù)學方程來描述一定的物理現(xiàn)象。 2 2 22 222 222 45 , y 0 , ln , 45 ( , ) , 3 2, 0 , xx t xx tt uux ypy q y ay x x uuf xt yy xyyx uuu xyz 二 階 線 性 非 齊 次 偏 微 分 方 程 二 階 線 性 齊 次 常 微 分 方 程 一 階 線 性 非 齊 次 常 微 分 方 程 二 階 線 性 非 齊

2、次 偏 微 分 方 程 二 階 非 線 性 非 齊 次 常 微 分 方 程 二 階 線 性 齊 次 偏 微 分 方 程 一、一、 波動方程的建立波動方程的建立 條件：均勻柔軟有彈性的細弦，受初始小擾動在平 衡位置附近做振幅極小的橫振動。不受外力影響。 例例1、弦的振動、弦的振動 研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。( , )u x t 簡化假設： (2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。 (1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。 cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運動定律： sinsinTTgdsma 橫向：coscosTT 縱向

3、： ( , ) sintan (d , ) sintan u x t x u xx t x 其中： TT (d , )( , )u xx tu x t Tgdsma xx 2 2 (d , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x t Tg xx xxt 其中： ddsx 2 2 ( , ) mds u x t a t 2 2 (d , )( , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x tu x t xx xxxxx 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x t Tgxx xt 其中： 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x

4、t Tgxx xt 22 22 ( , )( , )ux tu x tT g xt 22 2 22 uu ag tx 一維波動方程 2 T a 令： -非齊次方程非齊次方程自由項 22 2 22 uu a tx -齊次方程齊次方程 忽略重力作用： 設作用在該弧段上的外力密度函數(shù)為 ，那 末該弧段 在時刻 所受沿軸方向的外力近 似地等于 ，于是縱向方程為 ( (, )( , )( , ), xxt t Tu xxtu xtF xt xu x ( ,)Fxt t t ( , ).F x tx 由微分中值定理得 MM (, )( , ), x xt t Tuxx tx F x txux 01. ,

5、x0 x 消去 并取 極限得 ( , )( , ), x xt t Tux tF x tu 2 ( , ), t tx x uauf x t0,0,xL t即 ( , ,)() zzxxyy tt tux y zT uuu， 2 ( , )( , ) tttt ur tTuur tau 設物體在設物體在內無熱源內無熱源. 在在中任取一閉曲面中任取一閉曲面 S， 以函數(shù)以函數(shù)u(x, y,z,t )表示物體在表示物體在t 時刻時刻, M = M (x, y,z ) 處的溫度處的溫度. 根據根據Fourier 熱傳導定律熱傳導定律, 在無窮小時段在無窮小時段dt 內流過物體的一個無窮小面內流過物體

6、的一個無窮小面 積積dS 的熱量的熱量dQ 與時間與時間dt 、曲面面積、曲面面積dS 以及以及 物體溫度物體溫度u 沿曲面沿曲面dS 的外法線的外法線n 的方向導數(shù)的方向導數(shù) 三者成正比三者成正比, 即即 , u d Qkd S d t n 三維熱傳導方程的導出三維熱傳導方程的導出 對于對于內任一封閉曲面內任一封閉曲面S，設其所包圍的空間，設其所包圍的空間 區(qū)域為區(qū)域為V，那么從時刻，那么從時刻t1到時刻到時刻t2經曲面經曲面S流出的熱流出的熱 量為量為 設物體的比熱為設物體的比熱為c(x, y, z)，密度為，密度為(x, y, z)，則在，則在 區(qū)域區(qū)域V內，溫度由內，溫度由u(x, y

7、, z, t1)變化到變化到u(x, y, z, t2)所所 需的熱量為需的熱量為 2 1 1 t t S u QkdSdt n 2 1 212 ( , , , )( , , , ) t t VV u Qcu x y z tu x y z tdvcdvdt t 其中其中k=k(x, y, z)是物體在是物體在M(x, y, z)處處 的熱傳導系數(shù)，取正值。我們規(guī)定的熱傳導系數(shù)，取正值。我們規(guī)定 外法線方向外法線方向n所指的那一側為所指的那一側為dS的正的正 側。上式中負號的出現(xiàn)是由于熱量側。上式中負號的出現(xiàn)是由于熱量 由溫度高的地方流向溫度低的地方。由溫度高的地方流向溫度低的地方。 故當故當

