2021屆高考數(shù)學二輪考前復習第二篇破解中檔大題保提分必須錘煉的7個熱點專題專題2數(shù)列求和及等差等比數(shù)列的綜合學案文含解析

1、專題2數(shù)列求和及等差、等比數(shù)列的綜合1.錯位相減求和的三個注意事項一是判斷模型,判斷cn=anbn中的數(shù)列an,bn中一個為等差數(shù)列,一個為等比數(shù)列;二是錯開位置,一般先乘公比,再把前n項和退后一個位置來書寫,這樣避免兩式相減時看錯列;三是錯位相減,相減時一定要注意式中最后一項的符號,考生常在此步出錯,一定要細心.2.分組并項求和的兩點提醒(1)要善于識別題目類型,注意合理拆分通項.(2)出現(xiàn)(-1)n時一般多用并項求和法,特別注意項數(shù)的奇偶.3.裂項相消求和的兩個注意事項(1)利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.(2)將通項公式

2、裂項后,有時候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.數(shù)列求和的步驟第一步找關(guān)系:根據(jù)等差、等比數(shù)列基本量尋求關(guān)系;第二步求通項:確定等差、等比數(shù)列的通項公式;第三步構(gòu)差式:寫出前n項和的表達式,然后兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比得到另外一個式子,兩式作差;第四步準求和:根據(jù)差式的特征準確求和.1.步驟分:(1)列出sn;(2)構(gòu)建-2sn;(3)求出3sn.2.關(guān)鍵分:解題過程的關(guān)鍵點,有則給分,無則沒分.如列出sn.3.計算分:計算準確是根本保證,如求出3sn,再求sn.4.區(qū)分公式:牢記等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式,熟記等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,解題時結(jié)合實

3、際情況合理選擇.5.反思檢驗,規(guī)范解題步驟.【典例】(12分)(2020全國卷)設是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.(1)求的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列nan的前n項和.(1)看到求an的公比,想到利用基本量法列出方程求解;(2)看到求數(shù)列nan的前n項和,想到利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.【標準答案】(1)設的公比為q,已知a1為a2,a3的等差中項,所以2a1=a2+a3,a10,所以q2+q-2=0,2分因為q1,所以q=-2.4分(2)設nan的前n項和為sn,a1=1,an=(-2)n-1,6分sn=1+2(-2)+3(-2)2+n(-2)n-1,7分-2sn

4、=1(-2)+2(-2)2+3(-2)3+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n,8分-得,3sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n10分=-n(-2)n=,所以sn=.12分測試目標(1)直接利用基本量列方程求解;(2)確定錯位相減模型,數(shù)列求和測試素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析:利用數(shù)據(jù)分析列出方程;邏輯推理:利用邏輯推理寫出-2sn;數(shù)學建模:建立錯位相減模型,運用錯位相減法解決問題;數(shù)學運算:求解sn的值設sn為數(shù)列an的前n項和,且a1=1,當n2時,(n-1)an=(n+1)sn-1+n(n-1),nn*.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)記tn=s1+s2+sn,求tn.1.

5、(一般與特殊)sn為等比數(shù)列的前n項和,已知a4=9a2,s3=13,且公比q0.(1)求an及sn;(2)是否存在常數(shù),使得數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.2.(分組轉(zhuǎn)化)已知在等比數(shù)列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn=2n-1+an(nn*),數(shù)列bn的前n項和為sn,試比較sn與n2+2n的大小.3.(與不等式結(jié)合)已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列(nn*),a2=4,且1+a2是a1與a3的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設bn=log2an,sn為數(shù)列的前n項和,記tn=+,證明:1t

6、n的最小正整數(shù)n.5.(錯位相減法)已知等比數(shù)列,其公比q1,且滿足a2+a3=12,a2和a4的等差中項是10.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若bn=nan,tn是數(shù)列的前n項和,求使tn-n2n+1+14=0成立的正整數(shù)n的值.6.(探索問題)已知數(shù)列的前n項和記為an,且an=,數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,它的前n項和記為bn.若a1=b10,且存在不小于3的正整數(shù)k,m,使得ak=bm.(1)若a1=1,a3=5,求a2的值;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若q=2,是否存在整數(shù)m,k,使得ak=86bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,請說明理由.7.(與三角結(jié)合)已知函數(shù)f(x)

