現(xiàn)代控制理論第六章

1、6.1 6.1 狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2 6.2 極點配置極點配置6.3 6.3 應用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制應用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制6.4 6.4 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器6.1 6.1 狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì) x AxBuyCxDu：&uLvKx則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng)K的結(jié)構(gòu)如圖的結(jié)構(gòu)如圖 6.1.1 所示。所示。給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律在系統(tǒng)中引入反饋控制律K的狀態(tài)空間表達式為：的狀態(tài)空間表達式為：() ()KxABK xBLvyCDK xDLv：&圖圖 6.1.16.1.1() KxABK xBLvyCx&：狀

2、態(tài)反饋性質(zhì)狀態(tài)反饋性質(zhì)HLI(1) (1) 時，為單純的狀態(tài)變量反饋。若時，為單純的狀態(tài)變量反饋。若KHCKxHy，則，則，狀態(tài)反饋就等價于輸狀態(tài)反饋就等價于輸。出反饋出反饋 。0D 若若 ，則，則1()()G sKLC sIABKBL； ，利用矩陣運算直接可推出（見書）利用矩陣運算直接可推出（見書）11()( )()G sKLG s IK sIABL； ，K(2) D=0(2) D=0時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)陣的傳遞函數(shù)陣在圖在圖 6.1.1 6.1.1 中令中令0D 并改用圖并改用圖6.1.2 6.1.2 表示表示LBAKCyxuv+-Iab圖圖 6.1.26.

3、1.2 xAxBu&yIx%和輸出反饋和輸出反饋uvKy%所組成從到所組成從到 b b 的傳遞函數(shù)矩陣。的傳遞函數(shù)矩陣。( )abGs輸出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出，輸出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出，不難用不難用( 為單位矩陣為單位矩陣) )圖中圖中a a和和 b b 之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)111( )()()abGssIAB IK sIABvy( ;, )G s K L于是，從于是，從到到的傳遞函數(shù)矩陣的傳遞函數(shù)矩陣即為即為11111 ()()()( )()G s K LC sIAB IK sIABLG s IK sIABL； ，K證證 注意到系統(tǒng)注意到系

4、統(tǒng) 和和的能控性矩陣分別為的能控性矩陣分別為21 ncuB AB A BAB21 () ()()ncuBABK BABKBABKB由由 ()()ABK BABB KB，可知，可知 ()ABK B的列向量可以由的列向量可以由 ( )B AB的列向量的線性組合表示。的列向量的線性組合表示。 KK 定理定理 6.1.1 對于任何實常量矩陣對于任何實常量矩陣 ，系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充要條件是系統(tǒng)完全能控的充要條件是系統(tǒng)完全能控。完全能控。 2()ABKB的列向量可以由的列向量可以由 BAB2A B( () )的的的線性組合表示。的線性組合表示。列向量列向量依此類推，不難看出依此類推，不難看出 rank

5、curankcu21 () ()()nBABK BABKBABKB的線性組合表示。這意味著的線性組合表示。這意味著 的列向量可以由的列向量可以由 1 nB ABAB的列向量的列向量系統(tǒng)系統(tǒng) 也可看成是由系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng) K經(jīng)過狀態(tài)反饋經(jīng)過狀態(tài)反饋()KI ，而獲得的，而獲得的， 因此，同理有因此，同理有rankrankccuu于是定理得證。于是定理得證。 所以系統(tǒng)所以系統(tǒng) K的能控性等價于系統(tǒng)的能控性等價于系統(tǒng) 的能控性，的能控性， ：120311xxu &12yx完全能控能觀，引入反饋完全能控能觀，引入反饋3 1uxV 例例 6.1.1 6.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) K：120001xx

6、v &12yx不難判斷，系統(tǒng)不難判斷，系統(tǒng)K仍然是能控的，但已不再仍然是能控的，但已不再能觀測。能觀測。K則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為 定理定理 6.2.1 6.2.1 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng):xAxBuyCxDu&kxvu通過狀態(tài)反饋通過狀態(tài)反饋任意配置極點的充任意配置極點的充完全能控完全能控。要條件要條件6.2.1 6.2.1 極點配置定理極點配置定理證證: : 只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理 充分性：因為給定系統(tǒng)充分性：因為給定系統(tǒng) 能控，故通過等價變換能控，故通過等價變換 Pxx 必能將它變?yōu)槟芸貥藴市伪啬軐⑺優(yōu)槟?/p>

