第四章連續(xù)時間傅里葉變換

1、1 1 系統(tǒng)的頻率響應 第四章第四章 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 連續(xù)時間傅立葉變換 傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關系 傅立葉變換的性質 2 2 在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期 信號，本章要解決的問題有兩個：信號，本章要解決的問題有兩個： 4.0 4.0 引引 言言 1. 1. 對非周期信號應該如何進行分解？對非周期信號應該如何進行分解？ 2. 2. 什么是非周期信號的頻譜表示？什么是非周期信號的頻譜表示？ 3 3 4.1 4.1 非周期信號的表示非周期信號的表示 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)

2、容 非周期信號傅里葉變換公式推導非周期信號傅里葉變換公式推導 傅里葉變換的收斂條件傅里葉變換的收斂條件 常見信號的傅里葉變換常見信號的傅里葉變換 4 4 包絡的譜線間隔包絡的譜線間隔 ，被采樣的間隔越來越小，被采樣的間隔越來越小 。 一一. .從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 0 T 0 10 0 00 10 22 k Tk aT Tk Tk a kk sinsin a b (a) 01 4TT(b) 01 8TT 0 0 20 2 0 4 0 4 0 k aT0 k aT0 k aT 0 當當 周期矩形脈沖周期矩形脈沖: 1 10 1, 0, / 2 tT x t TtT 頻

3、譜系數(shù)為：頻譜系數(shù)為： 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 5 5 周期趨近于無窮大時，即周期趨近于無窮大時，即 時，原來時，原來 的的周期方波就趨近于一個矩形脈沖周期方波就趨近于一個矩形脈沖，此時傅里，此時傅里 葉系數(shù)的采樣間隔也越來越密集，因此，傅里葉系數(shù)的采樣間隔也越來越密集，因此，傅里 葉系數(shù)更加趨近于包絡函數(shù)。葉系數(shù)更加趨近于包絡函數(shù)。 0 T 非周期信號傅里葉表示的基本思想：非周期信號傅里葉表示的基本思想： 把非周期信號當作一個周期信號在周期任意把非周期信號當作一個周期信號在周期任意 大時的極限來看待，并且研究這個周期信號傅里大時的極限來看待，并且研究這個周期信號傅里 葉表

4、示式的極限特性。葉表示式的極限特性。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 6 6 它在 時可以是有限的。 周期性矩形脈沖信號將演變成為 非周期的單個矩形脈沖信號，即 txtx)( )( tx :周期性矩形脈沖信號； tx :等于一個周期內(nèi)的 ，具有有限持續(xù)期。)( tx dtetxaT tjk T T k 0 0 0 2 2 0 ，時當 0 T 考查 的變化: k aT 0 0 T 0 T令 由 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 7 7 得 即 j t Xjx t edt 表明：表明：1.而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡； 2.周

5、期信號的頻譜系數(shù)，是與它對應的非周期信號周期信號的頻譜系數(shù)，是與它對應的非周期信號 頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。頻譜的等間隔樣本，并與之成正比。 周期延拓后周期 信號的頻譜系數(shù) dtetxaT tjk k T 0 0 0 lim 0 0 00 11 k k aX jX jk TT 非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 )( 令 jX 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 具有頻譜隨頻率分布的 物理含義，因而稱其為頻譜密度函數(shù)。 000 0 ,0 0 ()limlim k k TTf a X jTa f 8 8 k tjk k tjk k tjk k ejkXejkX T ea

6、tx 000 0 000 2 11 根據(jù)周期信號的傅立葉系數(shù)表示： 當 0 T 時， 0 0 2 ,d T 0 ,k 于是 1 ( )() 2 j t x tX jed txtx)( 傅里葉逆變換傅里葉逆變換 dejXtx tj 2 1 )( 此時 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 上式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù)上式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù) 分布的、振幅為分布的、振幅為 的復指數(shù)信號之和。的復指數(shù)信號之和。 djX 2 1 9 9 和傅立葉級數(shù)的收斂條件一致，也有相應 的兩組條件： 表明表明: :能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。能量有限的信號其傅

7、立葉變換一定存在。 1.1.平方可積條件平方可積條件 二二. .傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂 若 2 ( )x tdt ，則 存在()X j 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed 傅立葉變換對公式：傅立葉變換對公式： 1010 b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個極值點，且 極值有限。 ( )x t c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個第一類間斷點。 ( )x t 和周期信號的情況一樣，當和周期信號的情況一樣，當 的傅立葉變換存在，其傅的傅立葉變換存在，其傅 立葉變換在立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號本身的連續(xù)

