第一章--51二項式定理.doc

1、 5二項式定理5 . 1 二項式定理戸預習導學 全桃戰(zhàn)自我*點點落實 學習目標1 能用計數(shù)原理證明二項式定理.2 掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3 會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.知識鏈接1. 二項式定理中，項的系數(shù)與二項式系數(shù)有什么區(qū)別？答 二項式系數(shù)與項的系數(shù)完全是不同的兩個概念二項式系數(shù)是指C0,&, cn,它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與 a, b的值無關(guān)，而項的系數(shù)是指 該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a, b的值有關(guān).2. 二項式(a+ b)與(b + a)展開式中第r + 1項是否相同？答 不同.(a+ b)展開式中第r + 1項為Cna

2、b ,而(b+ a)展開式中第r + 1 項為 cnbn-rar.預習導引1. 二項式定理(a+ b) n= Can + dan4+ C,an_rbr+ C；bn這個公式就稱為二項式定理.2. 二項式定理的有關(guān)概念(1) 二項展開式在(a+ b)n = Cnan+ 6an_ 1b+ cnan_2b2+ + Can_rbr + + Cnbn 中，右邊的多項式 叫作(a+ b)n的二項展開式.(2) 二項式展開式的通項在二項展開式中，Gan_rbr叫作二項展開式的通項，用 Tr +1表示，即通項為展開式的第r + 1項.Tr +1= Cnan_rbr(其中 Ow r n, r N, n N). 此

3、公式也稱為二項展開式的通項公式.(3) 二項式系數(shù) 在展開式中，每一項 Gan_rbr的系數(shù)G稱為二項式系數(shù).歹課堂講義_ 更點難點*個個擊破要點一二項式定理的正用、逆用1例1(1)求(3心+寸x)4的展開式；化簡(x 1)5+ 5(x- 1)4+ 10(x 1)3+ 10(x 1)2+ 5(x 1).81x2 + 108x + 54+12+ !x x1432=J2(81x + 108x + 54x + 12x+ 1)2 12 1=81x + 108x + 54+-2.x x 原式=C5(x 1) + G(x 1) + C5(x 1) + C5(x 1) + C5(x 1) + C5 1 =5

4、5(x 1) + 1 1= x 1.規(guī)律方法 運用二項式定理展開二項式，要記準展開式的通項公式，對于較 復雜的二項式，有時先化簡再展開更簡捷；要搞清楚二項展開式中的項以及 該項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別.逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數(shù)、各項幕指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù).跟蹤演練L161(1)展開(2 X + 耳)；化簡：1 + 2d + 4C+ + 2ncn.解(1)(2 & + 打二抄 + 1)61=-3C 0(2 x)6+ d(2 x)5 + 幺(2 x)4+ Cl(2 x)3 + CC(2 x)2 + G(2 x) + C6 X3 2 60 12 1

5、 =64x + 192x + 240x + 160+-2 + -3.x x x原式=1 + 2d + 22G + 2nC = (1 + 2)n= 3n.要點二二項展開式通項的應用例2若(x + )n展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求：2眾(1) 展開式中含x的一次項；(2) 展開式中的所有有理項.1 1解(1)由已知可得 Cn + Cn 2C 2， 即卩 n 9n + 8 = 0,解得 n = 8,或 n=1(舍去).Tr + 1= C8( x)8r (1-)r = C8 2 r x4 4r, 2飯3令4丿=1,得r = 4.4所以x的一次項為T5= C82 x= 8 x.3 令4 4r Z,且

6、0W r 8,則r = 0, 4, 8,所以含x的有理項分別為T135T5= 8x,T9 =_1_256x2.規(guī)律方法利用二項式的通項公式求二項展開式中具有某種特征的項是關(guān)于 二項式定理的一類典型題型常見的有求二項展開式中的第r項、常數(shù)項、含某字母的r次方的項等等其通常解法就是根據(jù)通項公式確定 Tr +1中r的 值或取值范圍以滿足題設的條件.跟蹤演練21已知二項式（X + 2廠所以 丁9=c (2) 8=256即第9項為常數(shù)項,其值為45256（1）求展開式中的第5項;（2）求展開式中的常數(shù)項.1 1解 （1）（ x2 +刃X）10的展開式的第5項為Ts = C：。 （x2） 令 20-2r

