第6章-正弦穩(wěn)態(tài)電路

1、第五章回顧：第五章回顧： 1 1 電容、電感電容、電感 2 2 換路定則換路定則 電容電壓不突變，電感電流不突變電容電壓不突變，電感電流不突變 3 3 一階電路的暫態(tài)過(guò)程一階電路的暫態(tài)過(guò)程 零輸入、零響應(yīng)、全響應(yīng)零輸入、零響應(yīng)、全響應(yīng) 三要素法（初始值、穩(wěn)態(tài)值、時(shí)間常數(shù)）三要素法（初始值、穩(wěn)態(tài)值、時(shí)間常數(shù)）dd ( )( )ddqu ti tCtttdtdiLtddtu )( )( 6.1 正弦量的概念正弦量的概念 6.3 電阻、電容、電感電壓電流關(guān)系的相量形式電阻、電容、電感電壓電流關(guān)系的相量形式 6.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式 6.6

2、 相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 6.5 相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 6.7 功率功率 6.8 功率因素的提高功率因素的提高 6.9 諧振諧振 6.1 6.1 t ii tIi sinmI Im m 2 Tit OfT22Tf1t O有效值：有效值：與交流與交流熱效應(yīng)熱效應(yīng)相等的直流定義為交流相等的直流定義為交流電的有效值電的有效值( (方均根）。方均根）。幅值（最大值）：幅值（最大值）：Im、Um則有則有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 初相位與相位差：初相位與相位差：t 相位：相位： 初

3、相位：初相位：it )sin(mtIiO0()|tt :。)sin(1mtUu如：如：)()(21 tt21 若若021 uiu i tOm2sin()iIt 9021 90021 02118021uitui90OuituiOtuiuiOuitui O 不同頻率的正弦量比較無(wú)意義。不同頻率的正弦量比較無(wú)意義。 兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)， 與計(jì)時(shí)的選擇起點(diǎn)無(wú)關(guān)。與計(jì)時(shí)的選擇起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 ti2i1iO瞬時(shí)值表達(dá)式瞬時(shí)值表達(dá)式mI sinit相量相量必須必須小寫小寫波形圖波形圖it 1. 1.正弦量的正弦量的3 3種表示方法：種表示方法：重點(diǎn)重點(diǎn)？什么是

4、相量？為什么引入相量？什么是相量？為什么引入相量？例題例題LCRusuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：VuVtuCS0)0()30sin(2100 求：求： i=?解解: 根據(jù)根據(jù)KVLCLRSuuuu iRuR dtdiLuL 01)0(idtCuuCC 01idtCdtdiLRiuS運(yùn)算復(fù)雜運(yùn)算復(fù)雜相量法能大大簡(jiǎn)化計(jì)算相量法能大大簡(jiǎn)化計(jì)算2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)2.1 2.1 復(fù)數(shù)表示形式復(fù)數(shù)表示形式ReF ImF 在電路中用在電路中用j來(lái)代替來(lái)代替iF = a + jb1 jFFab+1j在復(fù)平面上用相量表示在復(fù)平面上用相量表示F = a + ib1 i 代數(shù)形式代數(shù)形式 三角函數(shù)形

5、式三角函數(shù)形式)sinj(cosFsinFjcosFF 22baF Facos abarctan)Farg( Fbsin 指數(shù)形式指數(shù)形式 sinjcosej 2 jjeecos 2 jjeesin 歐歐拉拉公公式式)sinj(cosFF jeFF 極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式 FFF = a + jb)sinj(cosFF jeFF FF四四種種形形式式j(luò)2.2 2.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算：復(fù)數(shù)的運(yùn)算：（1 1）加法運(yùn)算：）加法運(yùn)算：+1jF1F2F1F2F2F1F211111 FjbaF22222 FjbaF)bb( j)aa(FF212121 （2 2）減法運(yùn)算：）減法運(yùn)算：)bb( j)aa(FF21

6、2121 （3 3）乘法運(yùn)算：）乘法運(yùn)算：)(FFFF212121 +1jF1F221FF （4 4）除法運(yùn)算：）除法運(yùn)算：)(FFFF212121 21FF作圖方法：首尾相連作圖方法：首尾相連 平行四邊形平行四邊形旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子： 1je任何一個(gè)復(fù)數(shù)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)因子，就旋轉(zhuǎn)一個(gè)任何一個(gè)復(fù)數(shù)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)因子，就旋轉(zhuǎn)一個(gè) 角角例例 F=F1e j +1jF1 F特殊：特殊： 2jej2jej +j , j , - -1 都可以看成都可以看成旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子1)sin()cos()( jej逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o利用數(shù)學(xué)上的歐拉公式利用數(shù)學(xué)上的歐拉公式: : si

