多自由度體系的振動PPT精選文檔

1、1第三章第三章 多多 自自 由由 度度體系的振動體系的振動2第三章 多自由度體系的振動 3.1 兩個自由度體系的自由振動 3.2 多自由度體系的自由振動 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 3.4 多自由度體系的強迫振動3 很多結(jié)構(gòu)的振動問題不能按單自由度體系計算，如多層房屋的側(cè)向振動，不等高排架的振動，柔性較大的高聳的結(jié)構(gòu)在地震作用下的振動等，都應(yīng)按多自由度體系（multi-degree of freedom system）計算。3.1 兩個自由度體系的自由振動 對具有無限個自由度的彈性結(jié)構(gòu)，精確地處理其振動問題：有時是非常困難的，在某些情況下也并不必要。在某些特定條件下可對問題作一些簡化假定

2、，使一個無限自由度體系離散為有限多個自由度體系，使原來的問題變得容易求解，能獲得原結(jié)構(gòu)體系的主要屬性和特征。 針對兩個自由體系，介紹三種常用的方法： 平衡力系法、剛度法、柔度法4v1、平衡力系法 如圖，兩集中質(zhì)量 和 通過三個彈簧 、 和 相互聯(lián)結(jié)，在任意一時刻它們偏離其平衡位置的水平位移分別為 和 。 1m2m1k2k3k)(1ty)(2ty3.1 兩個自由度體系的自由振動23122221221111)()(ykyykymyykykym 根據(jù)兩質(zhì)量塊的平衡條件，可以得到：5表示成矩陣形式：0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym 0ykym 式中：1212 , ,

3、 ,ttyy yyy y 整理：32222121 ,00kkkkkkkmmm3.1 兩個自由度體系的自由振動2個自由度體系的自由振動寫成一般形式：0021222112112122211211yykkkkyymmmm 60021222112112122211211yykkkkyymmmm 對于圖中結(jié)構(gòu)體系，有22112322221112112222111,0,kkkkkkkkkmmmmmm3.1 兩個自由度體系的自由振動7 假設(shè)兩個質(zhì)點為簡諧振動，上式的解設(shè)為：)sin()()sin()(2211tytytyty 位移振幅 和 ，以及頻率 和相位角 均為待定參數(shù)。1y2y002122211211

4、2122211211yykkkkyymmmm 3.1 兩個自由度體系的自由振動8 1）、在振動過程中，兩個質(zhì)點具有相同的頻率 和相同的相位角 。常數(shù)2121)()(yytyty)sin()()sin()(2211tytytyty2）、在振動過程中，兩個質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但兩者的比值始終保持不變：3.1 兩個自由度體系的自由振動900222121222212111121ykykmyykykmy)sin(t0021222112112122211211yykkkkyymmmm )sin()()sin()(2211tytytyty21111122221 12222()0()0km yk

5、yk ykm y3.1 兩個自由度體系的自由振動齊次方程有非零解的條件為其系數(shù)行列式等于零，即:0222221121211mkkkmkd 該式是固有頻率應(yīng)滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程。（eigen equation or characteristic equation）利用這個方程可計算固有頻率102121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk展開上式，求得 的兩個根為: 2正實根，僅依賴于結(jié)構(gòu)體系的物理性質(zhì)，即質(zhì)量和彈簧剛度。0222221121211mkkkmkd3.1 兩個自由度體系的自由振動具有兩個自由度的體系共有兩個自振頻率， 12 表示其

6、中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率（fundamental frequency）； 稱為第二圓頻率。11 比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率 相應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型（fundamental mode）21/yy11211111220221 12222()0()0dkm yk yk ykm y 分析頻率各自對應(yīng)的振型(1)112(1)221111ykykm 3.1 兩個自由度體系的自由振動1221112)2(2)2(1mkkyy 和 表示第二振型中質(zhì)點1和2的振幅。 )2(1y(2)2y1m2m下標(biāo)與質(zhì)量 和 相對應(yīng)，上標(biāo)表示模態(tài)號碼。)1(2)1(1/yy)2(2)2(1

7、/yy由于模態(tài)方程是齊次的，所以 及 只有相對關(guān)系。12振型計算公式頻率計算公式頻率方程)sin()()sin()(2211tytytyty002221212221211111ykykymykykym.振型方程0)(0)(2222212121211211ymkykykymk為了得到y(tǒng)1、y2的非零解，應(yīng)使系數(shù)行列式=00222221121211mkkkmkdf展開是2的二次方程，解得2 兩個根為：2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk可以證明這兩個根都是正根。與2相應(yīng)的第二振型：12211122212mkkyy因為d=0，兩個振型方程式線性

