人教版必修二高中數(shù)學(xué)筆記講義

1、第1講第1章§1.1.1 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.逐步培養(yǎng)觀察能力和抽¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)象概括能力 .¤知識(shí)要點(diǎn) ：結(jié)構(gòu)特征圖例（ 1）兩底面相互平行，（ 1）兩底面相互平行； （2）側(cè)面的母線平行于圓柱的軸；棱其余各面都是平行四邊圓（ 3）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)柱形；柱軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的（ 2）側(cè)棱平行且相等 .幾何體 .（ 1）底面是多邊形，各（ 1）底面是圓；（ 2）是以直角三角形棱側(cè)面均是三角形；圓的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其錐（ 2）各側(cè)面有一個(gè)公共錐余兩邊旋

2、轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何頂點(diǎn) .體 .（ 1）兩底面相互平行；（ 1）兩底面相互平行；棱（ 2）是用一個(gè)平行于棱圓（ 2）是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面臺(tái)錐底面的平面去截棱錐，臺(tái)去截圓錐，底面和截面之間的部分 .底面和截面之間的部分 .球（ 1）球心到球面上各點(diǎn)的距離相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.¤例題精講 ：1.下列說法錯(cuò)誤的是（）A. 多面體至少有四個(gè)面B.九棱柱有9 條側(cè)棱， 9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形分析： 多面體至少應(yīng)有四個(gè)頂點(diǎn)組成（否則至多3 個(gè)頂點(diǎn)，而3 個(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形）

3、 ，而四個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)然必須圍成四個(gè)面，所以 A 正確；棱柱側(cè)面為平行四邊形，其側(cè)棱和側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面多邊形的邊數(shù)相等，所以B 正確；長方體、正方體都是棱柱，所以C 正確；三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不是三角形，所以D 錯(cuò)誤.答案： D2.一個(gè)棱柱有 10 個(gè)頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60 cm，則每條側(cè)棱長為 _ cm.分析： n 棱柱有 2n 個(gè)頂點(diǎn)，由于此棱柱有10 個(gè)頂點(diǎn)，那么此棱柱為五棱柱，又因棱柱的側(cè)棱都相等，五條側(cè)棱長的和為60 cm，可知每條側(cè)棱長為12 cm.答案： 123.在本節(jié)我們學(xué)過的常見幾何體中 , 如果用一個(gè)平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是_.分析： 棱

4、錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐等幾何體的截面都可以是三角形，因此本題答案是開放的，作答時(shí)要考慮周全.答案： 棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐第 2 講§1.1.2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征.¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)¤知識(shí)要點(diǎn) ：觀察周圍的物體，大量的幾何體是由柱、錐、臺(tái)等組合而成的，這些幾何體稱為組合體.¤例題精講 ：【例 1】在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多可有（）.A.1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D.4個(gè)解：在長方體 ABCDA'B 'C ' D '中，取四棱錐 A&#

5、39;ABCD ，它的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形 .選 D.【例 2】已知球的外切圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r , R ，求球的半徑 .解：圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得梯形腰長為 R+r，梯形的高即球的直徑為(rR)2(R r )22 rR ，所以，球的半徑為rR .第 3講§1.2.2空間幾何體的三視圖¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如：紙板）制作模型.¤知識(shí)要點(diǎn) ：1. “視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖. 光線自物體的前面向后

6、投影所得的投影圖成為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖”. 用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為“三視圖”.2. 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)）、正上方三個(gè)不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個(gè)平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力. 在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來.¤例題精講 ：【例 1】畫出下列各幾何體的三視圖：解：這兩個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示.【例 2】畫出下列三視圖所表示的幾何體.解： 先畫幾何體的正面，再側(cè)面，然后結(jié)合三個(gè)視圖

7、完成幾何體的輪廓. 如下圖所示 .【例 3】如圖，圖（ 1）是常見的六角螺帽，圖（ 2）是一個(gè)機(jī)器零件（單位： cm），所給的方向?yàn)槲矬w的正前方 . 試分別畫出它們的三視圖 .解：圖（ 1）為圓柱和正六棱柱的組合體 . 圖（ 2）是由長方體切割出來的規(guī)則組合體 .從三個(gè)方向觀察，得到三個(gè)平面圖形，繪制的三視圖如下圖分別所示.第第 4 講§ 空間幾何體的直觀圖¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：會(huì)用斜二側(cè)法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的直觀圖 . 了解空間圖形的不同表示形式 .¤知識(shí)要點(diǎn) ：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測(cè)畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖

8、，其實(shí)質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫法. 基本步驟如下：（ 1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x 軸和 y 軸，得到直角坐標(biāo)系xoy ，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系x 'o ' y ' ，兩軸夾角為45 .（ 2）平行不變：已知圖形中平行于x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或 y軸的線段 .（ 3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x 軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y 軸的線段，長度為原來的一半.¤例題精講 ：【例 1】下列圖形表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它們?cè)瓉淼膱D形.解：依據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則，逆向進(jìn)行，如圖所示.【例 2】（ 1）畫水平放置的

9、一個(gè)直角三角形的直觀圖；（2）畫棱長為 4cm 的正方體的直觀圖 .解：（1）畫法：如圖，按如下步驟完成 .第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角邊 CB 所在的直線為x 軸，與 BC 垂直的直線為 y 軸，畫出對(duì)應(yīng)的 x 軸和 y 軸，使 x O y 45.第二步，在 x 軸上取 O'C 'BC ，過 C ' 作 y ' 軸的平行線，取1C'A'CA.2第三步，連接A'O' ，即得到該直角三角形的直觀圖.苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳2（ 2）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，

10、使BAD 45 ,A D2.c mA B 4 c ,m第二步，過 A 作 z 軸，使BAz90. 分別過點(diǎn) B, C, D 作 z 軸的平行線，在 z 軸及這組平行線上分別截取AABB CC DD 4cm .第三步，連接A B , B C , C D , D A ，所得圖形就是正方體的直觀圖.點(diǎn)評(píng) ：直觀圖的斜二測(cè)畫法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長度，然后運(yùn)用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點(diǎn)，最后連線即得直觀圖. 注意被遮擋的部分畫成虛線.第 5講§1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：了解棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積的

11、計(jì)算公式（不要求記憶公式）；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的表面積進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題 .¤知識(shí)要點(diǎn) ：表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱S全S側(cè)2S底，圓柱S全2r 22 rh （r ：底面半徑， h：高）其中 S側(cè)l 側(cè)棱長c直截面周長棱錐S全S側(cè)S底圓錐S全r 2rl（r：底面半徑， l ：母線長）棱臺(tái)S全S側(cè)S上底S下底S全( r '2r 2r 'lrl )圓臺(tái)（ r：下底半徑， r ：上底半徑， l：母線長）¤例題精講 ：【例 1】已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2、 5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長.解：設(shè)圓臺(tái)的母線長為l ，則圓臺(tái)的上底面面

12、積為S上224，圓臺(tái)的上底面面積為S下5225，所以圓臺(tái)的底面面積為SS上S下29.又圓臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)(25)l7l ，于是 7 l25，即 l29 為所求 .7【例 2】一個(gè)正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個(gè)正三棱柱的表面積.解：由三視圖知正三棱柱的高為2mm.由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為23mm.設(shè)底面邊長為 a，則32 3， a4 .a2正三棱柱的表面積為SS側(cè)2S底34 2 2142 32483( mm2) .2【例 3】牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如右圖所示，請(qǐng)你幫助算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精確到0.01 m2 ）解：上部

13、分圓錐體的母線長為1.222.52，12m51.222.52其側(cè)面積為 S1.218m下部分圓柱體的側(cè)面積為S151.8 .5m所以，搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要的篷布為S S1S15222圖 2-3-1221.22.55 1.8 50.05 （m ） .點(diǎn)評(píng) ：正確運(yùn)用錐體和柱體的側(cè)面積計(jì)算公式，解決制作殼形幾何體時(shí)的用料問題. 注意區(qū)分是面積計(jì)算，還是體積計(jì)算 .第 6 講§1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的體積¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：了解棱柱、棱錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題 .¤知識(shí)要點(diǎn) ： 1.體積公式

14、：體積公式棱柱VS底 h高圓柱V1棱錐S底 h高圓錐3棱臺(tái)V1 ( S' S' S S)h圓臺(tái)3體積公式V2r hV1r 2 h3V122( r 'r ' r r ) h32. 柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)行變化，當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時(shí)，它就成了柱體. 因而體積會(huì)有以下的關(guān)系：V錐1 S hS '0V臺(tái)1 (S' S'SS)hS' SV柱S h .33¤例題精講 ：【例1】一個(gè)長方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2、 3、 6，則長方體的體積是.