7、ncosjej 式中式中: :1 j令令: :it 則則: )(itjIe 2 )(mI)sin(itjiIetIi 22 tjtjjeIeIei 22mmII 其中其中: :ijiIIeI 3. 3. 正弦量與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系正弦量與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系)sin()cos(iitIjtI 22加一個(gè)小圓點(diǎn)是用來(lái)和普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別加一個(gè)小圓點(diǎn)是用來(lái)和普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別( (強(qiáng)調(diào)它與正弦強(qiáng)調(diào)它與正弦量的聯(lián)系量的聯(lián)系) )，故給它一個(gè)專門的名字，故給它一個(gè)專門的名字“相量相量”。同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 相量圖相量圖( (相量和復(fù)數(shù)一樣可以在平面上用向量表

8、示相量和復(fù)數(shù)一樣可以在平面上用向量表示) )：注意：注意：不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上 )sin(2)( iiIItIti ) sin(2)(UUtUtu U I稱稱 為正弦量為正弦量i(t)對(duì)應(yīng)的相量。對(duì)應(yīng)的相量。 iII ) sin(2)( IItIti ) sin(2)(UUtUtu 概念概念 ：一個(gè)正弦量的瞬時(shí)值可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有向線：一個(gè)正弦量的瞬時(shí)值可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有向線段在縱軸上的投影值來(lái)表示。段在縱軸上的投影值來(lái)表示。矢量長(zhǎng)度矢量長(zhǎng)度 = = mU矢量與橫軸夾角矢量與橫軸夾角 = = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

9、按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) tUum sinmUt 相量的幾何意義相量的幾何意義旋轉(zhuǎn)相量在縱軸上的投影就是正弦函數(shù)旋轉(zhuǎn)相量在縱軸上的投影就是正弦函數(shù)小結(jié)：正弦量的四種表示法小結(jié)：正弦量的四種表示法波形圖波形圖 TmIt i瞬時(shí)值瞬時(shí)值 tUum sin相量圖相量圖UI復(fù)數(shù)表復(fù)數(shù)表示法示法 UeUbaUjj符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明瞬時(shí)值瞬時(shí)值 - - 小寫小寫u、i有效值有效值 - - 大寫大寫U、I復(fù)數(shù)、相量復(fù)數(shù)、相量 - - 大寫大寫+ +“.”“.”U最大值最大值 - - 大寫大寫+ +下標(biāo)下標(biāo)mUV452220 U？正誤判斷正誤判斷)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t

10、？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 2.已知：已知：A6010 IV15100 U1U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？解解: :V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U例例2: 2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：

11、A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( ( )2 sin()i tIt( )( )2sin()RutRi tRItuR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式：有效值關(guān)系有效值關(guān)系：UR = RI相位關(guān)系：相位關(guān)系：u、i同相同相 II RIIRUR 1. 1.電阻元件電阻元件iRu 根據(jù)歐姆定律根據(jù)歐姆定律: : i tOuRRUI u= i相量模型相量模型R+- -RUI相量關(guān)系相量關(guān)系IRUR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖：有效值關(guān)系：有效值關(guān)系： U= L I相位關(guān)系：相位關(guān)系：u 超前超前 i 90I

12、LU jo0 IItIti sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otILtILttiLtu 2.2.電感元件電感元件頻域頻域時(shí)域時(shí)域j L相量模型相量模型+- -UIUI相量圖相量圖i(t)u (t)L+- -時(shí)域模型時(shí)域模型 tu, iu i0波形圖波形圖感抗的物理意義：感抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力表示限制電流的能力 XLXL= U/I = L= 2 f L 單位單位: :歐姆歐姆感抗：感抗：; , ,; ,0 ),(0開開路路短短路路直直流流 LLXX U= L I(3)(3)由于由于感抗的存在使電流落后電壓感抗的存在使電流落后電壓iuL IUL 錯(cuò)誤的寫

