簡單的線性規(guī)劃問題

1、學(xué)案35簡單的線性規(guī)劃問題導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決自主梳理1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)判斷不等式AxByC>0所表示的平面區(qū)域，可在直線AxByC0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如選原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來驗(yàn)證AxByC的正負(fù)當(dāng)C0時(shí)，常選用_對于任意的二元一次不等式AxByC>0(或<0)，無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)，當(dāng)B>0時(shí)，AxByC>0表示直線AxByC0_

2、的區(qū)域；AxByC<0表示直線AxByC0_的區(qū)域(2)畫不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域時(shí)，其邊界直線應(yīng)為虛線；畫不等式AxByC0表示的平面區(qū)域時(shí)，邊界直線應(yīng)為實(shí)線畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常用的方法是：直線定“界”、原點(diǎn)定“域”2線性規(guī)劃的有關(guān)概念(1)線性約束條件由條件列出一次不等式(或方程)組(2)線性目標(biāo)函數(shù)由條件列出一次函數(shù)表達(dá)式(3)線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題(4)可行解：滿足_的解(x，y)(5)可行域：所有_組成的集合(6)最優(yōu)解：使_取得最大值或最小值的可行解3利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平

3、面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)等值線，從而確定_自我檢測1(2011·北京東城1月檢測)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)(2，t)在直線x2y40的上方，則t的取值范圍是()A(，1) B(1，)C(1，) D(0,1)2不等式(x2y1)(xy3)0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()3(2010·重慶)設(shè)變量x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為()A0 B2 C4 D64(2010·浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且xy的最大值為9，則實(shí)數(shù)m等于()A2 B1 C1 D25(2010

4、3;天津河西高三期中)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z2xy的最大值為_.探究點(diǎn)一不等式組表示的平面區(qū)域例1畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：(1)指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？變式遷移1(2011·安慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)區(qū)域M、N，M是由三個(gè)不等式y(tǒng)0，yx和y2x確定的；N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式txt1 (0t1)所確定設(shè)M、N的公共部分的面積為f(t)，則f(t)等于()A2t22t B.(t2)2C1t2 Dt2t探究點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值例2(2010·天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4x2y的最大值為()A12

5、B10 C8 D2變式遷移2(2010·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x4y的最大值和最小值分別為()A3，11 B3，11C11，3 D11,3探究點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3某公司計(jì)劃2010年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分和200元/分假定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？變式遷移3(2010·四川)某加工廠用某原料由甲車間加工出A

6、產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)，可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為()A甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例(12分)變量x、y滿足(1)設(shè)z4x3y，求z的最大值；(2)設(shè)z，求z的

7、最小值；(3)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍【答題模板】解由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由，解得A.由，解得C(1,1)由，解得B(5,2)4分(1)由z4x3y，得yx.當(dāng)直線yx過點(diǎn)B時(shí)，最小，z最大zmax4×53×214.6分(2)z，z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.9分(3)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.12分【突破思維障礙】1求解目標(biāo)函數(shù)不是直線形式的最值的思維程序是：2常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)：(

8、1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離(2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵【易錯點(diǎn)剖析】本題會出現(xiàn)對(2)(3)無從下手的情況，原因是學(xué)生沒有數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識，不知道從目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義入手解題1在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l：AxByC0與點(diǎn)P(x0，y0)，若Ax0By0C>0，則點(diǎn)P在直線l上方，若Ax0By0C<0，則點(diǎn)P在直線l下方2在直線l：AxByC0外任意取兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若

9、P、Q在直線l的同一側(cè)，則Ax1By1C與Ax2By2C同號；若P、Q在直線l異側(cè)，則Ax1By1C與Ax2By2C異號，這個(gè)規(guī)律可概括為“同側(cè)同號，異側(cè)異號”3線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟：分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；確定線性約束條件；確定線性目標(biāo)函數(shù)；畫出可行域；利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，以確定最優(yōu)解 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·龍巖月考)下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A(0,2) B(2,0)C(0，2) D(2,0)2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A(x，y)|xy1，且x

10、0，y0，則平面區(qū)域B(xy，xy)|(x，y)A的面積為()A2 B1 C. D.3(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z·的最大值為()A4 B3C4 D34(2011·安徽)設(shè)變量x，y滿足|x|y|1，則x2y的最大值和最小值分別為()A1，1 B2，2C1，2 D2，15(2011·四川)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡

