數(shù)學(xué)模型--投擲標(biāo)槍[分析研究]

1、數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)報(bào)告標(biāo)槍投擲模型學(xué) 院專 業(yè)學(xué) 號(hào)姓 名指導(dǎo)教師成 績(jī)教師評(píng)語(yǔ)：指導(dǎo)教師簽字： 2014年7月16日做事做實(shí)1 緒 論1.1 課題的背景標(biāo)槍是田徑運(yùn)動(dòng)的投擲項(xiàng)目之一，對(duì)核心力量與大腿手臂力量要求嚴(yán)格，但是實(shí)際上，標(biāo)球運(yùn)動(dòng)并不是一項(xiàng)只靠身體素質(zhì)就能取得好成績(jī)的運(yùn)動(dòng)，除了與選手的比賽狀態(tài)有關(guān)外，還與選手所采用的技術(shù)有關(guān)。而本次我們就來(lái)研究一下在確定的力量與身高下求最佳的出手角度。進(jìn)而再研究通過(guò)一定的訓(xùn)練使力量增加，研究力量與出手角度和距離的關(guān)系。建立標(biāo)槍擲遠(yuǎn)模型。不考慮阻力，設(shè)標(biāo)槍初速度為，出手高度為，出手角度為（與地面夾角），建立投擲距離與，的關(guān)系式，計(jì)算在確定的，下，計(jì)算最佳出

2、手角度，進(jìn)而研究出手速度與出手角度的關(guān)系。1.2 預(yù)備知識(shí)上述問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題，首先應(yīng)該考慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的關(guān)系，這個(gè)需要用到一定的物理知識(shí)：拋體運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移的計(jì)算方法。在得到這個(gè)關(guān)系后，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為初速度、出手高度一定的情況下，求解最佳出手角度。2 計(jì)算機(jī)工具簡(jiǎn)介MATLAB具有非常豐富的圖像表達(dá)功能，它提供了豐富的作圖命令，利用它們可以容易地畫(huà)出各種函數(shù)的二維或三維曲線圖形，可以方便地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果可視化，從中掌握函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢(shì)，從而求出模型的最優(yōu)解。本模型將首先計(jì)算出慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的函數(shù)關(guān)系式，接著在初速度、出手高

3、度一定的情況下，找出投擲距離與出手角度之間的關(guān)系。然后給出一組具體的初速度和出手高度，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關(guān)系圖，從曲線中掌握函數(shù)的變化趨勢(shì)，最終求出最優(yōu)解。再對(duì)出手角度與出手速度都未知求它們與最遠(yuǎn)距離的關(guān)系，以及出手角度與出手速度的對(duì)最遠(yuǎn)距離的影響關(guān)系。3 模型的假設(shè)3.1 模型假設(shè) (1)標(biāo)槍運(yùn)行的過(guò)程中沒(méi)有任何阻力；(2)可以將標(biāo)槍看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(3)投射角度與投射初速度是兩個(gè)相互獨(dú)立的量；(4)設(shè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?，且取值?.8m/s，并在投擲的任意點(diǎn)都相等；(5)標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)軌跡在同一平面內(nèi)，且地面處處水平。(6)不考慮標(biāo)槍的旋轉(zhuǎn)。3.2 符號(hào)說(shuō)明 ：標(biāo)槍

4、初速度； ：在水平方向上的分量；：在豎直方向上的分量；：重力加速度； ：投射高度；：出手角度；：標(biāo)槍運(yùn)行的時(shí)間；：標(biāo)槍在水平方向的位移（即為投擲距離）；：標(biāo)槍在豎直方向的位移。4 模型的建立與求解一、 在確定的，下計(jì)算最佳出手角度 由題目所示，再根據(jù)物理知識(shí)可得，標(biāo)槍投擲軌跡為一拋物線，且初速度和出手高度一定，因此可以建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，分別對(duì)水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分析，標(biāo)槍投擲出去后，它在水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向受重力影響作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，加速度為。所以標(biāo)槍的運(yùn)動(dòng)軌跡為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加，圖像如圖1所示。圖4.1 標(biāo)槍投擲軌跡圖出手時(shí)的速度可以分解為：水平方向：垂直方向：則有水平位移

