高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對數(shù)函數(shù) 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算教學設計 新人教A版必修1

1、2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算教學內(nèi)容分析本節(jié)課是新課標高中數(shù)學a版必修1中第二章對數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時，也就是對數(shù)函數(shù)的入門對數(shù)函數(shù)對于學生來說是一個全新的函數(shù)模型，學習起來比較困難而對數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎上，對函數(shù)類型的拓廣，同時在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用通過本節(jié)課的學習，可以讓學生理解對數(shù)的概念，從而進一步深化對對數(shù)模型的認識與理解，為學習對數(shù)函數(shù)做好準備同時，通過對對數(shù)概念的學習，對培養(yǎng)學生對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉化的思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力都具有重要的意義學生學習情況分析現(xiàn)階段大部分學生學習的自主性較差，主動性不

2、夠，學習有依賴性，且學習的信心不足，對數(shù)學存在或多或少的恐懼感通過對指數(shù)與指數(shù)冪的運算的學習，學生已多次體會了對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉因此，學生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對數(shù)定義的認識基礎，故應通過指導，教會學生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉化、歸納等數(shù)學思想的學習方法設計思想學生是教學的主體，本節(jié)課要給學生提供各種參與機會為了調(diào)動學生學習的積極性，使學生化被動為主動，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學，引導學生從實例中認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性在教學重難點上，步步設問、啟發(fā)學生的思維，通過課堂練習、探究活動、學生討論的方式來加深理解，

3、更好地突破難點和提高教學效率讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權教學目標1理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識并形成技能2通過實例使學生認識對數(shù)模型，體會引入對數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化3通過學生分組進行探究活動，掌握對數(shù)的重要性質(zhì)通過做練習，使學生感受到理論與實踐的統(tǒng)一4培養(yǎng)學生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)以及在學習過程中培養(yǎng)學生的探究意識重點難點重點：(1)對數(shù)的概念；(2)對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化難點：(1)對數(shù)概念的理解；(2)對數(shù)性質(zhì)的理解教學環(huán)節(jié)

4、教學程序及設計設計意圖創(chuàng)設情境，引入新課引例(3分鐘)1一尺之錘，日取其半，萬世不竭(1)取5次，還有多長？(2)取多少次，還有0.125尺？分析：(1)為同學們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得5，(2)可設取x次，則有x0.125，抽象出：x0.125x？22002年我國gdp為a億元，如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年gdp是2002年的2倍？分析：設經(jīng)過x年，則有(18%)x2，抽象出：(18%)x2x？讓學生根據(jù)題意，設未知數(shù)，列出方程這兩個例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學生思考如何表示x，激發(fā)其對對數(shù)的學習興趣，培養(yǎng)學生的探究意識生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對數(shù)是必要的講授

5、新課一、對數(shù)的概念(3分鐘)一般地，如果axn(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底n的對數(shù)(logarithm)，記作xlogan，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)注意：(1)底數(shù)的限制：a0且a1；(2)對數(shù)的書寫格式.正確理解對數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對數(shù)函數(shù)定義域的確定做準備同時注意對數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯誤二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘)冪底數(shù)a對數(shù)底數(shù)指數(shù)b對數(shù)冪n真數(shù)思考：(1)為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù)a0且a1?(2)是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？負數(shù)和零沒有對數(shù)讓學生了解對數(shù)與指數(shù)的關系，明確對數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和n位置的不同，及它們的含義

6、互化體現(xiàn)了等價轉化這個重要的數(shù)學思想.三、兩個重要對數(shù)(2分鐘)(1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)log10n，簡記為lg n；(2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e2.718 28為底的對數(shù)logen，簡記為lnn.(在科學技術中，常常使用以e為底的對數(shù))注意：兩個重要對數(shù)的書寫這兩個重要對數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準備課堂練習(7分鐘)1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：(1)2416；(2)33；(3)5a20；(4)b0.45.2將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：(1)log51253；(2)2；(3)log10a1.069.3求下列各式的值：(1)log264；(2)log927.本練習讓學生獨立閱讀課

