D15極限運(yùn)算法則07744PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D15極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則07744說(shuō)明說(shuō)明: 無(wú)限個(gè)無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定不一定是無(wú)窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似可證: 有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小 . 第1頁(yè)/共23頁(yè)證證: 設(shè), ),(10 xxMu 又設(shè),0lim0 xx即,0,02當(dāng)),(20 xx時(shí), 有M取,min21則當(dāng)),(0 xx時(shí) , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 時(shí)的無(wú)窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共23

2、頁(yè)oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說(shuō)明說(shuō)明 : y = 0 是xxysin的漸近線 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共23頁(yè),)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無(wú)窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小BA的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共23頁(yè),)

3、(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA)()()(xgxfx利用保號(hào)性定理證明 .說(shuō)明說(shuō)明: 定理 3 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共23頁(yè),)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說(shuō)明說(shuō)明: 定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式,)(1

4、0nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共23頁(yè)為無(wú)窮小,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,設(shè)BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無(wú)窮小有界BA因此由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無(wú)窮小,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

5、返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共23頁(yè),lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共23頁(yè) x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說(shuō)明說(shuō)明

6、: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共23頁(yè).4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共23頁(yè).125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共23頁(yè)為非負(fù)

7、常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)?shù)?2頁(yè)/共23頁(yè)定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證證: Aufau)(lim,0,0當(dāng)au0時(shí), 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)200 xx時(shí), 有ax)(對(duì)上述取,min21則當(dāng)00 xx時(shí)ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共23頁(yè)定理定理7.

8、 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說(shuō)明說(shuō)明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共23頁(yè)解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共23頁(yè)解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)

9、 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共23頁(yè)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無(wú)窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時(shí), 對(duì)00型 , 約去公因子x)3時(shí) , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)/共23頁(yè)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 .否則由)(

10、)()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在 ,與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問(wèn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共23頁(yè). )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt 0t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共23頁(yè).0)1(lim33xaxx解解 :令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此第20頁(yè)/共23頁(yè)P(yáng)49 1 （5），（），（6），（），（9），（），（10），（），（14） 2 （1），（），（2） 3 （1）,(2)第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)