小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第9課《從算術(shù)到代數(shù)1》試題附答案

1、笫九講從算術(shù)到代數(shù)(一)算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，但它們之間關(guān)系密切代數(shù)是在算 術(shù)中“數(shù)”和運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、 乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會(huì)了用這些四則運(yùn)算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題. 歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)主要用到了以下三種關(guān)系： 部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系； 兩數(shù)差的關(guān)系： 一倍數(shù)(或一份數(shù))、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系第1、笫2種關(guān)系用加”、減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成在解四則運(yùn)算題時(shí)用到 了對(duì)于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分 配律設(shè)玉b、c表示任意三個(gè)數(shù)，下列等式恒成立：交換

2、律：a+b=b+a, aXb=bXa結(jié)合律：(a+b) +c=a+ (b + c)(aXb) Xc=aX (bXc)分配律：aX (b+c) = aXb+aX c.另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類型.如：和 倍問題、差倍問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)問題、比例問題、對(duì)每類問題先歸 納出解決這類問題的方法、公式，并找岀理由加以解釋，再做這類題吋就套”這種公式所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，對(duì)不同類型的題用不同的思路 列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個(gè)統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來(lái)解很 多不同類型的應(yīng)用題“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之

3、一 用方程來(lái)解應(yīng)用題 時(shí)，首先是用一些簡(jiǎn)單的符號(hào)，通常用x, y, z, t, s, u, y等字母來(lái)表示問 題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和己知數(shù)平等地看待，并把題目中的數(shù) 量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示岀來(lái)這就是所謂依題意列方程. 接著是通過代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值，即“解方 程”而解方程的原理就是對(duì)方程中的數(shù)，包括己知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算 術(shù)”中學(xué)過的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求岀來(lái)因?yàn)檫@些法則是對(duì)任何數(shù)都 成立的，當(dāng)然對(duì)那些暫時(shí)還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立只要適當(dāng)?shù)?運(yùn)用這些法則，一般就可求出方程中的未知數(shù)的值歸納起來(lái)用代數(shù)方法解應(yīng) 用題的步驟

4、如下：1 設(shè)未知數(shù)常用X, y, z, t, S,等字母表示.2.依題意列方程即把所要解決的代數(shù)問題中妁未知量換成代表未知數(shù)的 字母，把問題中各種量間的關(guān)系“翻譯”為帶字母的算式表示岀來(lái)，特別注意 找岀其中的相等關(guān)系用兩個(gè)代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)量，列岀一個(gè)方程因此方程 是含有未知數(shù)的等式一般說(shuō)來(lái)，有n個(gè)相等關(guān)系就能列岀n個(gè)方程，當(dāng)然我們 從中選取列方程與解方程時(shí)最方便的形式.例1 64+x=3 （32-x）（1）64+x二96-3 （2）x+3x二96-64 （3）4x = 32 x=8.（5）例2車站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如 損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元這批

5、玻璃運(yùn)到后，車站共收到運(yùn)貨款9190元. 問損壞了幾箱玻璃.例3 年級(jí)72名學(xué)生共交了口52.7元課本費(fèi)，其中的百位數(shù)和百分位上 的數(shù)被水弄模糊了你能算岀每人交多少元？例4求被6除余4,被10除余&被9除余4的最小自然數(shù).例5三個(gè)學(xué)生甲*乙、丙各有若干張畫片互相贈(zèng)送.第一次由甲送給乙、 丙畫片，所送的張數(shù)等于乙，丙各人已有的畫片數(shù)；第二次由乙送給甲*丙畫 片，所送的張數(shù)等于甲、丙各人己有的畫片數(shù)；最后由丙送給甲、乙畫片，所 送的張數(shù)也正好等于甲.乙各人己有的畫片數(shù).這時(shí)每人的畫片數(shù)都是32張.問 原來(lái)甲、乙*丙三人各有多少?gòu)埉嬈?？?有甲.乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從At也開往B地乙比丙晩