8、相關(guān)的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求與1相應(yīng)的第一振型：12111122111mkkyy 132121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk212112222211122211122121mmkkmkmkmkmk2 的兩個根均為實根；212221121121yykkkkrr2122211211212121yykkkkyyrryy02211ryryyykijjiij矩陣k為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。故矩陣k為正定矩陣。k11k22-k12k2102 的兩個根均為正根；14與2相應(yīng)的第二振型：212211122212

9、mkkyyf求與1相應(yīng)的第一振型：112111122111mkkyy2個自由度體系能夠按某個主振型自由振動的條件是：初始位移和初始速度應(yīng)當(dāng)與此主振型相對應(yīng)。在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的振動，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。3.1 兩個自由度體系的自由振動15方程的全解:0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym )sin()sin()()sin()sin()(22)2(2211)1(21222)2(1211)1(111tyatyatytyatyaty1a122a其中， 、 、 和 由初始條件確定。3.1 兩個自由度體系的自由振動一般情況下，體系的自由

10、振動不是主振動，而是兩種不同頻率及其振型的組合振動:16例 試分析圖示結(jié)構(gòu)體系的固有頻率和振型。已知： 。kkkkmmm32121,0202212211kykyymkykyym 解：體系的運動方程為：0)(0)(23212222212111ykkykymykykkym 3.1 兩個自由度體系的自由振動170202212211kykyymkykyym )sin()()sin()(2211tytytyty體系的運動方程為：設(shè)方程的解為：0222122yymkkkmk3.1 兩個自由度體系的自由振動上式有非零解的條件是系數(shù)行列式為零：02222mkkkmk2/122/113,mkmk展開行列式，可以

11、求得18 第一模態(tài)（振型）為兩個質(zhì)量一起振動，無相對位移，中間一個彈簧不起作用，只有第一和第三個彈簧起作用，其結(jié)果類似于質(zhì)量為2m、彈簧系數(shù)為2k的單自由度體系的振動；以橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點的振幅，體系的主振型圖。第二模態(tài)（振型）為兩個質(zhì)量作相反振動，中間一個彈簧的中點始終不動。計算振型：11221)1(2)1(1)1(mkkyyy11222)2(2)2(1)2(mkkyyy3.1 兩個自由度體系的自由振動19 1、主振動:結(jié)構(gòu)體系以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動，稱為體系的主振動。2、各點同時經(jīng)過靜平衡位置，并同時到達最大偏移位置，以確定的頻率和振型作簡諧振動。3

12、.1 兩個自由度體系的自由振動3、自由度體系自振頻率的個數(shù)= 其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。4、每個自振頻率相應(yīng)一個主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式。5、自振頻率和主振型是體系本身的固有特性?？偨Y(jié)：20y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r122ym.002221212221211111ykykymykykym.0, 0222111rymrym.11ym.2、剛度法3.1 兩個自由度體系的自由振動22212122121111ykykrykykr如圖，具有兩個集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，兩個自由度21y1(t)y2(t)r2r1乘 y1(t)k1

13、1k21乘 y2(t)k12k2211fr1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2kij表示使j點產(chǎn)生單位位移(其它點位移=0)時,在i點需施加的力(稱為剛度系數(shù)).3.1 兩個自由度體系的自由振動22例：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ，層間側(cè)移剛度為k1、k2k21k111解：求剛度系數(shù)： k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22k121k22=k2 , k12=k20222221121211mkkkmkd0)(222221221kmkmkk1)當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322mkmk38197. 025321()()km

14、kmk02222mkmk61803. 161803. 021 代入頻率方程：2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk+231)當(dāng)m1=m2=m,k11=2k，k12=mkmk61803. 225322mkmk38197. 025321求振型：618. 1138197. 02kkk12k12111mk2111yy1第一主振型：y21=1.618y11=1第一主振型618. 0161803. 22kkk12k12211mk2212yy2第二主振型：y22=0.618y11=1第二主振型240)(222221221kmkmkk 2)當(dāng)m1=nm2