7、控標準形 :xAxBuyCxDu&%這里，這里，P為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有111110aaaPAPAnn， 001bPb M%111nncPcdd 對式對式(6.2.2)(6.2.2)引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋uvKx%12nKkkk%L則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng) K%的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為 :K%()()xAbK xbvycdK xdv%&% 其中，顯然有其中，顯然有112101()1nnnAbKakakakO%L系統(tǒng)系統(tǒng)K%的閉環(huán)特征方程為的閉環(huán)特征方程為0)()()(121211kaskaskasnnnnnn同時，由指定的

8、任意同時，由指定的任意 n個期望閉環(huán)極點個期望閉環(huán)極點 n*2*1*,可求得期望的閉環(huán)特征方程可求得期望的閉環(huán)特征方程0)()(*11*1*2*1*nnnnnasasassss通過比較系數(shù)，可知通過比較系數(shù)，可知 *1*212*11nnnnakaakaaka由此即有由此即有*1*211*11nnnnnkaakaakaa%M%又因為又因為1uvKxvKP xvKx %KKP%所以所以 ccAAATATA01210cbTbb且對任意且對任意,21kkk ，有有)det()det()det(1kbAsIkTbAsIbkAsI非奇異變換陣非奇異變換陣 使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解T必要性：采用反證法，

9、設(shè)必要性：采用反證法，設(shè) 不完全能控，則必不完全能控，則必3100110001rankrank2bAAbb解：解：因為因為例例6.2.1 6.2.1 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為000111000110 xxu &xy110求狀態(tài)反饋增益陣求狀態(tài)反饋增益陣 K，使反饋后閉環(huán)特征值為，使反饋后閉環(huán)特征值為 2*131*3 , 2j系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律能能配置閉環(huán)特征值配置閉環(huán)特征值。任意任意1) 1) 由由ssssssAsI23211001100det)det(得得. 0, 1, 2321aaa2) 2) 由

10、由得得)(*1s)(*2s)(*3s) 31)(31)(2(jsjss88423sss. 8, 8, 432*1aaa3)3)2 , 7 , 8,112233aaaaaak4)4)0010111210010121211001100010010111122aaabAAbbQ5)5)12111010000101112111QP6)6)332121110100278 pkk算法算法2 2：直接配置：直接配置1)1)將將 帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式統(tǒng)的特征多項式kxu)()()()(111kaskaskassfnnnn其中其中 , ,ni, 1,是反饋矩陣是

11、反饋矩陣 的函數(shù)的函數(shù)) ( k aik)(kai2) 2) 計算理想特征多項計算理想特征多項式式*11*121)()()(nnnnnasasassssxf ., 1,)(*niakaii3) 3) 列方程組列方程組 并求解并求解 。,1nkkk 其解其解 , ,即為所求即為所求321kkkk 例例6.2.2 6.2.2 同例同例6.2.16.2.1。解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣k k為為因為經(jīng)過狀態(tài)反饋因為經(jīng)過狀態(tài)反饋 后，閉環(huán)系統(tǒng)后，閉環(huán)系統(tǒng) 特征多項式為特征多項式為 bkAsIsf detkxvu的的321001110011000000000detkkksss

12、32121213122kkkskksks根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點，可求得閉環(huán)期望特征根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點，可求得閉環(huán)期望特征多項式為多項式為 8843131223sssjsjsssf比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有 ：8, 812 , 42321211kkkkkk332k得：得： 3, 3, 2321kkk即得狀態(tài)反饋增益矩陣為即得狀態(tài)反饋增益矩陣為: : 與例與例6.2.16.2.1的結(jié)果相同的結(jié)果相同6.2.3 6.2.3 討論討論狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會降低，這是由分子分母的函數(shù)的階次可能會降低，

13、這是由分子分母的公因子被對消所致。公因子被對消所致。(1)(1)對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會移動對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會移動系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。(2) (2) 若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變?nèi)粝到y(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：換成如下形式：(3)(3) 1111121222200 xxAAbuxxA &%&%22A 其中，其中， 的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。(4) (4) 系統(tǒng)綜合系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點，移到往往需要將不穩(wěn)定的極點，移到 s s平面的左半部，這一過程稱為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。平面的左半部，這