8、時，時， 熱量實際上熱量實際上 是向是向-n方向流去。方向流去。 0 u n 根據熱量守恒定律，有根據熱量守恒定律，有 21 QQ 即即 2 1 12 ( , , , )( , , , ) t t VS u cu x y z tu x y z tdvkdSdt n 假設函數(shù)假設函數(shù)u(x, y, z, t)關于關于x, y, z具有二階連續(xù)偏導具有二階連續(xù)偏導 數(shù)，關于數(shù)，關于t具有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么由高斯具有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么由高斯 （Gauss）公式得）公式得 由于時間間隔由于時間間隔t1,t2及區(qū)域及區(qū)域V是任意的，且被是任意的，且被 積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時刻積函數(shù)是連續(xù)的，因

9、此在任何時刻t，在，在內內 任意一點都有任意一點都有 方程方程(1.2.6)稱為非均勻的各向同性體的熱傳稱為非均勻的各向同性體的熱傳 導方程，如果物體是均勻的，此時導方程，如果物體是均勻的，此時k, c及及均均 為常數(shù)為常數(shù) 2 1 0. t t V uuuu ckkkdvdt txxyyzz . uuuu ckkk txxyyzz (1.2.6) 令令 ，則方程，則方程(1.2.6)化為化為 它稱為三維熱傳導方程。它稱為三維熱傳導方程。 若考慮物體內有熱源，其熱源密度函數(shù)為若考慮物體內有熱源，其熱源密度函數(shù)為F(x, y, z, t)，則，則 有熱源的熱傳導方程為有熱源的熱傳導方程為 2 k

10、 a c 222 22 222 . uuuu aau txyz 2 ( , , , ). t uauf x y z t (1.2.7) (1.2.8) 其中其中. F f c ( , ,)() zzxxyy t c u x y ztk uuu， 2 ( , )( , ) tt cu r tkuu r tau 同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。 邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷 史，即個性。 初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài) 的條件。 邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上 的約束情況的條件。 定解條件定解條件 其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象

11、情況的 條件。 初始時刻的溫度分布： B、熱傳導方程的初始條件 0 (, )|() t u M tM C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件 只含邊界條件 A、 波動方程的初始條件 0 0 |( ) ( ) t t ux u x t 1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài) 系統(tǒng)各點的初位移 系統(tǒng)各點的初速度 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力 的作用, 其為： A、 波動方程的邊界條件 (1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為： 0 |0, x u ( , )0u a t 或： 0 x a u T x ， 0 x a u x ， ( , )0 x u a

12、t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的 支承, 其為: x a x a u Tku x 或 0 x a u u x B、熱傳導方程的邊界條件 (1) 給定溫度在邊界上的值 |sufS給定區(qū)域v 的邊界 (2) 絕熱狀態(tài) 0 s u n (3)熱交換狀態(tài) 牛頓冷卻定律：單位時間內從物體通過邊界上單位面積流 到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。 11 ()d dd d u dQk uuS tkS t n 交換系數(shù)； 周圍介質的溫度 1 k 1 u 1 S S u uu n 1 k k 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 .uf , u f n u uf

13、n 2 0 0 0 (,0) |( ) () |( ) ttxx t t t uauxt uxx ux 弦振動的Cauchy問題 2 0 0 (,0) |( ) () txx t ua uxt uxx 包含初值條件的定解問題稱為初邊值問題初邊值問題 （Cauchy Cauchy 問題）問題） ), ,()( ),( ),( 0,),( 0)( 0 2 tzyxfu n u zyxzyxu tzyxuuuau t zzyyxxt 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題混合問題 (初邊值問題初邊值問題) ) 熱傳導方程的混合問題熱傳導方程的混合問題 0, 0 )0( )(),( )0,0( 0 00 2