11、車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤350元該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z等于()A4 650元 B4 700元C4 900元 D5 000元二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010·北京改編)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)yax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是_7(2011·長沙一中月考)已知實(shí)數(shù)x、y同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：xy20；x1；xy70，則的取值范圍是_8(2011·湖南師大月考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若函數(shù)yk(x1)1的圖象經(jīng)過區(qū)域M，

12、則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_三、解答題(共38分)9(12分)(2010·廣東)某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？10(12分)已知求：(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；

13、(3)z的范圍11(14分)(2011·杭州調(diào)研)預(yù)算用2 000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌子、椅子各買多少才行？學(xué)案35簡單的線性規(guī)劃問題自主梳理1(1)原點(diǎn)(0,0)上方下方2.(4)線性約束條件(5)可行解(6)目標(biāo)函數(shù)3.(3)最優(yōu)解自我檢測1B2.C3.C4.C57課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引在封閉區(qū)域內(nèi)找整點(diǎn)數(shù)目時(shí)，若數(shù)目較小時(shí)，可畫網(wǎng)格逐一數(shù)出；若數(shù)目較大，則可分xm逐條分段統(tǒng)計(jì)解(1)不等式xy50表示直線xy50上及右下方的點(diǎn)的集合xy0表示直線xy0上及右上方的點(diǎn)的集合，

14、x3表示直線x3上及左方的點(diǎn)的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結(jié)合圖中可行域得x，y3,8(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x3時(shí)，3y8，有12個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)，2y7，有10個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，1y6，有8個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，0y5，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，1y4，有4個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)，2y3，有2個(gè)整點(diǎn)；平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2468101242(個(gè))變式遷移1D作出由不等式組組成的平面區(qū)域M，即AOE表示的平面區(qū)域，當(dāng)t0時(shí)，f(0)×1×1，當(dāng)t1時(shí)，f(1)×1×1，當(dāng)0<t<1時(shí)，如圖所示，所求面積為f(t)SAOESOBCSFDE&#

15、215;2×1t22(t1)2t2t，即f(t)t2t，此時(shí)f(0)，f(1)，綜上可知選D.例2解題導(dǎo)引1.求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性可行域再作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值2線性目標(biāo)函數(shù)zaxby取最大值時(shí)的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)b>0時(shí)，最優(yōu)解是將直線axby0在可行域內(nèi)向上平移到端點(diǎn)(一般是兩直線交點(diǎn))的位置得到的，當(dāng)b<0時(shí)，則是向下方平移B畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z4x2y可轉(zhuǎn)化為y2x，作出直線y2x并平移，顯然當(dāng)其過點(diǎn)A時(shí)縱截距最大解方程組得A(2,1)，zmax10.變式遷移2A作出可行

16、域如圖所示目標(biāo)函數(shù)yxz，則過B、A點(diǎn)時(shí)分別取到最大值與最小值易求B(5,3)，A(3,5)zmax3×54×33，zmin3×34×511.例3解題導(dǎo)引解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答解設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標(biāo)函數(shù)為z3 000x2 000y.二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作直線l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直線l，從

17、圖中可知，當(dāng)直線l過點(diǎn)M時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由方程解得x100，y200.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)所以zmax3 000x2 000y700 000(元)答該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元變式遷移3B設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知甲、乙兩車間每天總獲利為z280x200y.畫出可行域如圖所示點(diǎn)M(15,55)為直線xy70和直線10x6y480的交點(diǎn)，由圖象知在點(diǎn)M(15,55)處z取得最大值課后練習(xí)區(qū)1C2.B3.C4.B5.C6(1,37.解析由A(1,6)，B，kOA6，kOB.k，即.8.

18、解析作可行域，如圖因?yàn)楹瘮?shù)yk(x1)1的圖象是過點(diǎn)P(1,1)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，k取最大值，當(dāng)直線l過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，k取最小值，故k.9解設(shè)該兒童分別預(yù)訂x，y個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)z元，則z2.5x4y.(2分)可行域?yàn)榧?6分)作出可行域如圖所示：(9分)經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x4，y3時(shí)，花費(fèi)最少，為2.5×44×322(元)故應(yīng)當(dāng)為兒童分別預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐(12分)10解作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)(1)易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x2y40的上方，故x2y4>0，將點(diǎn)C(7,9)代入z得最大值為21.(4分)(2)zx2y210y25x2(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的