《函數(shù)的對稱性》高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、函數(shù)的對稱性高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)一、函數(shù)自身的對稱性探究定理 1. 函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于點 A(a,b) 對稱的充要條件是f(x)+f(2ax)=2b證明：（必要性）設(shè)點 P(x,) 是=f(x) 圖像上任一點， 點 P(x,) 關(guān)于點 A(a,b) 的對稱點 P （2ax，2b）也在 =f(x) 圖像上， 2b =f(2a x)即 +f(2a x)=2b 故 f(x)+f(2a x)=2b ，必要性得證。（充分性）設(shè)點P(x0,0) 是=f(x) 圖像上任一點，則0=f(x0)f(x)+f(2ax)=2b f(x0)+f(2ax0)=2b ，即 2b0=f(2a x0) 。故點 P （

2、2ax0，2b0）也在 =f(x) 圖像上，而點 P 與點 P關(guān)于點 A(a,b) 對稱，充分性得征。推論：函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于原點 O對稱的充要條件是 f(x)+f( x)=0定理 2. 函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對稱的充要條件是f(a+x)=f(ax) 即 f(x)=f(2ax) （證明留給讀者）推論：函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于軸對稱的充要條件是 f(x)=f( x)定理 3. 若函數(shù) =f(x) 圖像同時關(guān)于點 A(a,c) 和點 B(b,c) 成中心對稱（ ab），則 =f(x) 是周期函數(shù)，且2ab 是其一個周期。若函數(shù) =f(x) 圖像同時關(guān)于直線 x=a

3、和直線 x=b 成軸對稱（ a b），則 =f(x) 是周期函數(shù)，且 2ab 是其一個周期。若函數(shù) =f(x) 像既關(guān)于點 A(a,c) 成中心 稱又關(guān)于直 x=b 成 稱（ ab）， =f(x) 是周期函數(shù)，且 4ab 是其一個周期。的 明留 者，以下 出的 明：函數(shù) =f(x) 像既關(guān)于點 A(a,c) 成中心 稱， f(x)+f(2a x)=2c ，用 2bx 代 x 得：f(2bx)+f2a (2b x)=2c （又函數(shù) =f(x) 像直 x=b 成 稱，f(2b x)=f(x)代入（ * ）得：f(x)=2cf2(a b)+x （ * ），用* ）2（ab） x代x 得f2(ab)+

4、x=2c f4(a b)+x 代入（ * ）得：f(x)=f4(ab)+x, 故=f(x) 是周期函數(shù)，且 4ab 是其一個周期。二、不同函數(shù) 稱性的探究定理 4. 函數(shù) =f(x) 與=2bf(2a x) 的 像關(guān)于點 A(a,b) 成中心 稱。定理 5. 函數(shù) =f(x) 與=f(2a x) 的 像關(guān)于直 x=a 成 稱。函數(shù) =f(x) 與 ax=f(a ) 的 像關(guān)于直 x+=a 成 稱。函數(shù) =f(x) 與 xa=f(+a) 的 像關(guān)于直 x=a 成 稱。定理 4 與定理 5 中的 明留 者， 定理 5 中的設(shè)點 P(x0,0) 是=f(x) 圖像上任一點，則0=f(x0) 。記點

5、P(x,)關(guān)于直線 x=a 的軸對稱點為 P（x1，1），則 x1=a+0,1=x0a，x0=a+1,0=x1a 代入 0=f(x0) 之中得 x1a=f(a+1) 點 P （ x1，1）在函數(shù) xa=f(+a) 的圖像上。同理可證：函數(shù) xa=f(+a) 的圖像上任一點關(guān)于直線 x=a 的軸對稱點也在函數(shù) =f(x) 的圖像上。故定理 5 中的成立。推論：函數(shù) =f(x) 的圖像與 x=f() 的圖像關(guān)于直線x=成軸對稱。三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表注：上表中 Z =tanx 的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是 ( /2,0) ，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的 21 世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊

6、 （下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案 （修訂版）中都認(rèn)為 =tanx 的所有對稱中心坐標(biāo)是 ( ,0) ，這明顯是錯的。四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例例 1：定義在 R上的非常數(shù)函數(shù)滿足： f(10+x) 為偶函數(shù)，且 f(5 x)=f(5+x), 則 f(x) 一定是（）（第十二屆希望杯高二第二試題）(A) 是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B) 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C) 是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D) 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解： f(10+x) 為偶函數(shù)， f(10+x)=f(10x). f(x) 有兩條對稱軸 x=5 與 x=10，因此 f(x) 是以 10 為其一個周期的周

7、期函數(shù)， x=0 即軸也是 f(x) 的對稱軸，因此 f(x) 還是一個偶函數(shù)。故選 (A)例 2：設(shè)定義域為 R的函數(shù) =f(x) 、=g(x) 都有反函數(shù)，并且 f(x 1) 和 g-1(x 2) 函數(shù)的圖像關(guān)于直線 =x 對稱，若 g(5)=1999 ，那么f(4)= （）。（ A）1999；（ B）2000；（ C）xx；（ D）xx。解： =f(x 1) 和=g-1(x 2) 函數(shù)的圖像關(guān)于直線 =x 對稱， =g-1(x 2) 反函數(shù)是 =f(x 1) ，而 =g-1(x 2) 的反函數(shù)是 :=2+g(x), f(x 1)=2+g(x), 有 f(5 1)=2+g(5)=xx故 f

8、(4)=xx, 應(yīng)選（ C）例 3. 設(shè) f(x) 是定義在 R上的偶函數(shù)，且 f(1+x)=f(1 x), 當(dāng)1x0 時，f(x)=x，則 f(8.6)=_ （第八屆希望杯高二第一試題）解： f(x) 是定義在 R上的偶函數(shù) x=0 是=f(x) 對稱軸；又 f(1+x)=f(1x) x=1 也是 =f(x) 對稱軸。故 =f(x) 是以 2為周期的周期函數(shù)，f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.3例 4. 函數(shù) =sin(2x+) 的圖像的一條對稱軸的方程是（）(92 全國高考理 )(A)x= (B)x= (C)x=(D)x=解：函數(shù) =sin(2x+) 的圖像的所有對稱軸的方程是2x+=+x=, 顯然取 =1 時的對稱軸方程是x=故選 (A)例 5. 設(shè) f(x) 是定義在 R上的奇函數(shù)，且 f(x+2)= f(x), 當(dāng) 0 x1 時，f(x)=x，則 f(7.5)=（）(A)0.5(B)0.5(C)1.5(D)1.5解： =f(x