8、處收斂于信號本身, ,在間斷點處收斂于左在間斷點處收斂于左 右極限的平均值，在間斷點附近會產(chǎn)生右極限的平均值，在間斷點附近會產(chǎn)生GibbsGibbs現(xiàn)像。現(xiàn)像。 ( )x t ( )x t 2. 2. DirichletDirichlet 條件條件 ( )x t dt a. 絕對可積條件： ( )x t 注意：這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件，這兩 組條件并不等價。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1111 三、三、 常用信號的傅立葉變換：常用信號的傅立葉變換： 例例1 1.( )( ),0 at x te u t a 實信號，求傅立葉變換，畫出其模、相位特性圖。 0 () a

9、tj t X je edt 1 22 1 (), ()X jX jtg a a 則模：相位： ( )x t t 0 1 aa 0 1/a ()X j 2 2a 2 2 aa ()X j dtetxjX tj 解: 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 0 atj t t ee aj 1 aj 1212 例例2.2.( ),0 at x tea ，求其傅里葉變換。 結論結論: :實偶信號實偶信號 的傅立葉變換是的傅立葉變換是 實偶函數(shù)實偶函數(shù), ,如圖如圖 示信號的頻譜。示信號的頻譜。 ()()X jX j則模： ( )x t t 1 0 0 0 ( ) a t j ta t j t Xj

10、ee d te e d t 解 ： ()0X j ()X j 2 a 1 a aa 0 22 0 112 ( ) a t jta t jt a Xjee d t ee d t aj aj a 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1313 例例3.3. ( )( )x tt，求其傅里葉變換。 ()( )1 j t Xjt edt 解： 這表明 中包括了所有的頻率成分,所有 頻率分量的幅度、相位都相同。因此單位沖激響 應 才能完全描述一個LTI系統(tǒng)特性， 才在 信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。 0 ( ) t t ()X j 0 ( ) t ( )h t( ) t 1 4.1 非周期信

11、號的表示 非周期信號的表示 1414 例例4.4.求矩形脈沖的傅里葉變換: 1 1 1, ( ) 0, tT x t tT 。 1 1 1111 111 1 22 ()2()2() T j t T Sin TTSin TT X jedtTSaTTSinc T 解： 將 中的 代之以 再乘以 ,即是相應周期信號的頻譜。()X j 0 k 0 1 T 0111 01 0001 22 () k SinkTTT aSa kT TTkT ( )x t t 1 T 1 T 1 0 ( )x t t 1 2T 1 2T 1 0 ()X j 0 1 T 1 2T 1 2T ()X j 1 2 T 1 4T 脈

12、寬變寬時 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1515 例例5.理想低通濾波器 ()X j WW 1 0 ( )x t t W 0 W 1 ( )()() 2 W j t W SinWtWWWt x te dSaWtSinc t 1 ( )() 2 j t x tX jed 解：由 1, () 0, W X j W ，求其時域表達式。 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1616 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 結論：信號在時域和頻域之間有相反關系結論：信號在時域和頻域之間有相反關系, ,即信號即信號 在時域脈沖越窄在時域脈沖越窄, ,則其頻譜主瓣越寬則其頻譜主瓣越

13、寬, ,反之亦然。反之亦然。 對偶情況如下圖所示對偶情況如下圖所示: : 1717 分析：分析：1 1）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求；）不滿足收斂條件，不能由傅立葉變換公式求； 2 2）該信號在時域持續(xù)無限長，根據(jù)上例，在頻域）該信號在時域持續(xù)無限長，根據(jù)上例，在頻域 可能無限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號；可能無限窄，即傅立葉變換可能是沖激信號； 3 3）用頻域的一個沖激信號）用頻域的一個沖激信號 ，求對應時域信號。，求對應時域信號。 可以想象，如果 ， 將趨向于一個沖激；反之時 域無限長時，頻域可能是個沖激。 例例6 6：求 的傅立葉變換 。 1x t Xj 11 22 j t