6、岀 發(fā)10分鐘，岀發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙又晚出20分鐘，岀發(fā)后1小時(shí)40分鐘 追上丙那么甲岀發(fā)后需崩多少分鐘才能追上乙？例了星期日小明去找同學(xué)頊了兩三個(gè)小時(shí)，離開家時(shí)他看了看鐘，回家時(shí) 文看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針恰好互換了一個(gè)位置問小明井離開家多少時(shí) 間？答案例1 64+x=3 （32-x）（1）64+k=9S-3 （2）乂+3滬96-64 （3）4x32（4）x=8.（5）項(xiàng)把含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)即不含未知數(shù)的項(xiàng)）分離開來(lái)，分別 移到等號(hào)兩端，注意移項(xiàng)變號(hào)法則.如上例中的刃變成）. 合并同類項(xiàng)，如上例中的（3）變成（4） 用未知數(shù)的系數(shù)去除方程兩端求出x的值.如上例中的（4）變成（5）4

7、.驗(yàn)算.一是實(shí)際計(jì)算求岀的根是否滿足方程，不滿足的都舍去，二是根 據(jù)題目的實(shí)際意義，刪除不合理的解.先以幾個(gè)簡(jiǎn)單的四則應(yīng)用題為例來(lái)對(duì)“算術(shù)解法與代數(shù)解法”作一比 較.例2車站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃.合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如 損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元.這批玻璃運(yùn)到后，車站共收到運(yùn)貨款9190元. 問損壞了幾箱坡璃.解：算術(shù)解謎 假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨款： 2000 X 5= 10000 （元）和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差：10000-9190=810 （元）現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱 所得運(yùn)貨款減少：40+5=45 （

8、元）那么換多少箱，貨款正好減少多出來(lái)的810元呢？做除法：310 + 45 = 18 （箱）答：共換壞了 18箱.代數(shù)解法：設(shè)損壞了 x箱，則沒損壞的共2000-x箱.依題意列方程5 （2000-x） -40x=919045x=10000-919045x=810x=18.答：損壞了 18箱.比較這兩種解法，可見代數(shù)方法簡(jiǎn)潔并具有高度普遍性.我們?cè)诤竺娴脑S 多例題中都能充分地看岀代數(shù)方法的優(yōu)越性但這決不等于說(shuō)可以取消算木這 正如火車雖快決不能代替步行在攀登高峰的崎嶇的小道上還常?？繄?jiān)實(shí)的足 歩.=面舉幾個(gè)例子來(lái)看看算術(shù)方法的不可缺少.因?yàn)橛械膯栴}不易找到等量關(guān) 系列方程.例3 年級(jí)72名學(xué)生共交

9、了口52.7元課本費(fèi)，其中的白位數(shù)和白分位上 的數(shù)被水弄模糊了 你能算岀每人交多少元？解：72 = 8 X 9,又T（8, 9）=1原數(shù)為25272分,每人應(yīng)交：25272 - 72=351 （分）.答：每人交3. 51元.例4求被6除余4,被10除余8,被9除余4的最小自然數(shù).解：該數(shù)被6除余4 （1）又該數(shù)被10除余8（2）該數(shù)是偶數(shù).再?gòu)谋?除余4的偶數(shù)中從小到大挑選符合條件（1）、（2）的數(shù)：4, 4 + 9X2=22, 22+9X2=40, 40+9X2=58,又58 + 6=9458* 10=5 8 58* 9 = 64答：58為所求最小自然數(shù).例5三個(gè)學(xué)生甲、乙、丙各有若干張畫片

10、互相贈(zèng)送.第一次由甲送給乙、 丙畫片，所送的張數(shù)等于乙、丙各人己有的畫片數(shù)；第二次由乙送給甲.丙畫 片，所送的張數(shù)等于甲、丙各人己有的畫片數(shù)；最后由丙送給甲.乙畫片，所 送旳張數(shù)也正好等于甲、乙各人己有的畫片數(shù)這時(shí)每人的畫片數(shù)都是32張問 原來(lái)甲、乙、丙三人各有多少?gòu)埉嬈?？解：用倒推法由最后每人都?2張畫片開始，在下面表格里由上行到下 一行逐行填寫，可知在第三次丙送畫片前，乙送気畫片后三人手中的畫片3232數(shù)應(yīng)分別為甲= =16 （張），乙=16 （張），丙=16+16+32 = 64 （張）；同理，在第二次乙送畫片前，甲送完畫片后三人手中的畫片數(shù)應(yīng)分 別為：甲=y-=8 （張）,乙=8+

