高斯消元法完整致遠(yuǎn)書(shū)屋

1、高斯消元法解線(xiàn)性方程組 在工程技術(shù)和工程管理中有許多問(wèn)題經(jīng)?？梢詺w結(jié)為線(xiàn)性方程組類(lèi)型的數(shù)學(xué)模型，這些模型中方程和未知量個(gè)數(shù)常常有多個(gè)，而且方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)也不一定相同。那么這樣的線(xiàn)性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的結(jié)構(gòu)如何呢？這就是下面要討論的問(wèn)題。 一、線(xiàn)性方程組 設(shè)含有n個(gè)未知量、有m個(gè)方程式組成的方程組 （3.1）其中系數(shù)，常數(shù)都是已知數(shù)，是未知量（也稱(chēng)為未知數(shù)）。當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng), , , 不全為0時(shí)，稱(chēng)方程組（3.1）為非齊次線(xiàn)性方程組；當(dāng)= = 0時(shí)，即 （3.2）稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。 由n個(gè)數(shù), , , 組成的一個(gè)有序數(shù)組（, , , ），如果將它們依次代

2、入方程組（3.1）中的, , , 后，（3.1）中的每個(gè)方程都變成恒等式，則稱(chēng)這個(gè)有序數(shù)組（, , , ）為方程組（3.1）的一個(gè)解。顯然由=0, =0, , =0組成的有序數(shù)組（0, 0, , 0）是齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的一個(gè)解，稱(chēng)之為齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的零解，而當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組的未知量取值不全為零時(shí)，稱(chēng)之為非零解。 （利用矩陣來(lái)討論線(xiàn)性方程組的解的情況或求線(xiàn)性方程組的解是很方便的。因此，我們先給出線(xiàn)性方程組的矩陣表示形式。） 非齊次線(xiàn)性方程組（3.1）的矩陣表示形式為：ax = b其中a = ，x = ，b = 稱(chēng)a為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣，x為未知矩陣，b為常數(shù)矩陣。將系數(shù)

3、矩陣a和常數(shù)矩陣b放在一起構(gòu)成的矩陣=稱(chēng)為方程組（3.1）的增廣矩陣。 齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的矩陣表示形式為：ax = o 二、高斯消元法 （下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會(huì)不會(huì)改變方程組的解呢？我們先看一個(gè)定理。） 定理3.1 若用初等行變換將增廣矩陣化為，則ax = b與cx = d是同解方程組。 證 由定理3.1可知，存在初等矩陣, , , ，使 = 記 = p，則p可逆，即存在。 設(shè)為方程組a x = b的解，即 a = b 在上式兩邊左乘p，得 p a = pb 即 c= d 說(shuō)明也是方程組c x = d的解。反之，設(shè)為方程組c x = d的解，即 c= d

4、 在上式兩邊左乘，得 c= d 即 a = b 說(shuō)明也是方程組ax = b的解。 因此，方程組a x = b與c x = d的解相同，即它們是同解方程組。（證畢） (由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣化簡(jiǎn)。又有第二章定理2.10可知，通過(guò)初等行變換可以將化成階梯形矩陣。因此，我們得到了求解線(xiàn)性方程組（3.1）的一般方法：) 用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫(xiě)出該階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法被稱(chēng)為高斯消元法，（下面舉例說(shuō)明用消元法求一般線(xiàn)性方

5、程組解的方法和步驟。） 例1 解線(xiàn)性方程組 （3.3） 解 先寫(xiě)出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線(xiàn)性方程組是同解方程組，最后一個(gè)增廣矩陣表示的線(xiàn)性方程組為將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代入第二個(gè)方程，解得再將代入第一個(gè)方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為 （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未知量稱(chēng)為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱(chēng)為方程組（3.3）的一般解

6、，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如=1），得到方程組（3.3）的一個(gè)解（如，），稱(chēng)之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 = （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱(chēng)表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)

7、一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）對(duì)例1中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)， 上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為將此方程組中含的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解， （3.4）其中可以任意取值。 例2 解線(xiàn)性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 一般解為 例3 解線(xiàn)性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 階梯形矩陣的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程為：，由該方程可知，無(wú)論，取何值，都不能滿(mǎn)足這個(gè)方程。因此，原方程組無(wú)解。 三、線(xiàn)性方程組的解的判定 前面介紹