5、和豎直位移分別為：消去，有令方程中的為0，有：舍去負(fù)根，有：取=1.8m, =10m/s，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關(guān)系圖。a = 0:0.01:1.57x = (25.*sin(2*a)./19.6 + sqrt(25.*sin(2*a)./19.6).*(25.*sin(2*a)./19.6) + (360.*(cos(a).*(cos(a)./9.8)plot(a, x)title(標(biāo)槍投擲距離與出手角度的關(guān)系)xlabel(出手角度)ylabel(投擲距離)grid結(jié)果如圖4.2所示：圖 4.2 標(biāo)槍投擲距離與出手角度的關(guān)系圖由圖可知，最大值的坐標(biāo)為（0.40,

6、 6.50）。二、 研究不同的出手速度下最佳的出手角度當(dāng)和一定時(shí)，研究的變化對(duì)出手角度的影響。便為關(guān)于的函數(shù)，即：則對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)為：令，有：解得：所以在給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，為最佳出手角度。將上式代入中，得：Matlab命令：1.在給定出手速度v下要達(dá)到最大射程時(shí)對(duì)應(yīng)的角度函數(shù)文件：function f=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v)/pi*180;繪出圖像：fplot(fun_sv,0,100);xlabel(速度V m/s);ylabel(角度);title(v不同得到最大投擲距離時(shí)對(duì)應(yīng)的角度曲線 );axis(0 50 0

7、60);結(jié)果如圖4.3所示：圖 4.3出手速度不同時(shí)得到最大投擲距離對(duì)應(yīng)的角度曲線5 模型結(jié)果 5.1 模型的評(píng)價(jià)標(biāo)槍的投擲模型在運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練比賽中經(jīng)常能夠遇到，在運(yùn)動(dòng)員身體條件大致相當(dāng)?shù)那闆r下，該模型具有一定的參考價(jià)值結(jié)合實(shí)際情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性，而且模型的最終計(jì)算方法簡(jiǎn)便，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，最終得到結(jié)果與理論基本相符。但是由于條件限制，本模型考慮得是標(biāo)槍在沒(méi)有任何阻力的情況下，而實(shí)際情況中都會(huì)有一定的阻力。此外，標(biāo)槍投擲的距離由很多因素決定，重力加速度也會(huì)隨地域的不同而變化。我們建立的模型只是簡(jiǎn)單地研究了這個(gè)問(wèn)題，比起實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜程度，有很多因素沒(méi)有考慮到。5.

8、2 模型的推廣本模型不僅可以用于標(biāo)槍投擲問(wèn)題，還可以推廣到其他運(yùn)動(dòng)中。運(yùn)用該模型的目的就是確定出手角度和最大投擲距離。此外，還可以根據(jù)此來(lái)引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員的一些運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，從而在訓(xùn)練和比賽中隊(duì)運(yùn)動(dòng)員和教練有一定的理論指導(dǎo)意義。結(jié) 論標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)作為一個(gè)傳統(tǒng)的比賽項(xiàng)目，對(duì)增強(qiáng)體質(zhì)，特別是發(fā)展軀干和上下肢力量有顯著的作用。如何能夠在比賽中取得更好的成績(jī)，是個(gè)困擾很多運(yùn)動(dòng)員和教練的問(wèn)題。因此，能夠通過(guò)數(shù)學(xué)模型的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題是很有意義的。本模型首先建立了鉛球投擲的軌跡圖，然后根據(jù)物理知識(shí)，把該運(yùn)動(dòng)分為水平和豎直兩個(gè)方向來(lái)考慮，計(jì)算出慮投擲距離與初速度、出手高度和出手角度之間的函數(shù)關(guān)系式，接著在初速度、出手高度一定的情況下，找出投擲距離與出手角度之間的關(guān)系。然后給出一組具體的初速度和出手高度，利用MATLAB作圖工具繪制出投擲距離和出手角度的關(guān)系圖，從曲線中掌握函數(shù)的變化趨勢(shì)，最終求出最優(yōu)解。得到結(jié)論是：在=1.8m, =10m/s時(shí)，出手的角度約為0.40（約為23度），投擲距離約為6.5m。當(dāng)出手角度為時(shí)，標(biāo)槍投得最遠(yuǎn)。由圖4.3得，不同的出手速度對(duì)應(yīng)不同的最佳角度，速度不斷增加的時(shí)候，角度趨于45。根據(jù)不同運(yùn)動(dòng)員的具體情況可從圖4.3中確定最佳出手角度。參考