橢圓復(fù)習(xí)教案

1、；題目 第八章圓錐曲線橢圓高考要求 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程知識點(diǎn)歸納 1.定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|，即)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn))點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e（0<e<1），則P點(diǎn)的軌跡是橢圓第二定義高考超綱，第二定義、焦半徑公式均只能在選填中使用，超綱內(nèi)容用斜體字表示2.橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，=e；（2）,；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）

2、|F1K1|=|F2K2|=p=，3.標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 和其中橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，離心率是，準(zhǔn)線方程是，通徑的長是焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），焦參數(shù)（通徑長的一半）范圍：，長軸長=，短軸長=2b，焦距2c ， 焦半徑：，.4.中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段、2c，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立+、等關(guān)系.5.橢圓上的點(diǎn)有時(shí)常用到三角換元：；題型講解 例1 求中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為且被直線截得的弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為的橢圓方程.解: 設(shè)橢圓方程 ,因?yàn)橄褹B中點(diǎn),所以由 得,（點(diǎn)差法）所以 又 注：當(dāng)題目中的已知和結(jié)論為弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)經(jīng)常使用點(diǎn)差法例2 已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A

3、、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率.分析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒有具體數(shù)值，因此只需把a(bǔ)、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），F(xiàn)1（c，0），c2=a2b2，則P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.點(diǎn)評：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.例3 如下圖，設(shè)E：+=1（ab0）的焦點(diǎn)為F1與F2，且PE，F(xiàn)1PF2=2. 求證：PF1F2的面

4、積S=b2tan.分析：有關(guān)圓錐曲線問題用定義去解決比較方便.如本題，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2.若能消去r1r2，問題即獲解決. 證明：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.從而有 S=·sin2=b2=b2tan.點(diǎn)評：解與PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合

5、|PF1|+|PF2|=2a來解決.我們設(shè)想點(diǎn)P在E上由A向B運(yùn)動(dòng)，由于PF1F2的底邊F1F2為定長，而高逐漸變大，故此時(shí)S逐漸變大.所以當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)S取得最大值.由于b2為常數(shù)，所以tan逐漸變大.因2為三角形內(nèi)角，故2（0，），（0，）.這樣，也逐漸變大，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，F(xiàn)1PF2取得最大值.故本題可引申為求最值問題，例4 若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且OAOB，求橢圓的方程.分析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由OM的斜率為.OAOB，易得a、b的兩個(gè)方程.解：設(shè)A（x1，y1）

6、，B（x2，y2），M（，）.由 ，（a+b）x22bx+b1=0.=，=1=.M（，）. kOM=，b=a. OAOB，·=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2.由得a=2（1），b=2（1）.所求方程為2（1）x2+2（1）y2=1.點(diǎn)評：直線與橢圓相交的問題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解決本題的關(guān)鍵.直曲聯(lián)立的套路適用于直線與

7、圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)地位平等時(shí)，是核心套路，必須熟練運(yùn)用。例5 已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是,其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線 的一條漸進(jìn)線方程為 (1)求橢圓的方程及雙曲線的離心率; (2)在第一象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P,連接AP交橢圓于點(diǎn)M,連接PB并延長交橢圓 于點(diǎn)N,若求證: (1) 解: (c為橢圓半焦距), 的離心率為 . (2) 證明:設(shè),則即 消去得 因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限代入橢圓方程得: 所以點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對稱. 點(diǎn)評: 對概念的理解要準(zhǔn)確到位,注意答案的多種可能性; 擅于將幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系相互轉(zhuǎn)化; 把平面解析幾何問題轉(zhuǎn)化為向量、平面幾何、三角函數(shù)、定比分點(diǎn)公式、不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、

8、復(fù)數(shù)等問題;注意參量的個(gè)數(shù)及轉(zhuǎn)化;養(yǎng)成化簡整理的習(xí)慣.點(diǎn)代入的核心就是表達(dá)與消元，一定注意要思路清晰，在多個(gè)方程的時(shí)候想清楚消去哪個(gè)未知量。例6 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓方程. 并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo). 解:設(shè)橢圓方程為, 為橢圓上的點(diǎn),由得 若,則當(dāng)時(shí)最大,即, ,故矛盾. 若時(shí),時(shí), 所求方程為 把y=代入，求得M的坐標(biāo)是(,)或(,).點(diǎn)評：二次曲線的最值問題，常常歸結(jié)為二次函數(shù)的最值問題，解題時(shí)要注意對自變量的范圍進(jìn)行討論.例7 設(shè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)F1(4,0),F2(4,0), 并且橢圓長軸長是雙曲線實(shí)

9、軸長的2倍，試求橢圓與雙曲線的交點(diǎn)的軌跡.解法一：設(shè)交點(diǎn)為P(x,y), 雙曲線的實(shí)半軸長為a (2<a<4),則橢圓長半軸長為2a, 由半焦距為4, 得它們的方程分別為： (1) 和=1 (2)(2)´4(1)得： (3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化簡得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法二：用定義法求解. |F1P|+|F2P|=2|F1P|F2P|, 解得：|F1P|=3´ |F2P| 或3´ |F1P|=|F2P| .即：3或 3, 化簡得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .例8 如

10、圖 ,橢圓的中心在原點(diǎn), 焦點(diǎn)在x軸上, 過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線, 交橢圓于A、B兩點(diǎn), 若橢圓上存在一點(diǎn)C, 使. (1) 求橢圓的離心率;(2) 若15, 求著個(gè)橢圓的方程.解: (1)設(shè)橢圓的方程為, 焦距為, 則直線l的方程為:,代入橢圓方程, 得, 設(shè)點(diǎn)、,則, C點(diǎn)坐標(biāo)為.C點(diǎn)在橢圓上, .又(2) 由已知從而. .故橢圓的方程為: .例9 已知常數(shù)a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且=，P為GE與OF的交點(diǎn)（如下圖）.問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若

11、不存在，請說明理由.分析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.解：按題意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.設(shè)=k（0k1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k1）y=0. 直線GE的方程為a（2k1）x+y2a=0. 由消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）滿足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.當(dāng)a2=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長.當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)

12、焦點(diǎn)（，a），（，a）的距離之和為定值.當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0，a），（0，a+）的距離之和為定值2a.點(diǎn)評：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊(yùn)涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.小結(jié)：橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用.為此在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：（1）橢圓中有一個(gè)十分重要的三角形OF1B2（如圖），它的三邊長分別為a、b、c.易見c2=a2b2，且若記OF1B2=，則cos=e.（2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標(biāo)系無關(guān)，而坐標(biāo)系是研究的手段.實(shí)際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標(biāo)系，這些性質(zhì)不因坐標(biāo)系的選擇而改變.例如上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐標(biāo)系的改變而改變.（3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于|F1F2|時(shí)，其軌跡不存在.（4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個(gè)參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總