13、法錯(cuò)誤的寫法(2) (2) 感抗和頻率成正比感抗和頻率成正比ILU j頻域頻域有效值關(guān)系：有效值關(guān)系： I= C U相位關(guān)系：相位關(guān)系：i 超前超前u 90UCI jo0UU時(shí)域時(shí)域tUtu sin2)()90sin(2cos2d)(d)(otCUtCUttuCti 3.3.電容元件電容元件時(shí)域模型時(shí)域模型i (t)u(t)C+- -相量模型相量模型IU+- -Cj 1UI相量圖相量圖 tu, iu i0波形圖波形圖容抗的物理意義：容抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力表示限制電流的能力(2) (2) 容抗的絕對(duì)值和頻率成反比容抗的絕對(duì)值和頻率成反比容抗容抗; , 0 ,; , )

14、,(0C旁旁路路作作用用隔隔直直作作用用直直流流 CXX I= CU(3)(3) 由于由于容抗的存在使電流領(lǐng)先電壓容抗的存在使電流領(lǐng)先電壓iuC 1IUC 1錯(cuò)誤的寫法錯(cuò)誤的寫法CIU 1XC 1定義定義C CXUCI j例例: :電路的相量模型電路的相量模型 時(shí)域列解微分方程時(shí)域列解微分方程求非齊次方程特解求非齊次方程特解頻域列解代數(shù)頻域列解代數(shù)( (復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)) )方程方程LCRuSiLiCiR+- -j L1/j CSULICIRIR+- - tiCRiutiCtiLiiiCRCLRCLd1d1ddSCRCLRCLICIRUICILjIII S j1j1時(shí)域電路時(shí)域電路頻域電路頻域電路dt

15、diLu 基本關(guān)系基本關(guān)系LjjXL 復(fù)阻抗復(fù)阻抗電感元件電感元件LUICjjXC 1 復(fù)阻抗復(fù)阻抗dtduCi 基本關(guān)系基本關(guān)系電容元件電容元件CUI電阻元件電阻元件R基本關(guān)系基本關(guān)系iRu 復(fù)阻抗復(fù)阻抗R小結(jié)小結(jié)UI作業(yè)6.1 6.6 在正弦交流電路中，若正弦量用相量在正弦交流電路中，若正弦量用相量 表示，表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗（電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗（ ) ) 表示，則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。表示，則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。 IU、CLjXCjXLRR 、 6.4 6.4 基本定律的相量形式基本定律的相量形式RIU()()LU I jXI j L11()

16、()()CUIjXIjICj C復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：電阻電路電阻電路 電感電路電感電路電容電路電容電路UIZR、L、C元件的阻抗和導(dǎo)納元件的阻抗和導(dǎo)納（1）R：1,RRZRYGR（2）L：11,LLZj LYjj LL （3）C：11,CCZjYj CCj C 阻抗阻抗 導(dǎo)納導(dǎo)納KVL、KCL的相量形式的相量形式 0 0)(0 0)(UtuIti電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較： GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或或元元件件約約束束關(guān)關(guān)系系電電阻阻電電路路 : 0 :KVL 0 :KCL : UYIIZUUI或或

17、元件約束關(guān)系元件約束關(guān)系正弦電路相量分析正弦電路相量分析可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法用到正電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法用到正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。6.5 6.5 相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路同直流電路相似：同直流電路相似：ZZ1Z2+ +- - - - U1 U2 U I IY+- - UY1Y21 I2 I , : , :IYYIYYUZZUZZkkkkkkkk并聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)6.5.1 阻抗串并聯(lián)阻抗串并聯(lián)UZZUZZZ1121 IY

18、YIYYY1121 12122112Z ZZZZZIIZZLCRuuLuCi+- -+- -+- -. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj16.5.2 6.5.2 阻抗阻抗(RLC(RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路) )由由KVLKVL：. ICj. ILj. IR. U. U. U. UCLR 1 . ICjLjR)( 1 . IXjR. IXXj(RCL)() 先畫出參先畫出參考相量考相量CUULUI CLXXjRIU 相量表達(dá)式：相量表達(dá)式：RUCLUU電壓電壓三角形三角形. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1RLC串聯(lián)電路會(huì)出現(xiàn)分電壓大于總電

