材料力學(xué)-彎曲應(yīng)力1

1、第7章彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力回顧與比較內(nèi)力內(nèi)力NFA應(yīng)力應(yīng)力xpMIFAyFQM?1、純彎曲 梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲 梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲7.1 梁彎曲時的正應(yīng)力梁彎曲時的正應(yīng)力1）純彎曲及橫力彎曲2）純彎曲時的現(xiàn)象b ) 縱向線彎曲成弧線并有伸縮, 只有一層纖維不發(fā)生伸縮。中性層:縱向纖維不發(fā)生伸縮的面.中性軸:中性層與橫截面的交線.a ) 橫向直線仍然保持為直線,繞 某軸轉(zhuǎn)動,仍然與縱向線垂直。 3）根據(jù)上述現(xiàn)象，可提出如下假設(shè)： a. 平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個角度，仍垂是轉(zhuǎn)過

2、一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。直于變形后梁的軸線。 b. 各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。 為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計算，為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計算，要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。 dx1）變形幾何關(guān)系）變形幾何關(guān)系2、正應(yīng)力推導(dǎo)正應(yīng)力推導(dǎo)oo2）物理關(guān)系）物理關(guān)系胡克定理胡克定理EyEdxdxdxb bbb 1）變形幾何關(guān)系）變形幾何關(guān)系3）靜力

3、學(xué)條件）靜力學(xué)條件yE結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.對z軸靜矩為零yEz1MEI結(jié)論: y、z軸為形心主軸慣性積為零正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式：變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系yEyE靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系Z1EIMZIMy為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1為曲率半徑為曲率半徑正應(yīng)力分布正應(yīng)力分布ZIMymaxmaxzMyImaxzMWzzmaxIWyminzMWmaxminMzyCxy- - 抗彎截面模量抗彎截面模量常見截面的常見截面的 Iz 和和Wz矩形截面矩形截面:空心矩形截面空心矩形截面:2zAIy dAzzmaxIWy3z12bhI 2z6bhW 3300z1212b

4、 hbhI 3300z0()/(/2)1212b hbhWh常見截面的常見截面的 Iz 和和Wz圓截面：圓截面：空心圓截面：空心圓截面：2zAIy dAzzmaxIWy4z64dI3z32dW44z(1)64DI34z(1)32DW常見型鋼截面：常見型鋼截面：見 P.264274 各類型鋼表各類型鋼表7.2 彎曲正應(yīng)力強度計算1、橫力彎曲時的正應(yīng)力1）橫力彎曲2）橫力彎曲正應(yīng)力公式z( )M x yI 彈性力學(xué)精確分析表明，彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度當(dāng)跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細(xì)長梁）時，（細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力

5、彎曲近似成立，有：彎曲近似成立，有：適用范圍：適用范圍： （1）細(xì)長梁的純彎曲或橫力彎曲；（2）橫截面慣性積 Iyz = 0；（3）彈性變形階段2、梁彎曲的最大正應(yīng)力任一橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力1) 等直梁zIMymaxmaxzIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz3) 無水平對稱軸的梁max1,maxtzMyImax2,maxczMyI最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓應(yīng)力y2y1yz拉壓 2) 變截面梁:綜合考慮M 和 確定zIymax3、彎曲強度條件maxmaxzWMmax1,maxttzMyImax2,maxcczMyI（2）特殊截面且材料抗拉壓強度不等的構(gòu)件：（

6、1）常用彎曲強度條件：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1 1）C 截面上截面上K點正應(yīng)力點正應(yīng)力2 2）C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力3 3）全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力4 4）已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 FQx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1) 求支反力求支反力90kNAyByFF3354z0.12 0.185.832 10 m1212bhI33CKK5z618060 10(30) 1025.832 1061.7 10 Pa61.7MPaMyI 解：解：例題例題 圖示矩

7、形截面梁，試確定：圖示矩形截面梁，試確定：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN2) C 截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩54z5.832 10 mImaxmaxz335618060 101025.832 1092.55 10 Pa92.55MPaCCMyIBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN3) 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zImax

8、maxmaxz335618067.5 101025.832 10104.17 10 Pa104.17MPaMyIMxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kN4）C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩54z5.832 10 mI95ZC3C200 105.832 1060 10194.4mEIMEIM1由由BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K例題例題 圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的許用