8、了用高斯消元法解線(xiàn)性方程組的方法，通過(guò)例題可知，線(xiàn)性方程組的解的情況有三種：無(wú)窮多解、唯一解和無(wú)解。從求解過(guò)程可以看出，方程組（3.1）是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣a b化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣a化成階梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線(xiàn)性方程組是否有解，就可以用其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)描述了。 定理3.9 線(xiàn)性方程組（3.1）有解的充分必要是 =。 證 設(shè)系數(shù)矩陣a的秩為r，即= r。利用初等行變換將增廣矩陣a b化成階梯陣： a b = c d 故ax = b與cx = d是同解方程組，因此 ax = b有解= 0 = r 即= r。 （證畢） 推論1 線(xiàn)性方程組有唯一解的充分必

9、要條件是= 。 推論2 線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是 。 （將上述結(jié)論應(yīng)用到齊次線(xiàn)性方程組（3.2）上，則總有。因此齊次線(xiàn)性方程組一定有解。并且有） 例4 判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解？ (1) (2) (3) 解 (1) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即a b = 因?yàn)?= 4，=3，兩者不等，所以方程組無(wú)解。 (2) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即a b = 因?yàn)?=2n（= 3），所以方程組有無(wú)窮多解。 (3) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即a b = 因?yàn)?= 3 = n，所以方程組有唯一解。 例5 判別下列齊次方程組是否有非零解

10、？ （機(jī)動(dòng)） 解 用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即a =因?yàn)?= 4 = n，所以齊次方程組只有零解。向量組的相關(guān)性 在實(shí)際問(wèn)題有許多研究的對(duì)象要用n元有序數(shù)組來(lái)表示。如總結(jié)某五年計(jì)劃各年某產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)資料，某工程一年12個(gè)月份的用料情況等，就分別要用到5元和12元有序數(shù)組。 一、n維向量的定義 定義3.2 把有順序的n個(gè)數(shù)稱(chēng)為一個(gè)n維向量，記作 其中稱(chēng)為n維向量的第i個(gè)分量。 例如，矩陣 a =中每一列都可以看作三維向量：，稱(chēng)為矩陣a的列向量。a中的每一行都可以看作四維向量：，稱(chēng)為矩陣a的行向量。 規(guī)定：n維向量相等、相加、數(shù)乘與列矩陣對(duì)應(yīng)相等。 二、n維向量組的線(xiàn)性相關(guān)性如果把方

11、程組 （3.6）用向量相等、向量運(yùn)算關(guān)系來(lái)表示：+=那么方程組求解問(wèn)題就變成了求一組使上式列向量存在某種的數(shù)了。下面給出向量之間這種關(guān)系的定義。 定義3.3 對(duì)于向量, ，如果有一組數(shù)，使得=則稱(chēng)是的線(xiàn)性組合，或稱(chēng)由線(xiàn)性表出，且稱(chēng)這組數(shù)為組合系數(shù)。 例1 二維向量組，稱(chēng)為二維單位向量組。任意一個(gè)二維向量都可以由線(xiàn)性表出： 。 例2 向量不是向量和的線(xiàn)性組合，因?yàn)閷?duì)于任意一組數(shù)，+= 例3 向量組中的任一向量都能由這個(gè)向量組線(xiàn)性表出：= 如果用列向量分別把方程組（3.6）的系數(shù)矩陣第j列和常數(shù)列表示為，那么方程組（3.6）可以用向量形式表示為若方程組（3.6）有解，則有即向量可以由向量組線(xiàn)性表出

12、。反之，若存在數(shù)使得上式成立，則就是方程組（3.6）的一組解。 命題1 向量可以由向量組線(xiàn)性表出的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)列向量的線(xiàn)性方程組有解，并且此線(xiàn)性方程組的一組解就是線(xiàn)性組合的一組系數(shù)。 例4 設(shè) ，判斷向量能否由向量組線(xiàn)性表出，若能夠，寫(xiě)出它的一種表達(dá)式。 解 設(shè)，由此可得 因?yàn)?方程組的解為 。 所以 。 定義3.3 對(duì)于向量組，若存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得 （3.7）則稱(chēng)向量組線(xiàn)性相關(guān)；否則稱(chēng)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 例5 式證單位向量組，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。 證 設(shè) 。即+=由上式得唯一解。所以，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 可以證明，n維單位向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。 n維單位向量組 ， ， 如果