15、解：設(shè)長方體的長寬高分別為a, b, c ，則 ab 2,ac3,bc6 ，三式相乘得 (abc)236 .所以，長方體的體積為6.【例 2】一塊邊長為 10cm 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器 ,試建立容器的容積V 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ,并求出函數(shù)的定義域 .解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為xcm .E1 xcm ,在 RtEOF 中， EF5cm, OF2所以 EO251 x2 ,于是 V1 x2 251 x2 .434DC依題意函數(shù)的定義域?yàn)?x | 0x10 .OFAB3】一個(gè)無蓋的圓柱形容器的底面半徑為36，現(xiàn)將

16、該容器盛滿水，【例，母線長為然 后 平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出，當(dāng)容器中的水是原來的5 時(shí)，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為.6解：容器中水的體積為Vr 2l(3) 2618 .流出水的體積為5，如圖， l '2V '232.V' (16)V 3r2( 3)2設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為，則 tan233，解得60.2所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.點(diǎn)評(píng) ：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一個(gè)平面去平分了一個(gè)短圓柱. 從而由等體積法可計(jì)算出高度，解直角三角形而得所求角 .第 7 講§1.3.2 球的體積和表面積¤

17、學(xué)習(xí)目標(biāo) ：了解球的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）；能運(yùn)用球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題 .¤知識(shí)要點(diǎn) ： 1.表面積： S球面4R2（R：球的半徑） .2.體積：球面43 .VR¤例題精講 ：3【例 1】有一種空心鋼球， 質(zhì)量為 142g ，測(cè)得外徑等于5 cm ，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9g / cm2，精確到 0.1cm）解：設(shè)空心球內(nèi)徑 (直徑 )為 2xcm ，則鋼球質(zhì)量為45 3437.9 ()x 142 ，D ''323A 'CB'( 5)11.3 ， x2.24， x31423AC3243.14DO

18、7.9B直徑 2x4.5 ，即空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm .C '【例 2】表面積為 324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14 ，求這個(gè)正四棱柱的表面積 .A'解：設(shè)球半徑為 R ，正四棱柱底面邊長為a ，則作軸截面如圖，AA14，AC2a ， AOC又4 R2324， R9， ACAC 2CC 28 2 ， a8， S表6423214576 .【例 3】（04 年遼寧卷 .10）設(shè) A、B 、C、 D 是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（）.A8 6B64 6C24 2D72 2【解】由已知可得，A、 B

19、、 C、D 在球的一個(gè)小圓上 . AB=BC=CD=DA =3， 四邊形 ABCD 為正方形 . 小圓半徑 r32.2苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳4222232 2(R 2，解得 R6 .由 Rrh得 R (2)2 球的體積 V4R34(6) 386 . 所以選A.33R2r 2h2 ，體積和表面積公式 .點(diǎn)評(píng) ：解答球體中相關(guān)計(jì)算，一定要牢記球的截面性質(zhì)第 8 講 §平面¤學(xué)習(xí)目標(biāo) ：能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面” ；理解平面的無限延展性；正確地用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號(hào)語言三種語言之間的

20、轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 點(diǎn) A 在直線上 , 記作 Aa ；點(diǎn) A 在平面內(nèi) , 記作 A；直線 a 在平面內(nèi) ,記作 a.2. 平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號(hào)語言” 、“圖形語言”列表如下：公理 1公理 2公理 3圖形語言文字如果一條直線上的兩點(diǎn)在過不在一條直線上的三點(diǎn)，有如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線且只有一個(gè)平面 .共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該語言在此平面內(nèi) .點(diǎn)的公共直線 .符號(hào)Al , B lA,B,C不共線lAlA,B,C確定平面P, P語言, BP l3.公理 2 的三條推論：推論 1經(jīng)過一條直線和

21、這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論 2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論 3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.¤例題精講 ：【例 1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？（P56A組 5題）解：根據(jù)公理 2 的推論 3，可知兩條平行直線確定一個(gè)平面，又由公理1 可知，與兩條平行直線相交的第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時(shí)，這三條直線是共面的關(guān)系.【例 2】空間四邊形ABCD 中， E、 F、 G、 H 分別是 AB、 BC、 CD 、 DA 上的點(diǎn)，已知EF 和GH交于 P點(diǎn)，求證： EF 、 GH、 AC三線共點(diǎn) . （同

22、 P58B組 3題）解： P EF，EF面 ABC， P面 ABC.同理 P 面 ADC. P 在面 ABC 與面 ADC 的交線上，又 面 ABC 面 ADC =AC， PAC，即 EF 、 HG、 AC 三線共點(diǎn) .C【例 3】求證：兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線AB, BC , CA 兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,B,C ，B A求證：直線AB,BC,CA共面 .證明 ：因?yàn)?A， B，C 三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B ，C 三點(diǎn)可以確定平面 因?yàn)?A ， B ，所以 AB 同理 BC ， AC .所以 AB，BC ， CA 三直線共面點(diǎn)評(píng) ：先依據(jù)公理 2,由