14、一過程稱為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。 22A只有只有 的全部特征值都具有負實部時，系的全部特征值都具有負實部時，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。統(tǒng)才能穩(wěn)定。6.3.1 6.3.1 問題的提出問題的提出考慮考慮MIMOMIMO系統(tǒng)系統(tǒng) x AxBuyCx：& (6.3.1) (6.3.1) 式式(6.3.2)(6.3.2)可寫為可寫為1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s11111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs

15、 usy sgs u sgs u sgs usysgs u sgs u sgs usL LL LMML L在在 (0)0 x的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)可用傳遞函數(shù) ( )G s描述：描述： 1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s (6.3.2) (6.3.2)每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為個輸入所控制我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為耦合耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的。例一般說來，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的

16、。例如如, , 要找到一組輸入要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂频目刂?，這必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂品Q為解耦控制，或者簡稱為稱為解耦控制，或者簡稱為解耦解耦。12( ),( ),( ),pu s u susL2)2)uLvKx狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3) 3) 輸入變換矩陣輸入變換矩陣L為非奇異的為非奇異的 圖圖6.3.16.3.1vLuBAKxCy+-pq1) 1) 即系統(tǒng)的輸出個數(shù)等于輸入個數(shù)；即系統(tǒng)的輸出個數(shù)等于輸入個數(shù)；三個基本假定三個

17、基本假定：1122()( ),( ),( )ppG sKLdiag gs gsgs； ，LKL、解耦控制問題解耦控制問題: :尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對增益矩陣對K, ,使得使得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣p顯然，經(jīng)過解耦的系統(tǒng)可以看成是由顯然，經(jīng)過解耦的系統(tǒng)可以看成是由 個獨立單變個獨立單變量子系統(tǒng)所組成。量子系統(tǒng)所組成。圖圖 6.3.26.3.26.3.2 6.3.2 實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質(zhì)。定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質(zhì)。1) 1) 已知傳遞函數(shù)陣已知傳遞函數(shù)陣

18、111212122212( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgsL LL LMMML L( )iigs其中其中都是嚴格都是嚴格真的有理分式真的有理分式( (或者為零或者為零) )。令。令( )iigsiid是是 的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差12min 1iiiipdddd，L L1lim( ) 1 2 idiiiEsg sip ，L Li( )ig s( )G s此處的表示的第 行。 不難看出iE( )G s 由 所唯一確定的 (2) (2) 若若A,B,CA,B,C已知，則已知，則

19、00,1 210 1 00,1 21 kiiikic A Bkc A Bdnc A Bkn當，而時=當，時diiiEc A B狀態(tài)反饋不改變狀態(tài)反饋不改變id例例6.3.1 6.3.1 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng) xAxBuyCx&其中其中: :000101123A100001B110001C其傳遞函數(shù)矩陣為其傳遞函數(shù)矩陣為 : :21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss得到得到 : :1111222122min 1min1 210min 1min2 110dddddd，11 00,cB20 10,c B1200dd，因因

20、也可求得也可求得iE同樣，由兩種方法求得同樣，由兩種方法求得 的也相同。的也相同。12111311(1)(2)(1)(2)lim( )lim1 0 1 1 01 0iidEsgsss ssssscBA BsA2222lim( )lim0 1 0 0 1(1)(2)(1)(2)10 1iidEsssgsscssBAsAB1,KE F1LEuLvKx定理定理 6.3.1 6.3.1 前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實下實E現(xiàn)現(xiàn)解耦控制的解耦控制的充要條件充要條件是為是為非奇異。其中，非奇異。其中，12pEEEEM121111221pdddppc AFc AFFFc AMM1LEiiyc x1

21、,iqiycAx&()iiddiycA x(1)1iiidddiycAx cA Bu1,iq LM證：對等式證：對等式iEid兩邊分別求導，根據(jù)兩邊分別求導，根據(jù) 和和 的定義可知的定義可知當且僅當矩陣當且僅當矩陣 為非奇異時，由方程組為非奇異時，由方程組E1iiddiiiic A BKxE Kxc AxFx idiic A LvE Lvv1,iqL可唯一確定出可唯一確定出 和和 在狀態(tài)反饋在狀態(tài)反饋 下下, ,有有 : :1KE F1LEuLvKxiycAx&M()iiddiycA x(1)idiiyv1,iqL輸出輸出 僅與輸入僅與輸入 有關(guān)有關(guān), ,且且 僅能控制僅能控制