7、= 0,得 r = 8, （鬲）4 =41 41214105 10C40-(2) X ( x)= 8x .(2)設第r + 1項為常數(shù)項，_151則 T+戶Co(x2)10-r ()r二C1ox20-2r (2)(r= 0, 1,2,，10),2px22要點三二項式定理的應用例3 (1)用二項式定理證明：34n+2+ 52n+1能被14整除；求9192除以100的余數(shù).(1) 證明34n+ 2+ 52n +1 = 92n+1+ 52n+1= (9 + 5) 52n+1+ 5勿+1=(14 5)2n+1 + 52n+1=142n+1 dn+ 1X 142nX 5+ dn+ 1X 142n1X 5

8、2 + C+1 X 14X 52n CJx 52n+1 +2n+ 15=14(142n dn+1X 142n1X 5+ C2n+1 X 142n2X 52-+ C+1X 52n).上式是14的倍數(shù)，能被14整除，所以34n+2+ 52n+1能被14整除.解 法一 9192 = (100 9)92 = 10092 C X 10091 X 9+ C92X 10090 X 92 d9；X 100X 991 + 992,前面各項均能被100整除，只有末項992不能被100整除， 于是求992除以100的余數(shù). 992= (10 - 1) 92=1092- C92X 1091 + &2X 1O90-.+

9、 C90X 102-cSx 10+ ( 1)92=1092- CLx 1091 + CLx 1O90-.+ C2x 102-920+ 1=(1092-C92X 1091 + CLx 1O90-. + c92x 102- 1 000) + 81,被100除的余數(shù)為81，即9192除以100的余數(shù)為81.法二 由 9192= (90 + 1廣2=黑2x 9092 + 厲X 9091 + 沈902+ Cf2x 90+ 1, 可知前面各項均能被100整除，只有末尾兩項不能被100整除，由于C92X 90 + 1= 8 281 = 8 200 + 81,故 9192 除以 100 的余數(shù)為 81.規(guī)律方

10、法利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤演練3求證：5151- 1能被7整除.證明t 5151- 1 = (49 + 2)51 - 1=C14951 + CU950X 2+-+ CX 49 X 250 +X 251 - 1.易知除(C51x 251 - 1)以外各項都能被7整除.又 251 - 1 = (2 3)17 1 = (7 + 1)17- 1=C?7X 717+ C7X 716+ + C6X 7+ C7- 1=7(冼716+ C7715+ C)， 顯然能被7整除，所以(5151- 1)能被7整除.戸當堂檢測

11、全當堂訓練體驗成功1若(1 + 2)4 = a+ b . 2(a, b 為有理數(shù))，則 a+ b 等于()A. 33 B . 29 C . 23 D . 19答案 B解析 t (1 + 2)4 = 1+ 4 2+ 12+ 8 2+ 4= 17+ 12 2= a+ b 2,又a, b 為有理數(shù)， a= 17, b= 12. - a+ b = 29.2在(1 x)5 (1 x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是()A. 5 B . 5 C 10 D . 10答案 D解析(1 x)5中 x3的系數(shù)一C5= 10, (1 x)6中 x3的系數(shù)為一C3 ( 1)3 =20,故(1 x)5 (1 x)6的展

12、開式中x3的系數(shù)為10.33 .求(2x 2x2)5的展開式.解先化簡再求展開式，得3(2x 衣)(4x3 3)1032x132x10C5(4x3)5 + C(4x3) 4( 3) + C5(4x3) 3( 3)1. 注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念. 要牢記Canb是展開式的第r + 1項，不要誤認為是第r項. 求解特定項時必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其 為特定值三分層訓練 全解疑糾僞訓練檢測一、基礎達標1. (x + 2)6的展開式中x3的系數(shù)是()A. 20B. 40C. 80D. 160答案 D解析 法一 設含x3的項為第r + 1項，則Tr+ Cx6 r 2r

13、，令6 r = 3,得 r = 3,故展開式中x3的系數(shù)為Clx 23= 160.法二根據(jù)二項展開式的通項公式的特點：二項展開式每一項中所含的x與2 +C5(4x3) 2( 3)3+ C5(4x3)( 3)4 + C 3)5=32x5 120x2+ 型哮+x x4052438x7 32x10.諜堂小結(jié)分得的次數(shù)和為6,則根據(jù)條件滿足條件x3的項按3與3分配即可，則展開 式中x3的系數(shù)為C6x23= 160.2. （2013江西理）（x2 3）5展開式中的常數(shù)項為xA. 80答案 CB. 80C. 40D. 402解析 展開式的通項公式為Tr+1 = G(x?)5 ( x3) = Cx1 5 (