19、壓的現(xiàn)象串聯(lián)電路會(huì)出現(xiàn)分電壓大于總電壓的現(xiàn)象實(shí)部為阻實(shí)部為阻虛部為抗虛部為抗容抗容抗感抗感抗CLXXjRIUCLXXjRZ令令則則ZIU 復(fù)數(shù)形式的復(fù)數(shù)形式的歐姆定律歐姆定律. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1Z：復(fù)數(shù)阻抗復(fù)數(shù)阻抗關(guān)于復(fù)數(shù)阻抗關(guān)于復(fù)數(shù)阻抗 Z Z 的討論的討論iuiuIUZIUIUZ ZIU 由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律可得：可得：結(jié)論：結(jié)論：的模為電路總電壓和總電流有效值之比，的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而而的幅角則為總電壓和總電流的相位差。的幅角則為總電壓和總電流的相位差。iu IUZ 1.1.Z Z 和總電流、總電壓的關(guān)系

20、和總電流、總電壓的關(guān)系2.2.Z Z 和電路性質(zhì)的關(guān)系和電路性質(zhì)的關(guān)系 CLXXjRZZ 一定時(shí)電一定時(shí)電路性質(zhì)由參路性質(zhì)由參數(shù)決定數(shù)決定 RXXtgCLiu1當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)， 表示表示u領(lǐng)先領(lǐng)先i電路呈感性電路呈感性CLXX 0CLXX 0當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 表示表示u、i同相同相 電路呈電阻性電路呈電阻性CLXX 0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)， 表示表示u落后落后i電路呈容性電路呈容性阻抗角阻抗角3.3.阻抗（阻抗（Z Z）三角形）三角形阻抗阻抗三角形三角形ZRCLXXXRXXtgXXRZCLCL122)(ZXXjRZCL)(4.4.阻抗三角形和電壓三角形的關(guān)系阻抗三角形和電壓三角形的關(guān)系電壓三電壓三角形角形阻抗

21、三阻抗三角形角形相相似似 CLCLRXXjRIUUUU CLXXjRZ ZRCLXXXCURUULUCLUUI 在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示, ,元元件參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則電路方程式的形式與直件參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則電路方程式的形式與直流電路相似。流電路相似。是一個(gè)復(fù)數(shù)，但并不是正弦交流是一個(gè)復(fù)數(shù)，但并不是正弦交流量，上面量，上面不能加點(diǎn)不能加點(diǎn)。Z Z在方程式中在方程式中只是一個(gè)運(yùn)算工具。只是一個(gè)運(yùn)算工具。注意：注意： CLXXjRZ ZIU RLCRULUCUIU例例. LCRuuLuCi+- -+- -+- -已知：已知：R=15 , L

22、=0.3mH, C=0.2 F,. Hz103 ),60sin(254 ftu 求求 i, uR , uL , uC .解解：相量模型為相量模型為. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 CjLjRZ 1 64102010321 .jC1j jjLj5561030103234. j526. jjo463543352655615. ZUI . Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1V U 605 Z C1j jLj556. j526. o4635433. V 49395343149090526C1jV 486428431490905

23、56jV 43235243149015ooo ooo oo . IUILUIRUCLR A4314904635433605ooo. 則則 A)4 .3(sin2149.0o tiUL=8.42U=5，分電壓大于總電壓，原分電壓大于總電壓，原因是因是uL， uC相位相差相位相差180，互相抵消，互相抵消的結(jié)果。的結(jié)果。相量圖相量圖UCULU I- -3.4RU. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1 I A431490o. V 493953V 486428V 432352o o o . CLRUUUCLUU )60sin(25 tu V )4 .93sin(295.3V

24、 )6 .86sin(242.8V )4 .3sin(2235.2ooo tututuCLR由由KCL： . . . . . . .1jRLCIIIIGUUj CULiLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj1R+- -RI. 6.5.3 6.5.3 導(dǎo)納導(dǎo)納(RLC(RLC并聯(lián)電路并聯(lián)電路) ). )j(. )j(. )j1j(UBGUBBGUCLGCL YBGUIUIUIYuiui |j. . 令令Y 復(fù)導(dǎo)納復(fù)導(dǎo)納；G電導(dǎo)電導(dǎo)( (導(dǎo)納的實(shí)部導(dǎo)納的實(shí)部) )；B電納電納( (導(dǎo)納的虛導(dǎo)納的虛部部) )； |Y|復(fù)導(dǎo)納的模復(fù)導(dǎo)納的模； 導(dǎo)納角導(dǎo)納角。關(guān)系：關(guān)系： arctg | | 22 GBBGYG=|Y|cos B=|Y|sin |Y|GB 導(dǎo)納三角形導(dǎo)納三角形|Y|=I/U = i- - uY=G+j( C- -1/ L)=|Y| C 1/ L ，B0， 0，電路為容性，電路為容性，i超前超前u； C1/ L，