22、 。定理得證。定理得證在狀態(tài)反饋在狀態(tài)反饋 下，系統(tǒng)下，系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式的狀態(tài)空間表達式為為: :iyiviviyuLvKxK11: ()KxABE F xBE v&yCx 1 12 11111110( ;, )()0 1pdddssG s K LC sIABE FBEs OO其傳遞函數(shù)矩陣為其傳遞函數(shù)矩陣為: :6.3.3 6.3.3 算法和推論算法和推論算法：算法： 1) 1) 求出求出 系統(tǒng)的系統(tǒng)的 1 2 ,iidEip、 ， L2) 2) 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣 ，若，若 非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)EE反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反

23、饋解耦。3) 3) 求取矩陣求取矩陣 和和 , ,則則 就是所需的就是所需的KLuLvKx狀態(tài)反饋控制律。狀態(tài)反饋控制律。例例6.3.2 6.3.2 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)000100010012301xxu&110001yx試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。耦后的傳遞函數(shù)矩陣。解：解：1) 1) 在例在例6.3.16.3.1中已求得中已求得 120dd11 0E 20 1E 2) 2) 因為因為 為非奇異的為非奇異的, ,所以可狀態(tài)所以可狀態(tài)12EEIE反饋解耦反饋解耦. .1111100 1dFc Ac A21222123

24、dFc Ac A 3) 3) 因為因為所以有所以有11001 123KE FLEI001123uvx于是于是00110()0010000001xABK xBVxu&110001yxK4) 4) 反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng)反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng) 有有110()()10sG sKLC sIABKBLs ； ，推論推論：iEid1) 1) 能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于 和和 。2) 2) 求得求得 ， ，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 矩陣即可確定。矩陣即可確定。id1,2,ipL3) 3) 系統(tǒng)解耦后，每個系統(tǒng)解耦后，每個SISOSISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為系

25、統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 重積分形式。須對它進一步施以極點配重積分形式。須對它進一步施以極點配 置。置。1id 4) 4) 要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。 保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。lim ( )lim ( )ttx tx tyu問題的實質(zhì)就是構(gòu)造一個新的系統(tǒng)問題的實質(zhì)就是構(gòu)造一個新的系統(tǒng) ( ( 或者說裝或者說裝置置) ) ，利用原系統(tǒng)中可直接測量的輸入量，利用原系統(tǒng)中可直接測量的輸入量 和和輸出量輸出量 作為它的輸入信號，并使其輸出信號作為它的輸入信號，并使其輸出信號滿足滿足6.4.1 6.4.1 狀態(tài)觀測器的存在條件狀態(tài)觀測器的存在

26、條件定理定理 6.4.1 6.4.1 給定線性系統(tǒng)給定線性系統(tǒng) x AxBuyCx：&證證: : 因為因為yCxyCxCAxCBu&2(1)12(2) nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu& &ML L2(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAxNxyCBuCABuCA& &MML即即uy、xxrankNn所以所以, ,只有當只有當 時，上式中的時，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有當系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時一解即只有當系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時, ,狀態(tài)向狀態(tài)向量量 才能由才能由 以及它們的各階導

27、數(shù)的線性組以及它們的各階導數(shù)的線性組合構(gòu)造出來。合構(gòu)造出來。( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx t)&6.4.2 6.4.2 全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)估計器：構(gòu)造一個與原系統(tǒng)完全相開環(huán)狀態(tài)估計器：構(gòu)造一個與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置同的模擬裝置(1)(1)圖圖 6.4.16.4.1( )x t從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測量從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測量。這種。這種開環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：開環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并 對估計器實施設(shè)置；對估計器實施設(shè)置；( )x t%A在在 有正實部特征值時，有正實部特征值時， 最終總要趨向無最終總要趨向無 窮大。窮大。()xAE CxB uE y&(2)(2)閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器。閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器。 狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為：狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為：()()()x xA EC x Bu Ey Ax BuA EC x x &因為因為00()()()()000() ( )( )( )A EC t