造橋選址問題案例設(shè)計甘曉云

1、造橋選址問題 最短路徑問題第二課時設(shè)計案例 南寧市新民中學(xué) 甘曉云一、內(nèi)容與內(nèi)容解析（一）內(nèi)容本題選自人教版八年級上冊第13章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)第86頁問題2.利用平移研究某些最短路徑問題.（二）內(nèi)容解析本課題學(xué)習(xí)是利用圖形變換來研究某些實際問題中的最短路徑問題.問題2以造橋選址這樣一個實際問題為載體展開研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)的線段和最小問題,再利用平移變化將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題所以，基于以上分析，確定本節(jié)課的重點：利用平移將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題二、目標(biāo)與目標(biāo)解析（一）目標(biāo)能利用平移解決某些最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最

2、值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化和化歸的思想.（二）目標(biāo)解析本節(jié)課所要達(dá)成的目標(biāo)，一是能將實際問題中的“地點”、“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”、“線,把實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題；二是能利用平移將和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最段”問題；三是能通過邏輯推理證明所求距離最短；四是在探索最短路徑的過程中，體會平移的“橋梁”作用，感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.三、教學(xué)問題診斷分析最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。解答在兩條直線異側(cè)兩點的最短路徑問題時，如何利用圖形變化將其轉(zhuǎn)化為“在一

3、條直線異側(cè)兩點與直線上點的線段和最小問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過圖形變化實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難。 在證明作法的合理性時，需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，因為之前很少遇到，不過有了問題1的鋪墊，部分同學(xué)會想到，但還會有一些學(xué)生無從下手。要克服這個難點，關(guān)鍵是要加強(qiáng)對問題分析的教學(xué)，幫助學(xué)生分析證明問題的思路本節(jié)課的教學(xué)難點在于如何利用平移將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，我的教學(xué)策略是這樣的：通過創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性、學(xué)生感興趣的、有助自主學(xué)習(xí)和探索的問題情境，使學(xué)生在活動豐富、思維積極的

4、狀態(tài)中進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，在教學(xué)過程中，將學(xué)生以6個人為一個小組，通過小組討論交流學(xué)案的形式，相互配合，提出問題，并積極的解決問題，通過討論、交流得到解決方法，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力.并結(jié)合幾何畫板演示加深學(xué)生的理解。在教學(xué)模式上，以學(xué)生為主體，將課堂還給學(xué)生，給學(xué)生一個充分展示自己的舞臺，在小組合作探究后，讓學(xué)生代表在白板上演示自己小組的成果展示，使學(xué)生在這個過程中獲得成功的體驗，從而激發(fā)對數(shù)學(xué)的激情。在這節(jié)課堂教學(xué)中，充分利用白板、幾何畫板等現(xiàn)代多媒體工具，使學(xué)生對抽象、復(fù)雜的關(guān)系有了更直接、明了具體的感觀，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣. 四、教學(xué)過程設(shè)計（一）問題鋪墊1.回顧復(fù)習(xí)下列問題（1）如圖1，

5、A,B兩點在路l的兩側(cè),在l上找一點C，使到兩地的路徑最短.（2）如圖2，A,B兩點在路l的同側(cè),在l上找一點C，使到兩地的路徑最短.圖1圖2設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回顧已掌握的兩種最短路徑的模型，并體會最終的依據(jù)都是利用了“兩點之間，線段最短”.2.鋪墊問題：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短.設(shè)計意圖:幫助學(xué)生從現(xiàn)實出發(fā),總結(jié)造橋選址的兩要素:路徑最短、材料最省.（二）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直

6、線，橋要與河垂直.）我們把河岸看成兩條平行線a和b，A、B分別是河岸兩側(cè)的兩點,要修一條橋MN，MNa，MNb,引導(dǎo)學(xué)生體會把N可以看成直線b上的一個動點，把問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點N在b的什么位置，有AM+MN+NB最小.在由河寬固定,進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為AM+BN最小.(三)嘗試解決數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生分組討論，在學(xué)案上嘗試畫出最短路徑.學(xué)生由前面的解題經(jīng)驗，容易出現(xiàn)下面的錯誤：第一類：錯誤歸因：直接認(rèn)為兩點之間，線段最短，沒有考慮河寬.第二類：錯誤歸因：直觀感覺垂線段最短，沒有考慮垂線段最短的應(yīng)用背景.第三類：錯誤歸因：受問題1影響，錯套方法.對于學(xué)生出現(xiàn)的錯誤方法，通過幾何畫板演示一一驗證，讓學(xué)生直觀