14、x ted 12 FT x t 1 2 FT 1 ( )() 2 j t x tX je d 解：由傅氏反變換公式：，的時域信號為: 4.1 非周期信號的表示 非周期信號的表示 1818 4.24.2周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 周期信號不滿足收斂條件, 不能用4.1節(jié)非周期信 號的傅立葉變換公式求其傅里葉變換。 但是周期信號在時域的持續(xù)時間是無限長的，那么 其頻域可能是一系列的沖激，而原點處的沖激對應的是 常數(shù)（課件4.1節(jié)例6所示），所以這里觀察頻移的沖激 對應的時域信號。 0 2 1919 頻移的沖激信號： 傅立葉反變換得： tjtj edetx 0 0 2 2 1 0 2j

15、X 表明：周期性復指數(shù)信 號的頻譜是一個沖激。 0 0 2 F jkt ek 0 0 ( )2() F jkt kk kk x ta eak 即周期信號的傅立葉變換為：即周期信號的傅立葉變換為： 0 ()2() k k Xjak 這表明這表明, ,周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成, ,每一個沖激分別每一個沖激分別 位于信號各次諧波的頻率處位于信號各次諧波的頻率處, ,其強度正比于傅立葉級數(shù)系數(shù)其強度正比于傅立葉級數(shù)系數(shù) 。 k a 0 0 2 F jt e 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2020 例例1 1： 00 0 1 ( ) 2

16、 jtjt x tSintee j 00 () ()()X j j ()X j 0 0 j j 0 求周期信號 解解： 的傅里葉變換。 0 ()2() k k X jak 代入周期信號的傅立葉變換公式： 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 1-1 11 ( )=0 22 kk - x taaaa jj 的頻譜系數(shù) 為：，其他 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 求 1-1 1 =0 2 k a aa，其他，則 00 () ()()X j 的傅立葉變換。 解解： ()X j 0 0 0 例例2.2. 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x t

17、tee 求 的傅立葉變換。 例例2.2. 2121 例例3.3.( )() n x ttnT 求的傅立葉變換。 2 22 22 111 ( )( ) TT jkt T k TT at edtt dt TTT 解： 22 ()() k X jk TT 0 ()2() k k X jak 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2222 例例4.4.周期性矩形脈沖的傅里葉變換。周期性矩形脈沖的傅里葉變換。 0 ()2() kk k X jaka 解：由，先求 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2323 周期信號的傅立葉變換存在條件： 周期信號不滿足無窮時間內(nèi)的絕對可積條件

18、； 引入沖激信號后，周期信號的傅立葉變換是存在的； 周期信號的頻譜是離散的，其頻譜密度，即傅立葉變 換是一系列沖激。 4.2周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換 2424 4.3 4.3 連續(xù)時間傅立葉變換的性質連續(xù)時間傅立葉變換的性質 討論連續(xù)時間傅立葉變換的性質, 揭示信號時域、頻域特 性間的關系,同時掌握和運用這些性質，以簡化傅立葉變換對 的求取。 j j FF x tXy tY 一一. .線性線性 如果 jb j b YaXtytax 則 二二. .時移時移 jXtx如果 0 0 t eXttx j j 則 表明：信號的時移只影響表明：信號的時移只影響 它的相頻特性，其相頻特它的

19、相頻特性，其相頻特 性會增加一個線性相移。性會增加一個線性相移。 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 2525 三三. .共軛對稱性共軛對稱性 , jXtx 如果 j- Xtx 則 證明： j dtetxX tj dtetxdtetxX tjtj j 1. 若 tx 是實信號， txtx txFdtetxX tj j- 即得證。 則 jj -XX 兩邊同取共軛 在上述結論的基礎上，有如下推論： 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 2626 用直角坐標表示實信號頻譜 jImjRejXjXX j-Rej-RejReXXX 實部偶函數(shù) j-Imj-ImjImX

20、XX 虛部奇函數(shù) 用極坐標表示實信號頻譜： j jj Xj eXX 則由 j-j-jXXX jj-XX 由由，傅里葉變換的實部和虛部分別為： jj-XX 得 j-j-j XXX 即相位是奇函數(shù) 即模是偶函數(shù) jX 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 2727 2. 若 txtx信號是實偶函數(shù)，則 jdtetxX tj j- Xdexdtetx jtj 表明：偶信號的傅里葉變換是偶函數(shù) 對實信號j j- XX j X是關于的實偶信號 結論：實偶信號的傅里葉 變換是實偶函數(shù) 3. 若 txtx信號是實奇函數(shù)，則其傅里葉變換有 ()()X jXj * ()()X jXj 結論：實