9、應(yīng)力材料的許用應(yīng)力.MPa60mm1601d1 1）計算簡圖）計算簡圖解：解： zIyMmaxmaxmax（a a）（b b）彎矩）彎矩 最大的截面最大的截面M（c c）抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù) 最最 小的截面小的截面zW zWMmaxmax2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖FaFb3 3）分析危險截面分析危險截面B截面，截面，C右右截面需校核截面需校核4 4）強度校核）強度校核B截面：截面： max331662.5 267 320.163241.5 10 Pa41.5MPaBzBMFadW 6max33262.5 160 3246.4 10 Pa46.4MPa0.1332CzCMFbdWC截面：截

10、面：5 5）結(jié)論）結(jié)論: :滿足強度條件滿足強度條件FaFb分析分析, ,計算計算 。（1 1）確定危險截面）確定危險截面maxM（3 3）計算）計算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號zW例題例題 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重自重材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F 起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 zWMmaxmax（2 2）（4 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號（3 3）根據(jù)）根據(jù) zWMmaxmax計算計算 3max6633(6.

11、750) 109.54140 10962 10 m962cmzMW（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：36c36c工字鋼工字鋼3cm962zW作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置例題例題 T T型截面梁，截面尺寸如圖示；型截面梁，截面尺寸如圖示；試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct80 20120 208080 20 120 2052mmcy （-10）（-）（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的

12、慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI（1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B 截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kN.m5 .2kN.m4（5 5）C 截面計算截面計算 ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,B 截面校核結(jié)果：截面校核結(jié)果： ttMPa2 .27max, ccMPa1

13、 .46max,kN.m5 .2kN.m4 C 截面要不要校核？截面要不要校核？ 結(jié)論：滿足強度條件結(jié)論：滿足強度條件 簡要分析危險位置？簡要分析危險位置？Mmax=Fa =12kNm2）選擇截面尺寸解出：h = 2b = 244mm由強度條件62maxmaxmaxbhMWMz及2bh例題 已知: F =10kN, a =1.2m, =10MPa，h:b =2；試確定:梁的截面尺寸。mmMb122233選用125250mm2 的矩形截面解:1）作彎曲圖，確定最大彎矩：FF3FABEChbaaaaDM 圖FaFa(+)(-)2Fa(-)(66222bdbMbhMWMzzzz03)(dddd223

14、2bdbbdbbWzd33b222232dbdh2bh * *例題 將直徑為d的圓木鋸成矩形截面梁，受力及尺寸如圖所示；試求下列兩種情形下h 與b 的比值。1）橫截面上的最大正應(yīng)力盡可能小；2）曲率半徑盡可能大。 （正應(yīng)力盡可能?。┙猓航猓?） 正應(yīng)力盡可能小MMzzzEIM112123223hhdbhIz0ddhIz2243dh222241dhdb3bh ，得 （曲率半徑盡可能大）2）曲率半徑盡可能大7.4 梁彎曲時的剪應(yīng)力梁彎曲時的剪應(yīng)力 a) 在有剪應(yīng)力存在的情形下，彎曲正應(yīng)在有剪應(yīng)力存在的情形下，彎曲正應(yīng)力公式依然適用；力公式依然適用；b) 剪應(yīng)力方向與剪力的方向相同，并沿截剪應(yīng)力方向

15、與剪力的方向相同，并沿截面寬度方向剪應(yīng)力均勻分布面寬度方向剪應(yīng)力均勻分布（對于狹長的矩（對于狹長的矩形截面適用）。形截面適用）。 在上述前提下，由平衡直接確定橫截面在上述前提下，由平衡直接確定橫截面上的剪應(yīng)力，而無須應(yīng)用上的剪應(yīng)力，而無須應(yīng)用“變形、物理及平衡變形、物理及平衡關(guān)系關(guān)系”推導(dǎo)。推導(dǎo)。1、矩形截面剪應(yīng)力矩形截面剪應(yīng)力lABF(+)(-)QF圖bh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1) 1) 沿沿 mm，nn 截面截開，截面截開， 取微段取微段dx。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnn12kl圖M(+)mn12kl2) 2) 沿沿kl 截面截開，根據(jù)剪應(yīng)力的互等定理：

16、截面截開，根據(jù)剪應(yīng)力的互等定理： dx 很小，在很小，在 kl 面上面上 可認(rèn)為均布?？烧J(rèn)為均布。 1NF2NFQF120NQNFFF3) 列平衡方程，由列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdA( )a而而,11zIMyzIydMM12)(代入得式代入得式( (a) )得：得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIM11AzdAyIdMbdx*zSzzbISdxdM*QF*QzzF SbI式中：式中： Q 橫截面上剪力橫截面上剪力 需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分 面積對面積對中性軸的靜矩。中性軸的靜矩。 *zS*A整個