11、16+ 32 =56 （張）,丙=孚=32 （張）, 可拒知原來(lái)：丙有16張，乙有28張，甲有8 + 28 + 16二52（張）.甲乙丙送完后情況32張32張32張丙送前情況16張16張64張乙送前情況8張56張32張甲送前情況52張28張16張答：原來(lái)甲有52張，乙有28張，丙有16張畫片.例6有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從A1 也開往B地.乙比丙晚岀 發(fā)1吩鐘，岀發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙又晚岀20分鐘，岀發(fā)后1小時(shí)40分鐘 追上丙那么甲出發(fā)后需用多少分鐘才能追上乙？解法1：設(shè)三車速度依次為g g g丙比乙早岀發(fā)10分鐘，乙追上丙耗 40分鐘，是典型的追及問題：lOV5乙追丙耗時(shí)：

12、40 = -,推岀：V乙二扣丙.乙丙丙比甲早岀發(fā)30分鐘，甲追上丙耗100分鐘，也是追及問題：30I?甲追丙耗時(shí)：100 J 三-,推岀：V甲二常V丙.U甲 丙20叭甲比乙晚20分鐘岀發(fā)，追及時(shí)間二 一現(xiàn)在V甲，V乙都用V丙的某個(gè)J甲 V乙倍數(shù)代入：20 X -V-兀追及時(shí)間=7= 一- =500 （分鐘）.%丄空-耳10 丙 4 丙 2020解法1既用了算術(shù)的追及問題公式，又用了列方程的代數(shù)方法.下面再介紹 一種列表法，對(duì)解這類題更方便.解法2：我們把題中的條件按下列方式填入下面表格中：讓同一列格子中 填行相同路程時(shí)甲、乙 丙三輛汽車各自所需的時(shí)間，如第一列中填入稍稍轉(zhuǎn) 化了的己知條件：乙走

13、40分鐘的路程丙需走40+10=50 （分鐘）；第二列中填 入甲走100分鐘的路程丙需用100 + 20 + 10=130 （分鐘）.以前兩列中條件的關(guān) 系，再根據(jù)當(dāng)速度一定時(shí)路程與時(shí)間成正比的性質(zhì)，當(dāng)丙走650二50, 130分 鐘的路程時(shí)乙需用40X13=520 （分鐘），甲則需用100X5二500分鐘.由于乙比 甲早岀發(fā)20分鐘，恰為520分鐘與500分*中之差，因此甲岀發(fā)后500分鐘時(shí)追上 乙甲100500乙40520丙50130650答：甲岀發(fā)后需500分鐘才能追上乙.說(shuō)明：一般地，當(dāng)知道丙走c分鐘的路程與甲走a分鐘、乙走b分鐘的路程 相等時(shí)，可列一方程求岀所需的答案.設(shè)甲岀發(fā)后立分

14、鐘追上乙 則bx = ax+ 20.（20為乙比甲早出發(fā)的分鐘數(shù).）囚此x =ax = * ,即b - ab - a甲出發(fā)后羋分鐘追上乙.b - a在本題的條件下，c=650,于500, b=520.因此20ab - a20X500520-500= 500 （分鐘）例了星期日小明去找同學(xué)玩了兩三個(gè)小時(shí)，離開家時(shí)他看了看鐘，回家時(shí) 又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針恰好互換了一個(gè)位置問小明共離開家多少時(shí) 間？解：因?yàn)樾∶麟x家回來(lái)時(shí)時(shí)針走到分針位置，分針走到時(shí)針位置，說(shuō)明兩 針合起來(lái)恰好走了若干個(gè)熬圈.設(shè)外出時(shí)間分為二個(gè)時(shí)段，第一段為2小時(shí).小 明出去整2小時(shí)，分針就應(yīng)轉(zhuǎn)過2圈，轉(zhuǎn)回原處，幣時(shí)針兩小時(shí)走了