21、奇信號的傅里葉 變換是純虛的奇函數(shù) 對偶函數(shù) 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 j -jXX 2828 4. 若實函數(shù)用奇、偶函數(shù)之和表示( )( )( ) eo x tx tx t 由傅里葉變換的線性： 對偶函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個實數(shù) 對奇函數(shù)部分： 傅里葉變換是一個純虛的奇函數(shù) 且有 且有 jjj oe XXX j ee Xtx jRejXXe jImjXjXo j oo Xtx 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 2929 例:求 的頻譜。 ( )u t ( )( )( ) eo u tu tu t 0 1 ( ) 2 1 ( )( ) 2

22、 e u t u tSgn t ， 1 0 ( )u t t 1/2 0 ( ) e u t t -1/2 1/2 0 ( ) o u t t 0 ( ) 0 t t et f t et (其中0) 提示：符號函數(shù)sgn(t) 可看作 是下述函數(shù)在取極限趨近0時 的一個特例: 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 解： 3030 解:實部的傅里葉變換為： 由于 虛部傅里葉變換為： 信號的傅里葉變換為： 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3131 四四. .時域微分與積分時域微分與積分 ()()x tX j ( ) () dx t jXj dt 時域微分特

23、性時域微分特性 (提示： 1 ( )() 2 j t x tX jed 兩邊對 微分) t 例：例：已知 由時域積分特性可得 ( )u t 1 ( )()(0)() t xdXjX j 時域積分特性時域積分特性 若 則 1t 1 dtettF tj 提示： 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 1 () j 3232 五五. .時域和頻域的尺度變換時域和頻域的尺度變換 若( )()x tXj則 1 ()()x atX j aa 當 時,有 1a ( )()xtXj 尺度變換特性表明：信號如果在時域擴展 a 倍，則其 頻域帶寬相應壓縮 a 倍，反之,信號在時域中壓縮a倍，則 其

24、帶寬相應擴展a 倍。其含義：信號的波形在時域中壓縮a 倍，即信號隨時間變化加快a倍，所以它包含的頻率分量增 加a倍，所以頻譜展寬a倍。 從理論上證明了時域與頻域的相反關系。 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3333 時域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮） 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3434 六六. .對偶性對偶性 -xjtX2若若( )()x tXj則則 證明證明 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3535 jF jF 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3636 由對偶關系，可以方便地將時域

25、的某些特征對偶到頻域。 例如：從時移到移頻。 由對偶性質 j 2- x tX X jtx ; e- 0 t-j xttjX2 0 右邊時移得 再次對偶得 0 22x tX j 0 -j t - e ； 由反轉性質 j - ;x tXx tXj 0 j t 0 ex tX j 這就是移頻特性。 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3737 七七. . 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 若 , jXtx則則 表明：信號能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。表明：信號能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。 2 jX表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為表示了信號能量在頻域的分布，因而

26、稱其為“能量能量 譜密度譜密度”函數(shù)。函數(shù)。 4.3 連續(xù)時間 連續(xù)時間傅立葉變換傅立葉變換性質性質 3838 4.4 卷積性質 jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 ,X)( 證明：設 dtxxtxtxty 2121 dtedtxxdtetytyF tjtj 21 一一. . 卷積性質卷積性質 12 j t xx tedtd 交換積分次序 則 jXjXdexjX j 1212 得證 12 j xX jed 3939 可以看出，頻率響應控制著在每一個頻率 上，輸入 傅里葉變換復振幅的變化。 例如頻率選擇性濾波器，在一定的頻率范圍內(nèi)， 從而通帶內(nèi)的各頻率分量通過系統(tǒng)后，其分量不被

27、衰減或變 換；在阻帶使 ,以消除該頻率范圍內(nèi)分量。 x th tX jH j 由卷積性質， j t Hjh t edt 系統(tǒng)頻率響應: 1jH 0jH 4.4 卷積性質 卷積性質 Y j y t 4040 用傅里葉分析法研究LTI系統(tǒng)時， 一般僅限于穩(wěn)定系 統(tǒng)，因為穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應 才存在。 ()Hj 二二. . 系統(tǒng)互聯(lián)時的頻率響應系統(tǒng)互聯(lián)時的頻率響應: : 1. 級聯(lián) 12 ( )( )*( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 1( )Hj 2( )Hj 1( ) h t 2( ) h t 對不穩(wěn)定系統(tǒng)的研究，在9章用拉普拉斯變換法討論。 4.4 卷積性質 卷積性質