7、感受所作的路徑均不是最短路徑.并讓學(xué)生體會體會在b上會有一個點N,使AM+MN+NB.引導(dǎo)學(xué)生：這與前面回顧復(fù)習(xí)中的問題是否有類似的地方呢？都是兩條線段和最小的問題，但前面的問題都只有一條直線，這里有兩條直線，而且AM、NB是斷開的兩條線段，能否把它們放在一起呢？ 再讓學(xué)生進(jìn)行小組討論交流，可以讓作出正確作法的學(xué)生進(jìn)行展示和說明.我再借助幾何畫板的演示幫助學(xué)生加深理解和感受.幫助學(xué)生總結(jié)具體的作圖操作步驟是，過點A作ACb于點C， 在線段AC上截取AA等于河寬，然后連接AB交b于點N，最后過點N作MNa于點M.則MN即為所求的架設(shè)橋的地點. 如果改為平移B點呢?讓學(xué)生在學(xué)案上完成作圖.學(xué)生還有

8、作法2，利用折疊的方法把河岸a、b重合在一起.（四）證明最短為了更為清楚的理解這種方法，為什么這樣做是最短路徑,能否進(jìn)行證明呢?引導(dǎo)學(xué)生回顧問題1的證明過程, 發(fā)現(xiàn)需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和. 五、鞏固練習(xí)拓展1：如圖4，如果A、B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的.我們?nèi)绾握业竭@個最短的距離呢？方法1：仿照上例，可以將點A沿與河垂直的方向平移兩個河寬分別到到A1、A2，路徑中兩座橋的長度是固定的.為了使路徑最短，只要A2B最短.連接A2B，交河流2河岸于N，在此處造橋MN；連接A1M，交河流1河岸于P，在此處造橋PQ,所得路徑

9、AQPMNB最短.方法2：如圖6，將點A沿與第一條河流垂直的方向平移一個河寬到A1，將B沿與第二條河垂直的方向平移一個河寬到B1，連接A1B1與兩條河分別相交于N、P，在N、P兩處，分別建橋MN、PQ，所得路徑AQPMNB最短.設(shè)計意圖：拓展1是直接對問題2所總結(jié)方法的直接應(yīng)用，加深對問題2的理解.拓展2：如圖9，如果在上述條件不變的情況下，兩條河不平行，又該如何建橋？方法1：如圖10，先將點A沿與河流1河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ.所得路徑AQPMNB最短.方

10、法2：也可以將A沿與河流1垂直的方向平移1個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河寬得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于P、M，分別作橋MN、PQ.所得路徑AQPNMB最短.設(shè)計意圖：拓展2是對問題2所總結(jié)方法的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的思維能力.六、小結(jié)提升（一）要使所得到的路徑最短，就是要通過平移，使除河寬不變外，其他路徑經(jīng)平移后能在一條直線上.最后還是應(yīng)用“兩點之間，線段最短”解決問題.（二）綜合問題1、2，在解決最短路徑問題時,我們通?？梢岳幂S對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.七、布置作業(yè)如圖，甲、乙兩個單位分別位于一條封

11、閉式街道的兩旁，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街天橋問： （1）橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？（注：橋必須與街道垂直） （2）橋建在何處才能使甲、乙到橋的距離相等？八、目標(biāo)檢測設(shè)計作圖題（1）如圖1，一個牧童從點出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水路線才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出最短路線（2）如圖2，在一條河的兩岸有，兩個村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示試問：橋建在何處，才能使的路程最短呢？請在圖中畫出橋的位置教學(xué)后記：這個問題有著非好的實際背景，情境貼近生活實際從上面的求解方法來看，平移只是問題實現(xiàn)轉(zhuǎn)化中的一個重要策略，怎么聯(lián)想到平移的？其

12、本質(zhì)還是對“兩點之間，線段最短”公理的深刻理解從這點上說，同學(xué)們是值得認(rèn)真體會和積累的最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，注意以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。所以在教學(xué)過程中，堅持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原則，采用學(xué)生參與程度高的學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法，讓學(xué)生獨立思考，嘗試畫圖，然后小組交流,展示結(jié)果,教師進(jìn)行引導(dǎo)提問，采用師生交談法、問答法、課堂討論法.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生良好情感態(tài)度方面提出了新的更高的要求，這就是要了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學(xué)態(tài)度。應(yīng)該重視在教學(xué)中把這些要求真正落到實處?，F(xiàn)代信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了強(qiáng)大的工具，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動、形象、高效。在本章的教學(xué)中要加強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用，幫助學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識有更好地理解，提高教學(xué)質(zhì)量。教材的編排上，造橋選址問題在上一版人教版教材中是在七年級下冊平