15、, k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k20)() 1(22222222kmknmkn求頻率：求振型：如n=90時1101121yy191222yy當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應(yīng)）2192112yy第一振型：第二振型：特征方程：222214122112mknnn+4121)4121() 1() 1(222212121112nnnnknmknkmkyy+2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk+25y1(t)y2(t)建立振動微分方程：（建立位移協(xié)調(diào)方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)應(yīng)等于體系在當(dāng)時慣性

16、力作用下所產(chǎn)生的靜力位移。11ym.22ym.1212( ),( )mtm y ty1121p1=11222p2=1 3、柔度法3.1 兩個自由度體系的自由振動26222221112122211111)()()()()()(tymtymtytymtymty.22ym.y1(t)y2(t)11ym.1121p1=11222p2=13.1 兩個自由度體系的自由振動 是結(jié)構(gòu)體系的柔度系數(shù)(flexibility coefficient)，即體系在點j承受單位力時，在點i產(chǎn)生的位移。 ij27)sin()()sin()(2211tytytyty)sin(t222221112122211111)()(y

17、mymtyymymty 設(shè)解的形式為:3.1 兩個自由度體系的自由振動設(shè)各質(zhì)點按相同頻率和初相角作簡諧振動。2222221112212222111121)()()()(ymymyymymy),(21yy),(222112ymym 主振型的位移幅值 就是結(jié)構(gòu)體系在此主振型慣性力幅值 作用下所引起的靜力位移。280)1(0)1(222221121221212111ymymymym 令系數(shù)行列式等于零，可得到 和 的非零解，即:1y2y01122221212122111mmmmd2222221112212222111121)()()()(ymymyymymy用柔度系數(shù)表示的頻率方程或特征方程。3.1

18、 兩個自由度體系的自由振動292)(4)()(2)(4)()(212112221122221112221112212112221122221112221111mmmmmmmmmmmm求得固有圓頻率的兩個值為:1112212101122221212122111mmmmd解出 的兩個根3.1 兩個自由度體系的自由振動體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目30體系的第一階主振型:21111212)1(2)1(11mmyy0)1(0)1(222221121221212111ymymymym13.1 兩個自由度體系的自由振動2體系的第二階主振型:22111212)2(2)2(11mmyy31例:求簡支梁的自振

19、 頻率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系數(shù) p=1 p=132l32leil243432211eil4867321122)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm2)(4)2(222122112111112mmmmm121112mm121112eimlmm31211148615eimlmm3121124861322311221,69. 51mleimlei求得頻率：求得主振型：1111112122111mmyy1121112122212mmyymm32例: 求簡支梁的自振 頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對稱

20、的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計算 ：1對稱情況：eil1625311311169. 51mleiml/91反對稱情況：eil4863223222221mleim33例：求圖示體系對稱振動情況下的頻率。mmmeieiei3m3m3m3mm/2m 1210.51m110.8750.252m 1102m01m33eimm5 . 4:,11011相乘eimmmm125. 1,2112021012相乘，相乘或eimm6875. 1:,22022相乘ei5 . 411ei125. 12112ei6875. 1222)(4)()(2121122211222211122211112mmmmm

21、mmeimei943. 01,596. 012211)125. 16875. 15 . 4(214)6875. 125 . 4()6875. 125 . 4(22212eimeimeim/125. 1/8125. 2123412/825. 2/5 . 2/125. 111112122111eimeimeimmmyy11/125. 1/5 . 2/125. 121112122212eimeimeimmmyy2111 yij為正時為正時表示質(zhì)量表示質(zhì)量mi的的運動方向與計運動方向與計算柔度系數(shù)時算柔度系數(shù)時置于其上的單置于其上的單位力方向相同，位力方向相同，為負時，表示為負時，表示與單位力方向與單

22、位力方向相反。相反。35例例3.3.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :eil31134令令21111m02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mleimleimleimeil1y2y12ym222ym1y2y11211122211221212112yymym2222212212yymym02)1 (211121yy0)2(2112211121yylleil3211221eil3223136例例3.3.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :令令21111m1221212112yymym2

23、222212212yymym02)1 (211121yy02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mleimleimleimeil1y2y12ym222ym1y2y1121112221ll23. 214/312111yy897. 014/322212yy 1897. 0;123. 221yy37mleimeil1y2y12ym222ym1y2y1121112221ll例例3.3.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :令令21111m1221212112yymym2222212212yymym02)1 (21