13、把定義3.3中的（3.7）式看作以為系數(shù)列向量，以為未知量的齊次線(xiàn)性方程組，那么 定理3.2 對(duì)于向量組，若齊次線(xiàn)性方程組 （3.8）有非零解，則向量組線(xiàn)性相關(guān)；若齊次線(xiàn)性方程組（3.8）只有零解，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 定理3.3 關(guān)于向量組，設(shè)矩陣若，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；若，則向量組線(xiàn)性相關(guān)。 推論 任意n+1個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān)。 例6 判斷下列向量組的相關(guān)性： (1) ，； (2) ，； (3) ，。 解 (1) 因?yàn)閍 =，所以向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 (2) 因?yàn)閎 = ，所以向量組線(xiàn)性相關(guān)。 (3) 由推論知道，四個(gè)三維向量一定是線(xiàn)性相關(guān)的。 上面介紹了利用定理3.3來(lái)判斷向量組的相關(guān)性，下

14、面再介紹一個(gè)揭示同組向量之間具有某種相關(guān)性的特點(diǎn)。 定理3.4 向量組，線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是：其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線(xiàn)性表出。 （證明請(qǐng)參閱教材） 推論 向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：其中每一個(gè)向量都不能由其余向量線(xiàn)性表出。 例7 試證：若向量組的一個(gè)部分向量組線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線(xiàn)性相關(guān)。 證 不妨設(shè)向量組中的部分向量組線(xiàn)性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得從而有其中不全為零，所以向量組線(xiàn)性相關(guān)。 可以證明：若一個(gè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它的任意一個(gè)部分向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān) 例8 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組，線(xiàn)性相關(guān)，證明一定可以由線(xiàn)性表出。 證 因?yàn)橄蛄拷M，線(xiàn)性相關(guān)，即存在不全為零的

15、數(shù)和，使得若，則上式為 ，且不全為零，得線(xiàn)性相關(guān)，與條件矛盾。因此，且即可以由線(xiàn)性表出。 三、向量組的秩 （下面簡(jiǎn)單地介紹向量組的秩的概念及計(jì)算方法，首先向量組的極大無(wú)關(guān)組的定義） 定義3.4 若向量組s中的部分向量組滿(mǎn)足： (1) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (2) s中的每一個(gè)向量都是中向量的線(xiàn)性組合，則稱(chēng)部分向量組為向量組s的極大無(wú)關(guān)組。 可以證明：對(duì)于一個(gè)向量組，其所有極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)都相同。因此向量組的秩定義如下： 定義3.5 對(duì)于向量組s，其極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組s的秩。 利用定義求向量組的秩是比較困難的。但是，我們可以利用矩陣與列向量組之間的關(guān)系，把求向量組的秩的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣

16、的秩序。這是因?yàn)?定理3.7 矩陣a的秩=矩陣a列向量組的秩=矩陣a行向量組的秩。 例9 設(shè)向量組，求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 解 作矩陣a=，用初等行變換求a的秩，即a= 所以=3，且為其中的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組。線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 前兩講介紹了方程組的有關(guān)概念，方程組的解的幾種情況及判定，向量組的相關(guān)性。這一講主要介紹方程組解的結(jié)構(gòu)。 一、齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 齊次線(xiàn)性方程組的矩陣形式為：ax = o （3.2）解的情況可以歸納為： 1齊次線(xiàn)性方程組只有零解的充分必要條件是= 。 2齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是 。 注意：當(dāng)a為n階方陣時(shí)也可利用矩陣行列式判斷。 3當(dāng)= r時(shí)