7、=,方程f(x)=在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列(nn*).(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設bn=sin an,求數(shù)列的前n項和sn.8.在s2=6,an+1=sn+2;sn=2an-a1且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列;log2(sn+2)=n+1這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中.設數(shù)列an的前n項和為sn,已知_,bn=,tn是數(shù)列bn的前n項和,問是否存在n(nn*),使得|tn-1|成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,請說明理由.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.專題2數(shù)列求和及等差、等比數(shù)列的綜合【模擬考場】【解析】(1)當n2時,an=sn-sn-1,所

8、以(n-1)(sn-sn-1)=(n+1)sn-1+n(n-1),即(n-1)sn=2nsn-1+n(n-1),則=2+1,所以+1=2,又+1=2,故數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知+1=2n-1=2n,所以sn=n2n-n,故tn=(12+222+n2n)-(1+2+n).設m=12+222+n2n,則2m=122+223+n2n+1,所以-m=2+22+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以m=(n-1)2n+1+2,所以tn=(n-1)2n+1+2-./高考演兵場檢驗考試力/1.【解析】(1)由題意得,解得,所以an=a1qn-1=3n-1,sn=.(2)

9、存在.理由如下:假設存在常數(shù),使得數(shù)列是等比數(shù)列,因為s1+=+1,s2+=+4,s3+=+13,又因為=,所以=,所以=,此時,sn+=3n,則=3,故存在=,使得數(shù)列是以s1+=為首項,公比為3的等比數(shù)列.2.【解析】(1)設等比數(shù)列an的公比為q,因為a1,a2,a3-1成等差數(shù)列,所以2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1(nn*).(2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,所以sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n-1+2n-1)=1+3+5+(2n-1)+(1+2+22+2n-1)=n+=n2+2n-1.因為sn-

10、(n2+2n)=-10,所以snn2+2n.3.【解析】(1)由題意得:2=a1+a3設數(shù)列的公比為q,則2=+a2q,即2q2-5q+2=0,解得:q=(舍去)或q=2,則a1=2,所以an=a1qn-1=2n.(2)由(1)得:bn=log22n=n,可知為首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則sn=,所以=2,所以tn=2=2=2-,因為01,所以12-2,即1tn,可得n9,可得最小正整數(shù)n為10.5.【解析】(1)等比數(shù)列,其公比q1,且滿足a2+a3=12,a2和a4的等差中項是10,即有a1q+a1q2=12,20=a2+a4=a1q+a1q3,解得:a1=q=2,所以an=2n.(2

11、)由(1)知:bn=nan=n2n,則tn=12+222+323+n2n,2tn=122+223+324+n2n+1,相減可得:-tn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1,化簡可得:tn=2+2n+1,tn-n2n+1+14=0,即為16-2n+1=0,解得:n=3.6.【解析】(1)當n=3時,a3=a1+a2+a3=,因為a1=1,a3=5,所以a2=3.(2)由an=,得an+1=,兩式相減,得an+1=,即(n-1)an+1-nan+a1=0,所以nan+2-(n+1)an+1+a1=0.兩式相減,得2an+1=an+an+2,所以數(shù)列為等差數(shù)列.(3)存在.理由如下:依題

12、意:ak=bm=a12m-1,由ak=86bm得:k=86,即k=86,2m=-2,所以344-k=.因為29=512,且m3,所以2m-19,又因為516=4129=4343,且2m-1+1為奇數(shù),所以2m-1+1=129時,是整數(shù),此時m-1=7,所以m=8,k=340.7.【解析】(1)f(x)=tan 2x,解得f(x)=tan 2x=,2x=k+,kz,則x=+,kz,依題意,an=+=-,nn*.(2)bn=sin an=sin是周期t=4的數(shù)列,b1=,b2=,b3=-,b4=-,s1=,s2=,s3=,s4=0,從而s5=s4+b5=b1=,s6=s5+b6=b1+b2=s2=,所以sn是周期為4的數(shù)列,sn=(kn*).8.【