近世代數(shù)答案

1、1：證明： :實(shí)數(shù)域 R 上全體 n 階方陣的集合Mn(R) ，關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)交換群。證：（ 1）顯然， Mn(R) 為一個(gè)具有“ +”的代數(shù)系統(tǒng)。（ 2）矩陣的加法滿(mǎn)足結(jié)合律，那么有結(jié)合律成立。（ 3）矩陣的加法滿(mǎn)足交換律，那么有交換律成立。（4）零元是零矩陣。A Mn(R),A+0=0+A=A。（5）A Mn(R),負(fù)元是 -A 。 A+(-A)=(-A)+A=0。（ Mn(R),+）構(gòu)成一個(gè)Abel群。2：證明：實(shí)數(shù)域 R 上全體 n 階可逆方陣的集合 GLn(R) 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群。這個(gè)群稱(chēng)為 n 階一般線(xiàn)形群。證明：顯然GLn(R) 是個(gè)非空集合。對(duì)于任何的A,B GLn

2、(R) ，令 C=AB,則 C=|AB|=|A|B| 0,所以 CGLn(R) 。因?yàn)榕e證乘法有結(jié)合律，所以結(jié)合律成立。對(duì)任意A GLn(R) ， AE=EA ，所以 E 是單位元。任意的A GLn(R) ，由于A 0,A 的逆矩陣A 1，滿(mǎn)足AA1A 1 AE且A的逆元是A 1 .所以， GLn(R) 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群。3：證明:實(shí)數(shù)域R 上全體n 階正交矩陣的集合On(R) 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群.這個(gè)群稱(chēng)為n階正交群.證：（ 1）由于 EOn (R), On (R) 非空。(2 ) 任意 A,B On (R) ，有（ AB ） T=B TA T=B-1 A -1=(AB) -1 , A

3、B On(R), 于是矩陣的乘法在 On(R) 上構(gòu)成代數(shù)運(yùn)算。(3) 矩陣的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，那么有結(jié)合律成立。（ 4）對(duì)任意 A On (R) ，有 AE=EA=A E 為 On (R) 的單位元。（ 5）對(duì)任意 A On (R) ，存在 A TOn (R) ，滿(mǎn)足 AA T =E=AA -1,A TA=E=A -1A A T 為 A 在 On (R) 中的逆元。 On (R) 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群。4：證明：所有行列式等于1 的 n 階整數(shù)矩陣組成的集合SLn(Z), 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群。證明： En SLn(Z) ， SLn(Z) 是個(gè)非空集合。對(duì)任意 A,B SLn(Z), 記

4、C=AB, 則 C 是整數(shù)矩陣，且 C= AB = A B =1,C SLn(R) ，即 SLn(R) 關(guān)于矩陣的乘法封閉。（ 1） 矩陣乘法有結(jié)合律，結(jié)合律成立。（ 2） 對(duì)任意的 A SLn(Z) ，AE=EA=A, 且 ESLn9Z), A 的單位元是單位矩陣 E。（ 3） 對(duì)任意的 A SLn(Z), 因?yàn)?A Mn(Z), 故 A* Mn(Z), 又A1A 1*且AAA 1A 1所以A1SLn(Z),又AA1A1A E ,故 A 的逆元為A1。所,以 ， SLn（ Z）關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群。5:在整數(shù)集中 ,規(guī)定運(yùn)算“ ”如下： a b=a+b-2,a,b Z. 證明：（ Z, ）構(gòu)成

5、群。證 （ 1）對(duì)于任意a，b Z 有 a b=a+b-2 Z，于是“”在Z 上構(gòu)成代數(shù)運(yùn)算。（ 2）對(duì)于任意 a， bZ 有，（ a b） c=a+b+c-4 a (b c)=a (b+c-2)=a+b+c-4 ， (a b) c=a(b c)于是結(jié)合律成立（3）對(duì)于任意的a，b Z ，a b=a+b-2=b+a-2=b a，那么“”在Z 上有交換律。（4）對(duì)于任意的（5）對(duì)于任意的a Z， 有 2 a=2+a-2=a， a Z， 有 4-a Z 2 為單位元(4-a) a=4-a+a-2=2 ， 4-a 為 a 的逆元。（ Z, ）構(gòu)成群。6：分別寫(xiě)出下列各群的乘法表。（1）例 6 中的群

6、；1-1i-i11-1i-i-1-11-iiiI-i-11-i-ii1-1(3)群 Z7*；123456112345622461353362514441526355316426654321(4) 群 U(18).157111317115711131755717111137717135111111115131771313111177517171311751aa證明： G 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群。7：設(shè) G=a R,a0 。aaaa11證：記a=aI ， I=。a1111（1） G 非空， G。11（2）aI,bI G，則 a,bR,a,b0， 2ab0,aIbI=2abI G。（3）a,b,cR,

7、且 a,b,c0,有（ aIbI ）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),結(jié)合律成立。（4）單位元為 1I G. a R,a0,aI(11I)=IaI=aI 。222（5）aI G，則 1I G。 aI(111I)=(I)aI= I。4a4a4a2（ G，?）為群。8：證明：所有形如2 m3n 的有理數(shù)（ m， nZ ）的集合關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群。證明：記G= 2m 3n | m， n Z（1）G 是一個(gè)非空集合；（2）2m13n1 ,2 m2 3n2G，有 2m1 3n12m 23n2= 2m1 m2 3n1 n2G，是 G 上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算；（3）結(jié)合律，交換律均成