14、 2).由10 5r =0,得r = 2,所以常數(shù)項為T2+1 = C5( 2) = 40.3. (x 2y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是()A. 840B. 840C. 210D. 210答案 A解析 在通項公式Tr+1 = C( ,2y)rx10中，令r = 4,即得(x 2y)10的展 開式中x6y4項的系數(shù)為C1q ( 2)4= 840.4.（2013遼寧理）使得（3x+n（n N）的展開式中含有常數(shù)項的最小的A. 4B. 5C. 6D. 7答案5rn 2 =15r解析展開式的通項公式為Tr + 1= Cn(3x) n r ()r = Cn3n.由xyjx25，所以當r = 2時，

15、n有最小值5.5. 求（3b + 2a）6的展開式中的第3項的系數(shù)為，二項式系數(shù)為.答案 4 860156. （2013四川理）二項式（x + y）5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.答案 10解析 設二項式（X+ y）5的展開式的通項公式為Tr+1,則Tr +戶C5x5 ryr, 令r = 3,則含x2y3的項的系數(shù)是C5= 10.27已知在（x + X2）n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為56 : 3, 求展開式中的常數(shù)項.解 T5 = 1（ x）n_424x_8= 16Cnxn 220,T3= Cn( x)n _222x_ 44C；xn 102由題意知,16U

16、_564Cn 二 3解得n= 10.Tr + 1= C1q(:x)10-r2rx2r 2rC0X102 5r,令一2 = 0,解得 r = 2,展開式中的常數(shù)項為 *。22= 180.二、能力提升8. 設 S= (x 1)3+ 3(x 1)2+ 3(x 1) + 1,則 S等于( )3333A. (x 1)B. (x 2)C. xD. (x + 1)答案 C解析S= C(x 1)3+ d(x 1)2x 1 + C3(x 1) x 12 + dx 13= ( x 1) + 13=x3，故選C.9. (2013新課標U )已知(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,貝U a等于(

17、 )A. 4B. 3C. 2 D. 1答案 D解析(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數(shù)為C2+ a 0= 5,解得a= 1.110. 對于二項式(-+ x3) n( n N*)，有以下四種判斷：存在n N，展開式中有常數(shù)項；對任意n N，展開式中沒有常數(shù)項；對任意n N，展開式中沒有x的一次項；存在n N，展開式中有x的 一次項.其中正確的是.答案與1解析 二項式(x + x3)n的展開式的通項公式為Tr +戶cnx4，由通項公式可知，當n= 4r(r N)和n = 4r - 1(r N)時，展開式中分別存在常數(shù)項和一次項.11. ( x+-105所以x5的系數(shù)為(1)6()4

18、說=Q . 8)n展開式第9項與第10項二項式系數(shù)相等，求x的一次項系數(shù).眾17一 rr解 Cn = Cn，. n= 17， Tr +1= C17x 2 2 x _，2317 r r/. _ = 1 /. r = 923，9，T10= C x4 29 - x3 = C/7 29 x，其一次項系數(shù)為臨29.1 112. 已知在(蘆2衣)的展開式中，第9項為常數(shù)項，求：(1) n的值；(2) 展開式中x5的系數(shù)；(3) 含x的整數(shù)次幕的項的個數(shù).1115解 已知二項展開式的通項 Tr+1 = Cn( x2)n (寸 = ( 1)(2)n Cx2 n2r.5(1)因為第9項為常數(shù)項，即當r = 8時，2n ?r = 0，解得n= 10.52令 2n 2r = 5,得 r = 5(2n 5) = 6，540 5r(3)要使2n 2r，即廠為整數(shù)，只需r為偶數(shù)，由于r二0, 1, 2, 3,9, 10,故符合要求的有6項，分別為展開式的第1, 3, 5, 7, 9, 11項.三、探究與創(chuàng)新13已知f(x) = (1 + 2x)m+ (1 + 4x) n( m n N n = 5時，t即x2項的系數(shù)最小，最小值為272.)的展開式中含x項的系數(shù)為36, 求展開式中含x2項的系數(shù)最小值.解(1