23、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再依據(jù)公理1, 證三條直線在平面內(nèi). 注意文字語言給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，然后給出符號(hào)語言表述的已知與求證.常根據(jù)三條公理，進(jìn)行“共面”問題的證明 .【例 4】在正方體ABCDA1B1C1 D1 中，（ 1） AA1 與 CC1 是否在同一平面內(nèi)？（2）點(diǎn) B, C1 , D 是否在同一平面內(nèi)？（ 3）畫出平面 AC1 與平面 BC1 D 的交線，平面ACD1 與平面 BDC1的交線 .解：（ 1）在正方體ABCDA1B1C1D1 中， AA1 / CC1 ，由公理 2 的推論可知，AA1 與 CC1 可確定平面 AC1 ， AA1 與 CC1 在同一平面內(nèi)

24、 .（ 2）點(diǎn) B,C1, D 不共線，由公理 3可知，點(diǎn) B,C1, D 可確定平面 BC1D ， 點(diǎn) B,C1, D 在同一平面內(nèi) .（ 3） ACBDO ， D1C DC1E，點(diǎn)O平面 AC1 ， O 平面 BCD1 ，又 C1平面 AC1， C1同理平面ACD1平面平面 BDC1BC1D ， 平面OE AC1平面BC1DOC1，點(diǎn)評(píng) ：確定平面的依據(jù)有公理2（不在同一條直線上的三點(diǎn)）和一些推論（兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點(diǎn)）. 對(duì)幾條公理的作用，我們必須十分熟練.第 9 講§ 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，

25、理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.¤知識(shí)要點(diǎn)：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；1.空間兩條直線的位置關(guān)系：共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).2.已知兩條異面直線a,b ，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O 作直線 a / a, b / b ，把 a , b所成的銳角（或直角）叫異面直線 a,b 所成的角（或夾角）. a , b 所成的角的大小與點(diǎn)O 的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O 通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為(0,90 ，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直

26、，記作 ab . 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)平移定角計(jì)算.¤例題精講 ：【例 1】已知異面直線a 和 b 所成的角為50°， P 為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P 且與a、 b 所成角都是 30°的直線有且僅有（） .A.1 條B.2條C.3條D.4條解：過 P 作 a a， b b，若 P a，則取 a 為 a ，若 P b，則取 b 為 b 這時(shí)a ， b 相交于 P 點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50°和 130° .記 a ， b 所確定的平面為 ，那么在平面 內(nèi)，不存在與a ， b 都成 30°的直線過點(diǎn) P與， 都成

27、 30°角的直線必在平面 外，這直線在平面 的射影是， 所成對(duì)頂角的平分線其abl 和 la b中射影是 50 °對(duì)頂角平分線的直線有兩條，射影是 130°對(duì)頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例 2】如圖正方體ABCDA1 B1C1D1 中，E、F 分別為 D 1C1 和 B1C1 的中點(diǎn)， P 、Q 分別為 AC 與 BD 、A1C1與 EF 的交點(diǎn) . （ 1）求證： D 、 B、 F、 E 四點(diǎn)共面；（ 2）若 A1C 與面 DBFE 交于點(diǎn) R，求證： P、 Q、 R 三點(diǎn)共線 .D1EC1證明 ：（ 1） 正方體 ABCDA1 B1 C1 D1 中，

28、BB1/ DD1 ， BD / B1D1 .QF又 B D C 中， E、F 為中點(diǎn)，A1B111 1 EF/1 EF/BD,即 D、B、F、E 四點(diǎn)共面 .DCB1 D1.2AP（ 2）Q平面 AC1， Q平面BE ，P平面 AC1， P平面BE，B 平面 AC1平面 BEPQ.又AC1平面 BER ， R平面AC1， R平面BE， R PQ.即 P、 Q、 R 三點(diǎn)共線【例 3】已知直線 a/b/c，直線 d 與 a、 b、 c 分別相交于 A、 B、 C，求證： a、 b、 c、 d 四線共面 .證明 ：因?yàn)?a/b，由公理 2 的推論，存在平面，使得 a,b.c又因?yàn)橹本€ d 與 a、

