三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)

1、一、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn) 結(jié)論：（1）ABD AEC （2）+BOC=180° （3）OA平分BOC變形： 例1.如圖在直線的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2)(3) 與之間的夾角為(4)(5)(6) 平分(7)變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）（2）（3） 與之間的夾角為（4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2）(3） 與之間的夾角為(4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分例2：如圖，兩個(gè)正方形與,連結(jié),二者相交于點(diǎn)問：（1）是否成立？（2） 是否與相

2、等？（3） 與之間的夾角為多少度？（4） 是否平分？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形與，連結(jié),二者相交于點(diǎn)問：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例4：兩個(gè)等腰三角形與，其中,連結(jié)與，問：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？二、倍長與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長中線類考點(diǎn)說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。【例1】 已知：中，是中線求證：【練1】在中，則邊上的中線的長的取值范圍是什么？【練2】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：

3、【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長交于，求證：【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于，求證：【練2】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線【練3】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例3】 已知為的中線，的平分線分別交于、交于求證：【練1】在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足若，則線段的長度為_【練2】在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且（1）若，以線段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果，求證【例4】 如圖所示，在中，延長到，使，為的中點(diǎn)，連接

4、、，求證【練1】已知中，為的延長線，且，為的邊上的中線求證：全等之截長補(bǔ)短：人教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方1. 如圖所示，中，AD平分交BC于D。求證：AB=AC+CD。如圖所示，在中，的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O。求證：AE+CD=AC。2. 如圖所示，已知，P為BN上一點(diǎn)，且于D，AB+BC=2BD，求證：。3. 如圖所示，在中，AB=AC，CE垂直于BD的延長線于E。求證：BD=2CE。5如圖所示，在中，AD為的平分線，=30，于E點(diǎn)，求證：AC-AB=2BE。6.如圖所

5、示，已知/CD，的平分線恰好交于AD上一點(diǎn)E，求證：BC=AB+CD。7.如圖，E是的平分線上一點(diǎn)，垂足為C、D。求證：（1）OC=OD； （2）DF=CF。7三、截長補(bǔ)短問題1：垂直平分線（性質(zhì)）定理是_問題2：角平分線（性質(zhì)）定理是_問題3：等腰三角形的兩個(gè)底角_，簡稱_；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也_，簡稱_問題4：當(dāng)見到線段的_考慮截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移_、轉(zhuǎn)移_，然后和_重新組合解決問題三角形全等之截長補(bǔ)短（一）一、單選題(共4道，每道25分)1.已知，如圖，BM平分ABC，P為BM上一點(diǎn)，PDBC于點(diǎn)D，BD=AB+CD求證：BAP+BCP=180°

6、;請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：；1=2；A=BEP；AP=PE；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 2.已知，如圖，BM平分ABC，點(diǎn)P為BM上一點(diǎn)，PDBC于點(diǎn)D，BD=AB+DC求證：BAP+BCP=180°請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長BA，過點(diǎn)P作PEBA于點(diǎn)E；延長BA到E，使AE=DC，連接PE；延長BA到E，使DC=AE；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 3.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，AD平分CDE，BAE=2CAD，求證：BC+DE=CD請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=

7、CB，連接AF；在DC上截取DF=DE，連接AF；在DC上截取DF=DE；AE=AF；AF=AE，4=3；4=3；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 4.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BAE=2CAD，ABC+AED=180°，求證：BC+DE=CD請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長DE到F，使EF=BC，連接AF；延長DE到F，使BC=EF；延長DE到F，連接AF；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 第11頁共19頁四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長補(bǔ)短專題問題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件)問題二：

8、旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？【例1】如圖，P是正ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到PBA ，則PBP的度數(shù)是( ) A45°B60° C90° D120° 【例2】如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于A，連接BD、CF，求證：BDCF并求出DOH的度數(shù)?！纠?】如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)ADFAE 。求證：BEDFAE。1題干中出現(xiàn)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)成的全等2圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形找到并利用3題干中沒提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形ABCD中，MAN45°，MAN的兩邊分別交CB、DC于點(diǎn)

9、M、N。求證：BMDNMN?！纠?】如圖，正方形ABCD中，EAF45°，連接對(duì)角線BD交AE于M，交AF于N，證明：DN2BM2MN2 【例6】如圖，已知OAB和OCD是等邊三角形，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，AC和BO交于點(diǎn)F，連結(jié)BC。求AEB的大小。 【例7】如圖所示：ABC中，ACB90°，ACBC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AP3，CP2， BP1，求BPC的度數(shù)。本課總結(jié)問題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件) 1圖中有相等的邊(等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形) 2這些相等的邊中存在共端點(diǎn)。3如果旋轉(zhuǎn)(將一條邊和另一條邊重合)，會(huì)