28、2.并聯(lián): 12 ( )( )( )h th th t 12 ()()()H jHjHj 2( )Hj 1( )Hj + + 4141 三三. LTI. LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : j t H jh t edt 4.4 卷積性質 卷積性質 ()()()Y jX jH j 已知任意兩個，可求第三個量，然后反變換求其時域表達。 例例1515.已知LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為 求已 知輸入為 時系統(tǒng)的響應 。 0 ,h tt t x t 解：解： 0 j t t t edt 0 j t e 0 j t Y jX jH jX je 1 0 y tFY jx t t 例例1616.已知微

29、分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應 Y j Y jj X jH j X j .H j ( ) () dx t j X j dt 解：解：由微分性質 dx t y t dt y t 4242 例例1717.已知積分系統(tǒng) ，求系統(tǒng)頻率響應。 4.4 卷積性質 卷積性質 t y tx t dt 解：解：由積分性質 1 ( )()(0) () t xdXjX j 11 ()(0) ( ) ( ) Y j Y jX jXH j jX jj 例例1919.已知輸入 和單位沖激響應 求輸出。 解解: ,0 bt x te u t b ,0 at hte ut a 11 , FTFT btat x te u th te

30、 u t bjaj 1 ()Y jX jH j bjaj 111 b a a jb j 1 atat y t e u te u t b a 例例4.184.18參看書參看書P225P225 4343 卷積性質： 時域卷積-頻域相乘 利用對偶性：利用對偶性：時域相乘時域相乘-頻域卷積頻域卷積 4.5 相乘性質: (調(diào)制性質) jXjXtxtx jXtxjtx 2121 2211 2 1 ,X)( 相乘性質相乘性質 幅度調(diào)制：幅度調(diào)制：兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號 控制另一個信號的幅度。 其中一個信號為載波載波，另一個是調(diào)制信號調(diào)制信號（有用信號）。 4444 jXtxjtx 2211

31、 ,X)( 2211 22xjtXxjtX , 21 2 21 4xxjtXjtX 證明：已知 根據(jù)對偶性 由卷積性質得 再次由對偶性 相乘性質得證。 - jxjtXXtx2 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 兩邊同除以 ，并由反轉性質可得 2 4 4545 例例1.1.復指數(shù)調(diào)制復指數(shù)調(diào)制 00 0 ( )X,2 ( ) jtjt x tjex t e ，求頻譜。 例例2.2. 正弦幅度調(diào)制，正弦幅度調(diào)制，其中 解： 正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域將調(diào)正弦幅度調(diào)制，等效于在頻域將調(diào) 制信號的頻譜搬移到載頻位置。制信號的頻譜搬移到載頻位置。 求調(diào)制后信號 的頻譜。 )()()(t

32、ptstr 00 2 1 jSjR 00 2 1 2 1 jSjS 由 000 tFjPcos)( 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 0 00 ( )X* 2 =X jt x t ejj 解： 4646 例例3.3. 同步解調(diào)。從上例 中恢復出原信號 。頻域濾波 00 2 1 2 1 jSjSjR 0000 111 222 S jS j 解：已知 這里用正弦信號再次調(diào)制： 000 2 1 jRttrcos 000 tF cos tr ts 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 00 2 4 1 2 4 1 2 1 jSjSjS 4747 其中 用一個頻率特性為

33、的系 統(tǒng)，即可從 恢復出原信號。 jH tr 1 2 R jP j 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 4848 例例4.4.中心頻率可變的帶通濾波器。 1 X2 2 X c c Y jj j tf 1 W2 2 W c c F jj j e c jt c -j e t c t 2 e c j c 0 0 1 0 0 0 0 理想低通濾波器 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 4949 相當于直接用一個帶通濾波器，從 中濾出 的頻率。表明整個系統(tǒng)相當于一個中心頻率為 的 帶通濾波器，改變 即可實現(xiàn)中心頻率可變。 jX c c 0 c c 0 c 等效帶通濾波器等效帶通濾波器 4.5 相乘性質 相乘性質: (調(diào)制性質調(diào)制性質) 4.6 4.6 傅立葉變換性質與傅立葉變換對列表傅立葉變換性質與傅立葉變換對列表 (P234)(P234) 5050 5151 5252 4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) k k M k k k k N k k dt txd b dt tyd a 00 線性常系數(shù)微分方程描述的LTI系統(tǒng)： 如何從上述微