17、，方程組ax = o有n-r個(gè)自由未知量。 齊次線(xiàn)性方程組ax = o解的性質(zhì)： 性質(zhì)1 若和為齊次線(xiàn)性方程組ax = o的解，則+亦為ax = o的解。 證 因?yàn)楹蜑榉匠探Max = o的兩個(gè)解，故有a= o， a= oa（+）= a+ a= o所以，+亦為ax = o的解。 性質(zhì)2 若為齊次線(xiàn)性方程組ax = o的解，則k亦為ax = o的解，其中k為任意常數(shù)。 證 因?yàn)闉榉匠探Max = o的解，故有a（k）= k（a）= o 所以，k亦為ax = o的解。 由性質(zhì)1，2可知，若，為方程組ax = o的解，則+ +亦為ax = o的解，其中為任意常數(shù)。 若，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且方程組ax = o的任

18、何一個(gè)解x都可以被，線(xiàn)性表出，則ax = o的全部解就是+ +其中為任意常數(shù)。 定義3.6 齊次線(xiàn)性方程組ax = o滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的一組解向量，稱(chēng)為ax = o的基礎(chǔ)解系。 (1) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (2) 方程組ax = o的任何一個(gè)解都可以用它們線(xiàn)性表出。 （由定義3.6可知）方程組ax = o的基礎(chǔ)解系就是其全部解向量的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 當(dāng)= n時(shí)，方程組ax = o只有零解，故不存在基礎(chǔ)解系；而當(dāng)= r(<n)時(shí)，方程組ax = o有非零解，故存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)是n-r。由此可得如下結(jié)論： 4當(dāng)= r<n時(shí)，方程組ax = o一定有基礎(chǔ)解系，且每個(gè)基礎(chǔ)

19、解系中含有n-r個(gè)解向量。若，為基礎(chǔ)解系，則ax = o的全部解為+ + （3.9）其中為任意常數(shù)。 （3.9）式稱(chēng)為ax = o的通解。 如何求方程組ax = o的基礎(chǔ)解系呢？ (1) 把齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)寫(xiě)成矩陣a； (2) 用初等行變換把a(bǔ)化為階梯陣； (3) 把階梯陣中非主元列所對(duì)應(yīng)的變量作為自由未知量 (4) 分別令自由未知量中一個(gè)為1其余全部為0的辦法，求出n-r個(gè)解向量，這n-r個(gè)解向量構(gòu)成了基礎(chǔ)解系。 例1 設(shè)齊次線(xiàn)性方程組求其基礎(chǔ)解系和通解。 解 先寫(xiě)出系數(shù)矩陣a，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即a = 再進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得由此可知為自由未知量。 令，得解向量； 令，得

20、解向量；于是，為方程組的基礎(chǔ)解系。通解為+其中為任意常數(shù)。 二、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線(xiàn)性方程組的矩陣表示形式為：ax = b 非齊次線(xiàn)性方程組ax = b的解的情況可以歸納為： 1方程組ax = b有解的充分必要條件是=。 2若= 時(shí)，方程組ax = b有唯一解。 3若= r時(shí)，方程組ax = b有無(wú)窮多解，且有n-r個(gè)自由未知量。 在非齊次線(xiàn)性方程組ax = b中，令b = o，得到相應(yīng)的齊次方程組ax = o。 方程組ax = b與相應(yīng)的ax = o之間有密切的關(guān)系，滿(mǎn)足如下性質(zhì)： 性質(zhì)3 若和為非齊次線(xiàn)性方程組ax = b的解，則-必為ax = o的解。 證 因?yàn)楹蜑榉匠探Ma

21、x = b的兩個(gè)解，故有a= b， a= ba（-）= a- a= b-b = o所以，-為ax = o的解。 性質(zhì)4 若為非齊次線(xiàn)性方程組ax = b的解，為相應(yīng)的方程組ax = o的解，則+必為ax = b的解。 證 因?yàn)闉榉匠探Max = b的解，為方程組ax = o的解，故有a= b， a= o a（+）= a +a=b+ o= b所以，+為ax = b的解。 例1 解線(xiàn)性方程組 （3.3） 解 先寫(xiě)出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線(xiàn)性方程組是同解方程組，最后一個(gè)增廣矩陣表示的線(xiàn)性方程組為將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代

22、入第二個(gè)方程，解得再將代入第一個(gè)方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為 （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未知量稱(chēng)為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱(chēng)為方程組（3.3）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如=1），得到方程組（3.3）的一個(gè)解（如，），稱(chēng)之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 = （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱(chēng)表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解