24、1121yy23. 214/312111yy897. 014/322212yy 1897. 0;123. 221yy123. 2 1y1897. 0 2y380.5a例例4. 4. 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的eiei已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）計算頻率）計算頻率1a1m12meiaeiaeia6,4,322321123113231203. 3967. 0maeimaei（2 2）振型）振型61. 31277. 0122122111yyyy10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型39例5 求圖示體系對稱振動情況下的頻率。m

25、mmaaaaaaeieiei解： 因為結(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布均勻?qū)ΨQ，其振型也是對稱和反對稱的，分別取半邊結(jié)構(gòu)計算。對稱結(jié)構(gòu)m2=m/2m1=maaaeiei40 以求對稱振型為例說明 中系數(shù)的求解。首先求出半邊結(jié)構(gòu)在集中質(zhì)量上分別作用有單位集中力產(chǎn)生的彎矩圖。aaa1320a1740aaaa710a310a1(a) m1圖(b) m2 圖 為了求柔度系數(shù)，可以在另外的靜定基本結(jié)構(gòu)上加單位力并作彎矩圖。(c)圖1m圖2m(d)1aaa2a1aaaa41總結(jié)：在2個自由體系自由振動問題中4）體系的自振頻率和主振型是體系本身的固有性質(zhì)。自振頻率只與體系本身的剛度系數(shù)和質(zhì)量分布有關(guān)，與外荷無關(guān)。3）每個自振

26、頻率有其相應(yīng)的主振型；2）振動頻率個數(shù)與自由度個數(shù)一致，自振頻率可通過特征方程計算；1）主要問題是確定體系自振頻率及其相應(yīng)主振型3.1 兩個自由度體系的自由振動42y1yiynri動平衡方程：riy1yiynri 應(yīng)滿足剛度方程),.,2 , 1(.2211niykykykrniniiikij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，使點j產(chǎn)生單位位移（其它點位移為零）時在點i所需施加的力。iiym.),.,2 , 1(0nirymiii. 3.2 多自由度體系的自由振動430.0.0.2211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym.),.,2 ,

27、1(.2211niykykykrniniii或： ),.,2 , 1(0nirymiii.0ykym.0.00.212122221112112121nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm. 多自由度體系自由振動方程為: 3.2 多自由度體系的自由振動44得振幅方程：2 sin()yyt 3.2 多自由度體系的自由振動0ykym km線性二階常微分方程組，矩陣 和 是時不變和對稱的方陣。 )sin(tyy設(shè)方程的解的形式為: y 是位移幅值向量:tnyyyy,210)(2ymk45得頻率方程： 3.2 多自由度體系的自由振動 齊次方程，有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零，即:02m

28、k n個自由度的結(jié)構(gòu)體系，上式展開后得到關(guān)于圓頻率 的n次代數(shù)方程:2), 2 , 1(niitn,21求方程的n個根 ，得到體系的n個自振頻率 。1最小的頻率 稱為基本頻率。把全部自振頻率按照從小到大的順序進行排列而成的向量，稱為頻率向量。46 tniiiiyyyy,21)(0)()(2iiymk), 2 , 1()(niyi線性齊次方程組，如果 是方程組的解：tniiiiyyyy,21)(計算相應(yīng)的主振型向量: 令： 3.2 多自由度體系的自由振動i對于第i個頻率 ，有: i)(iy 為與頻率 相應(yīng)的主振型向量。tniiiicycycycy,21)(也是方程組的解（這里c為任一常數(shù)）。47

29、 1)從特征問題中解得的振型的幅值是任意的， 2)只有主振型的形狀是唯一的。為了使主振型具有確定值，可以通過以下幾種振型標(biāo)準化（mode normalization）的方法來進行處理。 3.2 多自由度體系的自由振動1）、指定某元素為1 規(guī)定主振型向量的某個元素為1，例如取第一元素的值為1，這樣以這個元素為標(biāo)準就可確定其他元素的大小。2）、指定最大元素為1 取每一振型向量的最大值為1，即可確定其他元素的大小。48例： 質(zhì)量集中在樓層上， 層間側(cè)移剛度如圖。k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 剛度矩陣k和質(zhì)量矩陣m：100010002330385052015mmkk1149215,03303850522015kmk其中解得：mk0862. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01mk6673. 02mk9319. 032）求頻率：代入頻率方程： k2 m0322422252250展開得：1231.293,6.680,13.027503）求主振型：振型方程：（k2 m）y0的后兩式：（令y3i=1）0)3(303)8(5221iiiiiyyy（a）122025058300331i