29、 b、 c 分別相交于 A、 B 、 C，由公理 1， d.Cc'假設(shè) c，則 cC, 在平面內(nèi)過點(diǎn) C 作 c / b ，AbB因?yàn)?b/c，則 c / c，此與 ccC 矛盾 . 故直線 c.da綜上述， a、 b、 c、 d 四線共面 .點(diǎn)評(píng) ：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2 及其三條推論， 尋找題中能確定平面的已知條件.此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路 .【例 4】如圖中，正方體ABCD A1 1 11，E、F 分別是 AD 、AA1的中點(diǎn) .B C D（ 1）求直線 AB 1 和 CC

30、1 所成的角的大??；（ 2）求直線 AB 1 和 EF 所成的角的大小 .解：（ 1）如圖，連結(jié) DC 1 ， DC 1 AB1，苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳DC 1 和 CC 1 所成的銳角CC1D 就是 AB 1 和 CC1 所成的角 . CC1D=45°， AB1 和 CC1 所成的角是45° .（ 2）如圖，連結(jié)DA1、 A1C1， EF A1D ， AB1 DC 1， A1DC1 是直線 AB1 和 EF 所成的角 .A1DC 1 是等邊三角形， A1DC 1=60 o，即直線AB1 和 EF 所成的角是60o.點(diǎn)評(píng) ：求解異面直線所成角時(shí)，需緊扣概念

31、，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運(yùn)用化歸思想將難化易. 解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路.第 10 講§ 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 直線與平面的位置關(guān)系： （ 1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（ 2）直線與平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（ 3）直線與平面平行（沒有公共點(diǎn)）. 分別記作：l； lP ； l /.

32、2. 兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有一條公共直線）.分別記作/；l .¤例題精講：【例 1】已知空間邊邊形ABCD 各邊長與對(duì)角線都相等，求異面直線AB 和 CD 所成的角的大小 .解：分別取AC 、 AD 、 BC 的中點(diǎn)P、 M、 N 連接 PM 、 PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PN AB ， PM CD ，于是 MPN 就是異面直線AB 和 CD 成的角（如圖所示）.連結(jié) MN 、 DN ，設(shè) AB=2， PM =PN=1.而 AN=DN=3 ，由 MN AD，AM=1，得 MN =2 ， MN 2=MP2+NP2， MPN =90° .異面直線 AB

33、、 CD 成 90°角 .【例 2】在空間四邊形ABCD 中， E、 H 分別是 AB、 AD 的中點(diǎn)， F 、 G 分別是 CB 、 CD 的中點(diǎn)，若 AC + BD = a ， AC BD =b，求 EG 2FH 2.解：四邊形 EFGH 是平行四邊形，EG2FH2=2 (EF 2FG2)= 1(AC 2BD 2)1(a 22b).22【例 3】已知空間四邊形ABCD 中， E、H 分別是 AB、AD 的中點(diǎn)， F、G分別是 BC 、CD 上的點(diǎn)，且 CFCG2.CBCD3求證：（ 1） E、F、G、H 四點(diǎn)共面；（ 2）三條直線EF 、GH 、AC 交于一點(diǎn) .證明 ：（ 1）

34、 在 ABD 和 CBD 中，E、H 分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)， EH/1 BD.2又 CFCG2， FG/ 2BD .CBCD33EH FG. 所以， E、F、G、H 四點(diǎn)共面 .AEHBDFGCAE H DGBFC第 11 講§ 直線與平面平行的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行線面平行” .¤知識(shí)要點(diǎn)： 1. 定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.2. 判定定理： 平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該

35、直線與此平面平行.符號(hào)表示為：a, b, a / ba /. 圖形如右圖所示.¤例題精講：【例 1】已知P 是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，E、 F 分別為AB、PD 的中點(diǎn)，求證：AF 平面 PEC證明 ：設(shè) PC 的中點(diǎn)為G，連接 EG 、 FG .F 為 PD 中點(diǎn)，GFCD 且 GF=1 CD.2 AB CD ， AB=CD ， E 為 AB 中點(diǎn)，GF AE，GF= AE，四邊形 AEGF 為平行四邊形. EG AF ，又AF平面 PEC， EG平面 PEC， AF 平面 PEC.【例 2】在正方體 ABCD -A1B1C1D1 中， E、F 分別為棱 BC、C1D 1 的中點(diǎn) . 求證：EF 平面 BB1D1 D.證明：連接 AC 交 BD 于 O，連接 OE，則 OEDC， OE= 1 DC .DC D 1C1， DC = D1C12， F 為 D1C1 的中點(diǎn)，OE D1F， OE=D 1F，四邊形 D 1FEO 為平行四邊形 . EF D