17、橫截面對中性軸的慣性矩。整個橫截面對中性軸的慣性矩。 zIb 需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。 *zzQSI b 在在 處，處， 在在 處，剪應(yīng)力最大，即：處，剪應(yīng)力最大，即： 2hy 0; 0y max3322QQbhA 最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力 的的 1.5倍。倍。 QA 平平從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布梁的高度按拋物線規(guī)律分布.2233(4)2Qhybh 2、工字形工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力截面梁的彎曲剪應(yīng)力翼緣翼緣1）腹板）腹板*( )QzzF SyI)(yz腹板腹板式中式中: (y)：截面上距中性軸：截

18、面上距中性軸 y 處的剪應(yīng)力處的剪應(yīng)力 ： y 處橫線一側(cè)的部分面積對中性軸的靜矩處橫線一側(cè)的部分面積對中性軸的靜矩*zS ：整個截面對中性軸的慣性矩：整個截面對中性軸的慣性矩zI ：y 處的寬度處的寬度 y 腹板上的剪應(yīng)力呈拋物線變化，腹板部分的腹板上的剪應(yīng)力呈拋物線變化，腹板部分的剪應(yīng)力合力占總剪力的剪應(yīng)力合力占總剪力的9597%。,maxmaxQzzF SI,max(/)QzzFIS2）最大剪應(yīng)力）最大剪應(yīng)力3、其它形狀其它形狀截面梁的最大剪應(yīng)力截面梁的最大剪應(yīng)力1）圓截面）圓截面max43QFA2) 圓環(huán)截面圓環(huán)截面zyQFmaxmax2QFA21K環(huán)形圓形工字形矩形 截面系數(shù)3423

19、3）各種截面的最大剪應(yīng)力 統(tǒng)一表達式：mKmax4、剪應(yīng)力強度條件剪應(yīng)力強度條件,maxmaxmax() QzzF SI在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：1 1）對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力）對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強度條件是主要的，剪應(yīng)力的強度的強度條件是主要的，剪應(yīng)力的強度條件是次要的。但對于較粗短的梁，條件是次要的。但對于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時，截面上的剪力較大當(dāng)集中力較大時，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁及膠合而彎矩較小，或是薄壁截面梁及膠合梁等等時，則需同時校核正應(yīng)力強度梁等等時，則需同時校核正應(yīng)力強度及剪應(yīng)力強度。及剪

20、應(yīng)力強度。在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：例題 圖示梁，已知:F、 l 、b 、h；求:1） max= ? 2） max:max = ?2）計算最大剪應(yīng)力FABl/2l/2C2FFmaxQ4FlMmaxmaxmax3324QFFAbhhb(-)(+)FQ圖2F2F解: 1）作剪力圖和彎矩圖，確定最大剪力和最大彎矩：(+)M圖4Fl4）比值22zmaxmaxbh2Fl36bh4FlWM3）計算最大正應(yīng)力l2hFl3bh2bh4F32maxmax%10101522maxmaxhhlh示例：l = 5h4FlMmaxmax34FbhFABl/2l/2Chb

21、(-)(+)FQ圖2F2F(+)M圖4Fl例題例題 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹閼冶哿河扇龎K木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可剪。膠合面的許可剪應(yīng)力為應(yīng)力為0.34MPa，木材的，木材的= 10 MPa，=1MPa，求其許可，求其許可載荷。載荷。 21maxmax6bhlFWMz1) 1) 畫梁的剪力圖畫梁的剪力圖 和彎矩圖和彎矩圖2) 2) 按正應(yīng)力強度條件按正應(yīng)力強度條件 計算許可載荷計算許可載荷 QF FM Fl 27291101003.75kNbhFl max23/23/2QFAFbh3) 3) 按剪應(yīng)力強度條件計算許可載荷按剪應(yīng)力強度條件計算許可載荷

22、 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解： 2*33g343312QZgzhFbF SFbhI bbhb4）按膠合面強度條件計算許可載荷按膠合面強度條件計算許可載荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5 5）梁的許可載荷為）梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzQF F解：1)計算支反力，作剪力圖和彎矩圖2）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表，選用22a工字鋼試選擇適用的工字鋼型號例題* * 簡支梁AB如圖示。l =2m，a=0.2m；梁上