8、立（數(shù)的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律）；（4）1 是單位元。1= 2030G，且 12m 3n = 2 m3n ；（ 5） 2m3nG，有 2 m3 nG，且 2 m 3 n2m3n =1；G 關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群。1ab9：證明：所有形如01c 的 3*3 實(shí)矩陣關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群。這個(gè)群以諾貝爾001物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，稱(chēng)為海森伯群（Heisenberg group）。證：（ 1）顯然非空。1a1b11a2b21a1 a2b1 b2a1c2（2）保持代數(shù)運(yùn)算：01c101c201c1c2G 。001001001（3）結(jié)合律：1a1b11a2b21a3b31

9、a1 a2b1b2 1a3b301c101c201c301c1c2 01c30010010010010011a3(a2a1)b3c3( a2a1)(b2a1c2b1)01c3(c2c1)0011(a3a2)a1(b3a2c3b2)(c2c3) a1b101(c3c2)c10011a1b11a2a3b3a2c3b201c101c2c30010011a1b11a2b21a3b301c101c201c3。0010010011 001a b 1001001ab1a b401001c010=01001c=01c0010010010010010011a b1a ac b1a b 1a ac b501c G

10、01cG01c01c =0010010010011aac b1ab10001c01c = 010001001001G10Ga1 ,a2,arGa1a2ar= ar-1ar-1-1a1-1 .GaiG,i=1,2,r.a1a2arG, ar-1ar-1-1a1-1G.ar-1ar-1-1a1-1a1a2ar=ar-1a2(a1-1a1(a2ar=ar-1a2(a2ar)= .= ar -1 ar=e.a1a2arar -1ar-1-1a1-1=a1a2(arar -1(ar-1-1a1-1=a1ar-1ar-1-1a1-1=-1a1 a1 =e.由逆元的惟一性知： （ a1a2ar） -1= a

11、r-1ar-1-1a1-1 。11Gab G，證明：如果ab =e ，則ba =e 。：設(shè)是群， ，證明： ba = eba = (a 1 a)ba = a 1 ( ab)a=a 1ea = e ?；?ba = bae = ba(bb 1 ) = b(ab)b 1 = beb 1 = e 。12.設(shè) G 是群。證明：如果對(duì)任意的x G,都有 x2=e，則 G 是一個(gè)交換群。證明：對(duì)任意 a,b 屬于 G, aae aa 1。故 ab ab1b 1 a 1ba ，所以群 G 是交換群。13：設(shè) G 是群。證明： G 是交換群的充分必要條件是對(duì)任意的a,b G,(ab)2=a2b2.證：“ =”

12、G 是交換群。對(duì)于任意的a， bG，有 ab=ba那么 (ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a 2 b2“ ba=ab，(消去律 )G 為交換群。14:設(shè) G 是一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空有限集合。證明：如果G 滿(mǎn)足結(jié)合律，有左單位元，且右消去律成立，則 G 是一個(gè)群 .證 G 是具有乘法運(yùn)算的非空有限集合，設(shè) G= a ,a2,an ，對(duì)于任意的 a G， Ga=a1a,a2a,ana=G 且 G 滿(mǎn)足結(jié)合律，有左單位元存在 aia=e G，即 ai 為 a 的左逆元于是 G 是一個(gè)群。15.證明：一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空集合G，如果滿(mǎn)足結(jié)合律，有右單位元（即有eG，使對(duì)任意的 aG，有

13、ae = a ），且 G 中的每個(gè)元素有右逆元（即對(duì)每個(gè)使 aa = e ），則 G 構(gòu)成群。證明：（必要性）由群的定義，這是顯然的。aG，有 aG，（充分性）只需證：e 是 G 的單位元，a 是 a 的逆元即可。設(shè) a G，由條件知，存在 a G，使aa = e 。同時(shí)又存在a G，使a a = e。于是a a = a ae= a a(a a ) = a (aa ) a = a ea = a a = e ，且ea = aa a = a(a a) = ae= a 。聯(lián)系題設(shè)條件知，e 是 G 的單位元，a 是 a 的逆元。G 為群。316:設(shè) G 是有限群。證明： G 中使 x =e 的元素

14、x 的個(gè)數(shù)是奇數(shù) .證： G 是有限群， A= x G| x3=e e G 且 e3=e ， e A 又 對(duì)于任意的 x A , x e,存在 x-1 A ，滿(mǎn)足（ x-1） 3=（ x2） 3=x 6=（x3） 2=e2=e。A 中的元素個(gè)數(shù)是奇數(shù)。17：設(shè) p,q 是不同的素?cái)?shù)。假設(shè) H 是整數(shù)集的真子集，且H 關(guān)于加法是群， H 恰好包含集合p,p+q,pq,p q,qp 中的三個(gè)元素。試確定以下各組元中哪一組是H 中的這三個(gè)元素？qpqqqp（A ） pq,p,q ; (B) p,p+q,pq:(C) p,pq,p :(D) p+q,pq,p :(E) p,p,q .解：（ C）。（ A ） (pq,qp)=1,p(mp q+nqp )=