第三章復(fù)變函數(shù)的積分(與實(shí)函數(shù)中二型線積分類比)

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分（與實(shí)函數(shù)中二型線積分類比與實(shí)函數(shù)中二型線積分類比）3.1 復(fù)積分的概念線積分線積分復(fù)積分復(fù)積分,ccF x yM x y iN x y jdrdxidyjF drMdxNdy ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,F x ty trt dt ,f x ty tz t dt xx ttyy t 一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分兩個(gè)實(shí)二型線積分 ,A xy ,B xydxdycdrdz復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：連續(xù)，的曲線上在逐

2、段光滑設(shè)函數(shù)Cyxivyxuzf),(),()( .f z dzc則必存在連續(xù)，連續(xù)),(),()(yxvyxuzf存在與CCudyvdxvdyudx( )Cf z dz存在.復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分的性質(zhì) ：上連續(xù)在逐段光滑的有向曲線、設(shè)Czgzf)()(1 線性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(為常數(shù)、baCC2 設(shè)為 的逆向曲線，則CCdzzfdzzf)()( 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z dsML( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：為 的長(zhǎng)度.)例題1 .C

3、z dz計(jì)算(1):Cii 的直線段；（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向的單位半圓周。解（1） :11zit t 線段的參數(shù)方程為 ,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii （2）參數(shù)方程為3,22ize,1iidzie dze3322222iiCz dzie dei ii可見積分與路徑有關(guān)。例題2 ),Z()(I0nzzdzCn計(jì)算積分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i例題3 ,811Cdzzz證明:12.Cz證明

4、： CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28 .1zzdz1zdz2例如 1zzdz練習(xí)1zzdz20diei020dei0例題4 2,Cz dz計(jì)算iC 如圖所示：解：1:,0, :11Czx yx 112212;3Cz dzx dx 2:,:0iCze1C2C112220iiCz dzeie d330012.33iii ede 可見，積分與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。2222222CCCz dzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuv yxyxMNvu20Cz dz 3.2 柯西積分定理定理1（Cauchy） 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)

5、處處解析, 則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線 C 的積分為零:( )d0.Cf zz 注1：定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。 注2：如果曲線C是D的邊界, 函數(shù) f (z)在D內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D內(nèi)解析, 在閉區(qū)域D+C 上連續(xù), 則 f (z)在邊界上的積分仍然有( )d0.Cf zz 推論：如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D， f z dzc則與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。于是 0zCCzf z dzfdfd F z Fzf z 0zzF zfd是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函

6、數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)特別地 1010.zzfdF zF z例如：23331133z dzz21,13 注：以上討論中D為單連通域。內(nèi)解析，在區(qū)域azDazzf01)(0211idzazaz這里D為復(fù)連通域?？蓪⒖挛鞣e分定理推廣到多連通域的情況定理定理2 假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則 1.CCf z dzf z dzC1CDAB證明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 這說明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。 -閉路變形原理閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：

7、為簡(jiǎn)單閉曲線設(shè)nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的簡(jiǎn)單閉曲線，為包含nCCCC,21nCCCCD21為由邊界曲線所圍成的多連通區(qū)域， 內(nèi)解析，在Dzf)(則上連續(xù)在,DD0)(dzzf1( )( ).inCCif z dzf z dz或CiCD例題121,Cdzz求C 如圖所示：i3ii解： 存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。從而0,0,20, 30, 3111iiCiidzdzzz 11433iii 例題221,Cdzzz求C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。解： 21111zzzzC1C2C0121(1)1CCCdzdzdzzzzz

8、（由閉路變形原理）211CCdzdzzz220ii(2) (由復(fù)合閉路定理)122221CCCdzdzdzzzzzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz0220ii0 3.3 柯西積分公式0,zD設(shè)若 f (z) 在D內(nèi)解析，則000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz閉路變形原理DC0z 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：.定理定理 (柯西積分公式) 如果 f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析, C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D, z0為C內(nèi)的任一點(diǎn), 則001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cf

9、or f zdiz-解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。 證 由于f (z)在 z0連續(xù), 任給e 0, 存在 (e) 0, 當(dāng) |zz0| 時(shí), | f (z)f (z0)| e. 設(shè)以 z0為中心, R 為半徑的圓周K : |zz0|=R全部在C的內(nèi)部, 且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsRee00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz根據(jù)閉路變形原理, 該積分的值與R無關(guān), 所

10、以只有在對(duì)所有的R 積分為值為零才有可能。推論1 如果C是圓周z=z0+Rei, 則柯西積分公式成為2000(e )1()e d2eiiif zRf ziRiR2001(e )d2if zR0Reif z- 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于 它在圓周上的平均值.推論2 設(shè) f (z)在二連域 D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C例題1 CzrrzCdzzzze)2 , 1(:)2)(1(計(jì)算積分解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(2, 21 r 21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzz

11、zeiiiei32, 2r321CCC1C2C3C01232) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232zzzzeiieiieiei3322 3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.定理定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導(dǎo)數(shù)為:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0的任何一條正向簡(jiǎn)

12、單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即 因此就是要證0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定義0.z 在時(shí)也趨向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西積分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf zzzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf

13、zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz現(xiàn)要證當(dāng)z0時(shí)I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取 |z| 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cosz在C內(nèi)卻是處處解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izi

14、zzzzC222)(1)zCedzz 12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i0( )RRf zCzzRC在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則)(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCauchy不等式： 證明：RCnndzzzzfinzf100)()()(2!)(RCnndzzzzfnzf100)()(2!)(nnRnMRRMn!22!1注1：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小有關(guān)；注2： )(max)(00zfMzfnRCLiouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對(duì)復(fù)平面上任一點(diǎn)z ， RRCzRCint, ,)()(21)(2RCdzfizfMf)(RCdzfzf2)(21)(0)(0)(222RzRRM0)(zf.)(constzf( )Re( ),f zf zM注:在全平面解析，且