10、出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、被分割的特殊角。問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型：1大角夾半角2手拉手(尋找旋轉(zhuǎn)) 3被分割的特殊角測試題1如圖，P是正內(nèi)的一點(diǎn)，且BP是ABC的角平分線，若將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到，則的度數(shù)是( )A45°B60°C90°D120° 2如圖：ABC中，ABAC，BC為最大邊，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BDCE，F(xiàn)為BA延長線上一點(diǎn)，BFCD，則下列正確的是( )ADFDE BDCDFCECEAD不確定3如圖，四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADDC，則下列正確的是( )ABD2AB

11、2BC2 BBD2AB2BC2CBD2AB2BC2 D不確定4已知中，于，AE為角平分線交CD于F，則圖中的直角三角形有( )A7個(gè)B6個(gè)C5個(gè)D4個(gè)5如圖，DAAB，EAAC，ADAB，AEAC，則下列正確的是( )ABCD6如圖，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC與點(diǎn)E，PFCD與點(diǎn)F，若四邊形PECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BE、DF，則下列一定正確的是( )ABPDPBBE2EC2BC2CBPDFDBEDF7如圖，等腰直角ADB與等腰直角AEC共點(diǎn)于，連結(jié)、，則下列一定正確的是( )ABEDCBADCECBECEDBECE8如圖，等邊三角形與等邊三角形

12、共點(diǎn)于，連接、，則的度數(shù)為( ) A45°B60° C90° D120° 9如圖，在四邊形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且。則下列一定正確的是( )A BC D10在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，則BAEDCF為( )A45°B60° C90°D120°五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個(gè)三角形中的線段或角相等. 在證明線段或角相等時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等，最后得出結(jié)論下面介紹尋找全等三角形的幾種方法，供同學(xué)們參考一、利用公共

13、角例 1 如圖 1，AB AC, AE AF. 求證: B C.分析：要證明B C，只需證明BOECOF 或ABFACE. 而由圖形可知A 是公共角，又由已知條件 AB AC, AE AF,所以ABFACE，于是問題獲證二、利用對(duì)頂角（題目中的隱含條件）例 2 如圖 2，B、E、F、D 在同一直線上，AB CD，BE DF，AE CF，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O求證： AO CO分析：要證明 AO CO，只需證明AOECOF 或AOBCOD 即可根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證明而由已知條件 AB CD，BE DF, AE CF 可直接證明ABECDF，則 有AEBCFD，進(jìn)而有AEO CFO,再

14、 利 用 對(duì) 頂 角 相 等，即可 證 明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3，AB CD，AC BD求證：B C分析：設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) O，此時(shí)B 與C 分別在AOB和DOC 中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個(gè)三角形全等的，需添加輔助線來構(gòu)造另一對(duì)全等三角形此時(shí)可以連接 AD，那么 AD是ABD 和DCA 的公共邊，這樣可以證明ABDDCA四、利用相等線段中的公共部分例 4 如圖 4，E、F 是平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，AF CE. 求證：BEDF.分析：要證明 BEDF, 只需證明BEC DFA，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證明AEB CFD,

15、進(jìn)而證明AEBCFD.五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5，已知E 30°，AB AD，AC AE，BAEDAC求C 的度數(shù)分析：已知E 30°，要求C，可考慮證明ABCADE,由BAE DAC,結(jié)合圖形可知BAC DAE，于是問題獲解六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例 6 如圖 6，已知DCE 90°，DAC 90°，BEAC 于B, 且 DC EC, 能否找出與 AB+AD 相等的線段，并說明理由分析：由于 AC AB+BC，可以猜想 AC AB+AD，或 BE AB+AD，此時(shí)只需證明 AD BC 即可而事實(shí)上，用同角的余角

16、相等可得到DCA E，從而證明ADCBCE，問題獲證例7，如圖71，在正方形ABCD中，M,N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若BON=90°，求證：DNC CMB.變式：如圖72，在等邊ABC中，M,N分別是AC,AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若BON=60°，求證:ANCCMB七、利用角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）構(gòu)造全等三角形考點(diǎn)一：利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等例8，如圖8，點(diǎn)P是ABC的平分線BN上一點(diǎn)，PE垂直AB所在的直線與E,PF垂直BC所在的直線于F,PAB+PCB=180°。求證PA=PC.考點(diǎn)二：利用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形所謂截長法是指在較長得到線段上截取一條線段等于較短線段，而補(bǔ)短法是指延長較短的線段等于較長的線段，通過截長補(bǔ)短可把分散的條件相對(duì)集中，以便構(gòu)造全等三角形。例9，如圖9，在ABC中，C2B，12. 求證：AB=AC+CD. 分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB