控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

1、2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解(自由解) 所謂系統(tǒng)的自由解，是指系統(tǒng)輸入為零時，由初始狀態(tài)引起的自由 運動。此時，狀態(tài)方程為齊次微分方程： (1) 若初始時刻 時的狀態(tài)給定為 則式(1)有唯一確定解： (2) 若初始時刻從 開始，即 則其解為： (3) 證明 和標量微分方程求解類似，先假設式(1)的解 為 的矢量 冪級數形式，即 (4) 代入式(1)得： (5) 既然式(4)是式(1)的解，則式(5)對任意時刻 都成立，故 的同次 冪項的系數應相等，有： 在式(4)中，令 ，可得： 將以上結果代入式(4)，故得： (6) 等式右邊括號內的展開式是 矩陣，它是一個矩陣指數函數，記為 ， 即 (

2、7) 于是式(6)可表示為： 再用 代替 即在代替 的情況下，同樣可以證明式2) 的正確性。 2.2 矩陣指數函數狀態(tài)轉移矩陣 2.2.1 狀態(tài)轉移矩陣 齊次微分方程(1)的自由解為： 或 1性質一 這就是組合性質，它意味著從 轉移到0，再從0轉移到 的組合。 或 (1) 2.2.2 狀態(tài)轉移矩陣(矩陣指數函數)的基本性質 即 2.性質二 或(2) 3.性質三 或(3) 4.性質四 或 (4) 這個性質說明， 矩陣與A A矩陣是可以交換的。 5.性質五 對于 方陣A和B，當且僅當AB=BAAB=BA時，有 而當ABBAABBA是，則 這個性質說明，除非距陣A與B是可交換的，它們各目的矩陣指數函

3、 數之積與其和的矩陣指數函數不等價。這與標量指數函數的性質是不同的。 2.2.3 幾個特殊的矩陣指數函數 1若 A A 為對角線矩陣，即 (5) 則 (6) 2.若 A A 能夠通過非奇異變換予以對角線化，即 則 (7) 3.若 A A 為約旦矩陣 則 (8) 4.若 (9) 1.根據 的定義直接計算 2.變換 A A 為約旦標準型 （1）A A 特征根互異 其中 T T 是使 A A 變換為對角線矩陣的變換陣。由式（7），有： 2.2.4 的計算 2.2.4 的計算 2.2.4 的計算 2.2.4 的計算 2.2.4 的計算 3.利用拉氏反變換法求 (10) 證明 齊次微分方程 兩邊取拉氏變

4、換 即 故 4.應用凱萊哈密頓定理求 對上式兩邊取拉氏反變換，從而得到齊次微分方程的解： （1）由凱萊哈密頓定理，方陣A滿足其自身的特征方程，即 所以有 它是 的線性組合。 同理 以此類推， 都可用 線性表示。 (2)在 定義中，用上面的方法可以消去 A A 的 n及 n以上的冥次項， 即 （11） （3） 的計算公式 A的特征值互異時，則 證明 根據A滿足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A A 是 可以互換的，因此， 也必須滿足式（11），從而有： （12） 上式對 求解，記得式（12）。 A A 的特征值均相同，為 時，則 證明 同上，有： (13) 上式對 ，求異數，有： 再對 求

5、異數，有： 重復以上步驟，最后有： 由上面的n個方程，對 求解，記得公式（13）。 2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解 現在討論線性定常系統(tǒng)在控制作用 作用下的強制運動。此時狀態(tài) 方程為非齊次矩陣微分方程： 當初始時刻 初始狀態(tài) 時，其解為： 式中， 。 （1） （2） 當初始時刻為 ，初始狀態(tài)為 時，其解為： 式中， 。 （3） 證明 采用類似標量微分方程求解的方法，將式（1）寫成： 等式兩邊同左乘 ，得： 即 （4） 對式（4）在 上間積分，有： 整理后可得式（2）： 同理，若對式（4）在 上積分，即可證明式（3）。 式（2）也可從拉氏變換法求得，對式（1）進行拉氏變換，有： 即 上式左乘

6、 ，得： （5） 注意式（5）等式右邊第二項，其中： 兩個拉氏變換函數的積是一個卷積的拉氏變換，即 以此代入式（5），并取拉氏反變換，即得 ： 在特定控制作用下，如脈沖函數、階躍函數和斜坡函數的激勵下，則 系統(tǒng)的解式（2）可以簡化為以下公式： 1.脈沖響應 即當 時 2.階躍響應 即當 時 3.斜坡響應 即當 時 （6） （7） （8） 等式右邊括號內的展開式是 矩陣，它是一個矩陣指數函數，記為 ， 即 (7) 于是式(6)可表示為： 再用 代替 即在代替 的情況下，同樣可以證明式2) 的正確性。 或 (4) 這個性質說明， 矩陣與A A矩陣是可以交換的。 5.性質五 對于 方陣A和B，當且僅當AB=BAAB=BA時，有 而當ABBAABBA是，則 這個性質說明，除非距陣A與B是可交換的，它們各目的矩陣指數函 數之積與其和的矩陣指數函數不等價。這與標量指數函數的性質是不同的。 2.2.3 幾個特殊的矩陣指數函數 2.2.4 的計算 2.2.4 的計算 式中， 。 （3） 證明 采用類似標量微分方程求解的方法，將式（1）寫