同濟高數下冊總結版本

1、同濟AJ=L冋總結二口精品文檔高數(下)小結、微分方程復習要點解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結:方程編號類型一般形式解法備注1型可分離變量方程|y (x)(y)或M (x)dx N(y)dy 0分離變量法有些方程作代換后可化為1型2型齊次方程y (厶或xx(-)y令u y或U -化 xy為1型求解有時方程寫成x()令-u化y y為1型求解3型線性方程y P(x)y Q(x)或x P(y)x Q(y)1. 常數變易法2. 湊導數法：同乘Pdxe有時方程不是關于y,y線性方程，而是關于x, x線性方程4型貝努里方程y P(x

2、)y Q(x)y或x P( y)x Q(y)xi令yz或x1z化為3型求解有時方程不是關于y,y的貝努里方程，而是關于x, x貝努里方程5型全微分方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 其中x yu(x, y) c u(x, y)為原函數有時乘以一個積分因子可化為5型二階微分方程的解法小結:類型特征求解方法備注nyf x缺x, yn次積分求解見上冊h*y f x,y缺y令 y p,yp，降為一階方程降價后是關于p，x的一階方 程II1y f y,y缺x令 y p y，yp dp降為一階方程dy降價后是關于p ,y的一階方dp r 程 p f y, pdyy py qy f (x)p,q

3、常系數通解y y yy及 y見下表齊次方程y py qy 0的通解y為:判別式兩特征根情況通解p2 4q 0相異實根r1，r2rixr2xyCiec?ep2 4q 0二重實根roroxyCic?x ep2 4q 0共軛復根A,?ixy e c1 cos x c2 sin x非齊次方程ypy qy f(x)的特解y的形式為:f x的形式特征根情況y的形式nrxPmx er不是特征根Qx erxr是k重特征根kx r是單根k 1x Qm x e口 r是二重根k 2e x R x cos x Pn x sin xi不是特征根x C 1C 2eQm x cos x Qm x sin xi是特征根xe

4、x Qj x cos x Q： x sin x主要:一階1可分離變量方程、線性微分方程的求解;2、二階常系數齊次線性微分方程的求解;3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解二、多元函數微分學復習要點一、偏導數的求法1、顯函數的偏導數的求法在求-Z時，應將y看作常量，對x求導，在求 二時，應將x看作常量，對y求xy導，所運用的是一元函數的求導法則與求導公式2、復合函數的偏導數的求法zzuzvxuxvx設 z f u , v ， u x , y ， v1)zfu , v，uxv2)zfx, v ，vx , y ，幾種特殊情況:zzuzvy uyvydzdzuzdvx，則一dxduxvdx則二f丄一v

5、zfvxxvxyuyx , y，則3) z f u ， udzuzdzuduxyduyx ,y 則二x3、隱函數求偏導數的求法1）一個方程的情況收集于網絡，如有侵權請聯系管理員刪除設z z x , y是由方程F x , y , z 0唯一確定的隱函數，則zFxxFFzzFyy FFz 0或者視z z x , y，由方程F x , y , z0兩邊同時對x（或y）求導解出（或）.x y2）方程組的情況由方程組F x ,y ,u ,v G x,y ,u , v0兩邊同時對x（或y）求導解出-z （或-即可.0x y、全微分的求法方法 1:禾U用公式 du dx dy dz x y z方法2:直接兩

6、邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性: du dv . u vdzdx dy x y、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法x1）設空間曲線r的參數方程為yztt，則當t t時，在曲線上對應點tP x , y , z處的切線方向向量為Tt , t , t ，切線方程為法平面方程為x X0y y。z Zt0t0t0t xx0t0 y y。t0 z z02）若曲面的方程為F x , y , z0 ,則在點P0 Xo , yo , Zo處的法向量Po,切平面方程為Fx Xo,yo,Zo XXoFy Xo , yo,zoyyoFz Xo,yo,Zo z Zoo法線方程為X Xoy

7、oZ Zo若曲面n fxX,yo法線方程為Fx Xo,yo,zoFy Xo ,yo,zo的方程為z f x , y，則在點Pofy Xo,yo , 1 ,切平面方程為Xo,yo X Xo fy Xo ,yo y yox Xoyyofx Xo,yofy Xo,yoFz Xo,yo,zoxo , yo , zo處的法向量ZZooZo四、多元函數極值（最值）的求法1無條件極值的求法設函數z f x , y在點PO Xo , yo的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由fx X , y O， fy X, y O，解出駐點x , y，記 A fxx x , y ，B fxyXo , yo ，CXo , yo1）

8、若AC B2 O，則f x , y在點xo , yo處取得極值，且當A O時有極大值，當A O時有極小值.2） 若AC B2 O，則f x,y在點x , y處無極值3） 若AC B2 O，不能判定f x , y在點Xo , yo處是否取得極值.2條件極值的求法函數z f x,y在滿足條件x , y O下極值的方法如下：1）化為無條件極值：若能從條件x , y 0解出y代入f x , y中，則使函數z z（x, y）成為一元函數無條件的極值問題2）拉格朗日乘數法作輔助函數F x, y f x, y x, y ，其中為參數，解方程組令Fx x, yfx x, yx x,y-0Fy x, y令fy

