二次函數(shù)有關(guān)面積問題的課堂簡錄

1、二次函數(shù)有關(guān)面積問題課堂實錄（簡錄）教師：今天我們一起研究與二次函數(shù)有關(guān)的面積問題。（板書）問題 1 ：已知二次函數(shù) ，畫出它的圖象，你能說出這個函數(shù)圖象的下列特征嗎？該拋物線的頂點 D 的坐標(biāo)是_，與 x 軸的左交點 A 的坐標(biāo)是_,右交點 B 的坐標(biāo)是_, 與y軸的交點 C 的坐標(biāo)是_。| AB|=_. 增減性為_.學(xué)生 1 : （答案略）點評：回顧二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，引出圖象上的特殊點，為引導(dǎo)學(xué)生提出問題做了一個很好的鋪墊。教師：(把 的圖象畫在黑板上，如圖 1 ）請同學(xué)們觀察圖象，你能提出與以點 A 、 B 、 C 、 D 、 O 有關(guān)的三角形面積問題并解答嗎？試一試。（學(xué)生獨立解答，

2、教師巡視約 2 分鐘后，全班交流）（教師把學(xué)生 2 的答案標(biāo)在黑板相應(yīng)的圖形之中，如圖2）教師：精彩！這位同學(xué)求出了 9 個不同三角形的面積：其他同學(xué)還有補充嗎？學(xué)生 3 ：老師，我也算出了 9 種，但感覺學(xué)生 2 在說面積的時候比較亂。其實我們可以根據(jù)邊，有規(guī)律地說出這鄉(xiāng)個三角形的面積，可以分別以 AO 、 BO 、 BA 、 DC 為邊再找另一個頂點即可。教師：像這位同學(xué)有序地分類，就不會重復(fù)和遺漏。請說說，你在求這些圖形面積時是怎樣思考的？學(xué)生 3 ：利用面積公式。為了方便求出公式中有關(guān)線段的長度，盡量把它們與坐標(biāo)軸上的線段建立聯(lián)系。教師：求坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的面積，通過把面積公式中的相關(guān)線

3、段長度與坐標(biāo)軸上的線段建立聯(lián)系，是常用的方法。點評：設(shè)置讓學(xué)生探求所有可求三角形的面積，很好地培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。尤其是學(xué)生 3 能有規(guī)律地說出 9 個三角形面積，說明該學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，對分類討論方法掌握較好。教師合理設(shè)置開放性問題，課堂上的及時追問，對培養(yǎng)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣能起到促進作用。教師：在剛才所求的三角形面積中，哪些三角形面積較難求？學(xué)生 4 ：不規(guī)則的三角形面積較難求，因為他們的邊均不在坐標(biāo)軸上，如 BCD 和 ACD 。教師：確實，這兩個三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行或垂直，給計算帶來困難，接下來我們重點以求 BCD 的面積為例進行研究。學(xué)生 5 ：用割補法，過 D

4、點作 y 軸的垂線，交 y 軸于點 E ，先計算出直角梯形 OEDB 的面積，再減去兩個直角三角形的面積（ OCB 和 CED ）。（教師用“幾何畫板”直接演示學(xué)生的解題方法，如圖 3 ) 教師：割補法是求面積問題的常用方法之一，還有其他的解法嗎？學(xué)生 6 ：還可以這樣用割補法，如圖 4 ，過點 B 作 y 軸的平行線與過 D 點作 x 軸的平行線相交于一點 F ，算出矩形 OEFB 的面積，再減去三個直角三角形（ OCB 和 CED 和 DFB ）的面積。學(xué)生 7 ：直接計算。因為BCD= 90，求出線段 BC 和線段 CD 長，即可以用三角形面積公式直接算，不需要作輔助線。教師：為什么BC

5、D = 90？學(xué)生 7 ：因為 OC= OB , CE= ED ，所以 OCB= ECD= 45，所以BCD= 90。教師：還有其他求解方法嗎？學(xué)生 8 ：過 D 點作x軸垂線交 BC 于點 M ，則 BCD 的面積等于 DM 乘以點 B 與點 C 的橫坐標(biāo)的差。由點 D ( l ，-4 ）和直線 BC 的解析式可求點 M 的坐標(biāo)為 M ( 1 ，-2 ）。（教師用“幾何畫板”直接演示學(xué)生8的解題方法，如圖 5 ) 學(xué)生 9 ：同學(xué)生 8 方法，也可過 C 點作 x 軸的平行線交 BD 于點 N ，則BCD 的面積等于CN 乘以點 B 與點 D 的縱坐標(biāo)的差。由點 C ( O ，-3 ）和直線

6、 BD 的解析式 y=2x- 6 可求點 N 的坐標(biāo)為（，-3 ) （如圖 6）。教師：我非常欣賞同學(xué)們積極思考的好習(xí)慣，已經(jīng)出現(xiàn)了多種求 BCD 面積的方法，還有其他的解法嗎？教師：通過對 BCD 面積問題的解決，我們能總結(jié)出哪些經(jīng)驗？學(xué)生 11 ：求不規(guī)則圖形的面積，可以用割補法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形。教師：通過上述問題的解決，我們知道了求不規(guī)則圖形面積的基本方法 割補法。通過割補把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為方便計算的規(guī)則圖形。（教師板書）教師：如圖 7 ，求 ACD 的面積，同學(xué)們有困難嗎？眾生：沒有，可類比前面求 BCD 面積的方法。教師：請同學(xué)們課后選擇一種你認(rèn)為最簡便的方法求解。點評：呈現(xiàn)出靜態(tài)圖形中不規(guī)則圖形面積的多種解法后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)，建構(gòu)了求坐標(biāo)平面內(nèi)不規(guī)則圖形面積問題的基本策略：通過割補法轉(zhuǎn)化