15、 呂圈緊接著在第二個(gè)時(shí)間段，形成兩針互換位置，兩針合起來(lái)在第二時(shí)段 內(nèi)必須再走（1 菩）圈由于分針在鐘盤上轉(zhuǎn)圈的速度是時(shí)針的12倍，所 以在第二時(shí)段內(nèi)分針要走其中的（1呂）X善圈，故分針要走：（1 菩）X 護(hù)60 = 46善（分鐘） 答：小明離家共2小時(shí)又46著分鐘.習(xí)題九L把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來(lái) 的數(shù)加起來(lái)涪好是某個(gè)自然數(shù)的平方，求原親這個(gè)兩位數(shù)與新得到的兩包數(shù)的 和.匚輛汽車在公路上勻速行駛，司機(jī)看見里程碑上的數(shù)字是一個(gè)兩位數(shù) 用臣表示），馬上看看手表記下時(shí)間，一個(gè)水時(shí)以后，再看里程碑，上 面仍然是一個(gè)兩位數(shù)，不過恰好是第一個(gè)兩位數(shù)顛倒了順序（用麗表

16、示）再 連一小時(shí)，里程碑上是三位數(shù)，又恰好是第一個(gè)兩位數(shù)中間加了個(gè)零（用 麗表示）請(qǐng)問車速是多少？三個(gè)里程碑上的數(shù)字各是多少？蟲在一個(gè)紅錢包與一個(gè)黑錢包里分別裝著6枚和8枚硬幣，并且兩個(gè)錢包中 的總錢數(shù)相等如果從紅錢包中任取兩枚硬幣與黑錢包中任取的兩枚硬幣交換 時(shí)，紅錢包中的總錢數(shù)要么比原來(lái)多2分，要么比原來(lái)的錢數(shù)少2分問兩個(gè)錢 包中共裝了多少錢？注這里的磽幣只有i分、2分、5分三種）六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第九講 從算術(shù)到代數(shù)（一） 習(xí)題解答習(xí)題九解答1解設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為壬，則ab = 10a 4-b.把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換得新數(shù)禹，則ba 10b + a.由題設(shè)條件應(yīng)有ab + ba = （10

17、a + b3 + （10t + 亂）=11（日+ t）是某自然數(shù)的平方，由表達(dá)式口 （a + b）可知這個(gè)完全平方數(shù)既有一個(gè)約 數(shù)口，就一定還有一個(gè)約數(shù)山 因此11是卅的約數(shù)，而/ b又都只能取自人 2. 3、，乩 9故a+b=ll ab + ba = 121.答：原數(shù)與新數(shù)的和為121.2.： V AB=10A+BBA = 10B+AA0B = 100A+B.又根據(jù)題意有阪AB= AOB 顧，所以(1OB + A)- (1OA+B)= (1OOA+B)- (1OB + A)即18B=108A, B=6A.由于A、B都是一位非零數(shù)字，所以A=l, B = 6.答：笫一個(gè)里程碑上數(shù)字是16,笫二

18、個(gè)里程碑上數(shù)字是61,笫三個(gè)里程碑 上數(shù)字是106.3解：我們先證明紅錢包里不可能同時(shí)裝有1分、2分、5分三種幣值的硬 幣因?yàn)榉褙怚,從紅錢包里任取兩枚硬幣時(shí)，可能有2+1, 2+5, 1+5三種情形. 前兩種是奇數(shù)，后一種是偶數(shù).而從黑錢包里任取的二個(gè)硬幣都能使紅錢包的 錢的奇偶性不變，這是不可能的.類似可知，紅錢包里不能同時(shí)有2分幣和1分 幣或2分幣和5分幣.因此紅錢包中的硬幣只有兩種可能：一是全為2分幣；二是 裝有一分與五分幣沒有2分幣.同理，黑錢包中或全為2分幣，或其中沒有2分 幣并且，由于兩錢包中錢數(shù)相等而硬幣數(shù)不等，因此不可能紅、黑錢包中都 只有2分幣.情形1：當(dāng)紅錢包中全為2分幣時(shí)，總錢數(shù)為2X6二12分.此時(shí)顯然黑錢包中 不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的五分幣，也不可能都是一分幣(否則紅、黑錢包中 裝錢數(shù)不等)因此黑錢包里有一個(gè)五分幣和七個(gè)一分幣.這種情形顯然也滿足 題目中的后一條件這種情況 兩個(gè)錢包中總錢數(shù)為：6 X 2+5+1X 7=24 (分),即 2角 4分錢