9、x,yy x, y=0x,y0求出駐點坐標x,y，則駐點x, y可能是條件極值點.3最大值與最小值的求法若多元函數在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數在區(qū)域內部的駐點，計算出在這些點處 的函數值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最?。┲当容^，最大（最?。┱?，就是最大 （最?。┲?主要:1、偏導數的求法與全微分的求法；2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法3、最大值與最小值的求法、多元函數積分學復習要點七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示:積分類型積分記號定義及幾何意義積分區(qū)域積分元素被積函數一重積分bf(x)dxanlimf( i)為0i 1曲邊梯形面積區(qū)間a,bdx= x一元函數二重積分f(x,y)dD

10、nlimf( i, i)i0i 1曲頂柱體體積平面區(qū)域Ddxdy drdrd二元函數三重積分f (x, y,z)dvnlim f( i, i, i)Vi0i 1空間區(qū)域dxdydzdvrdrd dz2r sin drd d三元函數第一類曲線積分f (x, y)dsLf(x,y,z)dsLnlim f( i, i) s 0i 1平面或空間曲線Lds=U(dx)2 (dy)2尸dt (1 y 2dxJr2( ) r ( )2d二元或三元函數第二類曲線積分f (x, y)dxLf(x, y,z)dxLnlimf( i, i)為0i 1平面或空間曲線Ldx dscos二元或三元函數第一類 曲面積分f

11、(x, y, z)dsnlim f( , i, i) s i 1空間曲面1 乙2 zy2dxdy dsdxdycos三元函數第二類曲面積分f (x, y, z)dxdynlimf( i, i, i)為0i 1空間曲面dxdy ds cos三元函數精品文檔計算方法見上冊b 2(x)1) dx fdya !(x)Q()2) d f (r cosri()Z2 (x,y)1) d fdzDxy z1 (x,y)3) 柱面坐標法d2(y)or dx fdyc1( y)r sin )rdrC22) dz fdxdyc DZ4)球面坐標法1) f(，(t) x* 1 2 3 4 y2dtb2) f(x,y(

12、x)；1y2dxa3) f(r( )cos ,r( )sin ) r2廠2(一)d4) 化為第二類曲線積分轉動慣量lx重心xI xy2dDI x= (y2 z2) dvIx= y2 dsLx dvx dvx dsds其它（面積體積功等）表后*所示1 體積 V(Z2Z1 )dDxy2)曲面面積A= Jzx2zy2 dxdyxy體積V= dv曲線所圍面積1A= _ xdy ydx2L收集于網絡，如有侵權請聯系管理員刪除1）功 W= Pdx QdyL求二元函數的“原函數”2 2f (x, y,z(x, y) J ZxZy dxdyDXYIx=(y2 z2) dsx dsx =ds面積S= ds1)直

13、接代入法f (x,y,z(x,y)dxdyDxy2) Gaus公式計算法；3)投影轉移法cosf (x( y,z),y,z)dydzDcosyz定積分的幾何應用定積分應用的常用公式:面積S b f x g x dx（ X型區(qū)域的面積）S 1 r22 rj d（ 型區(qū)域的面積）2體積V b A x dxVxxa f2 x dx( y所得的立體體積)Vxy：2 x f x dx( y的立體體積)Vy ca (f x c)2dx( yf(x),xa, xb, y0所圍圖形繞x軸旋轉f (x), xa,xb,y0所圍圖形繞y軸旋轉f (x), xa,xb,yc所圍圖形繞軸y c（橫截面面積已知的立體體

14、積）旋轉的立體體積）a .1 y 2dx直角坐標形式 弧長S x t2 yt 2dt參數方程形式.r2 r 2d極坐標形式計算時注意：（1）正確選擇恰當的公式；（2）正確的給出積分上下限;（3）注意對稱性使問題簡化；（4）注意選擇恰當的積分變量以使問題簡化.計算多元函數的積分時要注意利用對稱性簡化積分的計算:1）、對二、三重及第一類的線面積分，若積分區(qū)域關于變量x對稱，則當被積函數關于x為奇函數時，該積分為0,當被積函數關于變量x為偶函數時，則該積分為 相應一半區(qū)域積分的二倍.2）、對第二類的線面積分，關于積分變量的對稱性理論與上相同，關于非積分變量 的對稱性理論與上相反.3）、若積分區(qū)域x,y的地位平等（即將表示區(qū)域的方程 x,y互換不變），則將被積函 數中x, y互換積分不變此稱之為輪換對稱性主要1、交換二次積分的積分次序；2、化三重積分為球面坐標或柱面坐標下的三次積分；3、green公式計算法；4、Ga