7、本例1和例2后思考完成，從而熟悉對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉化，加深對對數(shù)概念的理解并要求學生指出對數(shù)式與指數(shù)式互化時應注意哪些問題，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)四、對數(shù)的性質(zhì)(12分鐘)探究活動1求下列各式的值：(1)log310；(2)lg 10；(3)log0.510；(4)ln10.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？“1”的對數(shù)等于零，即loga10(a0且a1)，類比：a01(a0且a1)探究活動由學生獨立完成后，通過思考，然后分小組進行討論，最后得出結論通過練習與討論的方式，讓學生自己得出結論，從而能更好地理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)培養(yǎng)學生類比、分析、歸納的能力.探究活動2求下列各式的值：(1)log331；(2

8、)lg 101；(3)log0.50.51；(4)lne1.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa1(a0且a1)，類比：a1a(a0且a1)探究活動3求下列各式的值：(1)3；(2)0.6；(3)89.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對數(shù)恒等式：n(a0且a1)探究活動4求下列各式的值：(1)log3344；(2)log0.90.955；(3)lne88.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對數(shù)恒等式：logaann(a0且a1).講授新課小結負數(shù)和零沒有對數(shù)；“1”的對數(shù)等于零，即loga10；底數(shù)的對數(shù)等于“1”，即logaa1；對數(shù)恒等式：n；對數(shù)恒等式：logaann.(a0且a1)將學生歸納的

9、結論進行小結，從而得到對數(shù)的基本性質(zhì)歸納小結，強化思想(3分鐘)1引入對數(shù)的必要性對數(shù)的概念一般地，如果axn(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底n的對數(shù)(logarithm)，記作xlogan.2指數(shù)與對數(shù)的關系3對數(shù)的基本性質(zhì)負數(shù)和零沒有對數(shù)；loga10；logaa1；對數(shù)恒等式：n；logaann.總結是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學生系統(tǒng)地掌握所學內(nèi)容同時，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識體系中，發(fā)揮承上啟下的作用為下一課時對數(shù)的運算打下扎實的基礎作業(yè)布置一、課本習題2.2a組第1,2題二、已知loga2x，loga3y，求a3x2y的值三、求下列各式的值：；.作業(yè)是學生信息的反饋，教師可以在

10、作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學生在學習中存在的問題，彌補教學中的不足板書設計2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算第1課時引例1引例2一、對數(shù)的定義二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化練習三、對數(shù)的基本性質(zhì)四、小結五、作業(yè)布置本教學設計先由引例出發(fā)，創(chuàng)設情境，激發(fā)學生對對數(shù)的學習興趣；在講授新課部分，通過結合多媒體教學以及一系列的課堂探究活動，加深學生對對數(shù)的認識；最后通過課堂練習來鞏固學生對對數(shù)的掌握第2課時教學目標1知識與技能(1)通過實例推導對數(shù)的運算性質(zhì)，準確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行運算、求值、化簡，并掌握化簡求值的技能(2)運用對數(shù)的運算性質(zhì)解決有關問題(3)培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和科學分析問題的精

11、神和態(tài)度2過程與方法(1)讓學生經(jīng)歷并推導出對數(shù)的運算性質(zhì)(2)讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識3情感態(tài)度與價值觀讓學生感覺對數(shù)運算性質(zhì)的重要性，增加學生的成功感，增強學習的積極性重點難點重點：對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應用難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)導入新課思路1上節(jié)課我們學習了以下內(nèi)容：1對數(shù)的定義2指數(shù)式與對數(shù)式的互化abnloganb.3重要性質(zhì)：(1)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(2)loga10，logaa1；(3)對數(shù)恒等式n.下面我們接著講對數(shù)的運算性質(zhì)教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)思路2.我們在學習指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應的運算法則，即指數(shù)運算法則：am·anamn；am&

12、#247;anamn；(am)namn；.(a0且a1)從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)推進新課(1)在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關系以及指數(shù)運算的性質(zhì)，得出相應的對數(shù)運算的性質(zhì)嗎？(2)如我們知道amm，ann，am·anamn，那mn如何表示，能用對數(shù)式運算嗎？(3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運算性質(zhì)能得出其他對數(shù)運算性質(zhì)嗎？(4)你能否用最簡練的語言描述上述結論？如果能，請描述.(5)上述運算性質(zhì)

13、中的字母的取值有什么限制嗎？(6)上述結論能否推廣呢？(7)學習這些性質(zhì)能對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？討論結果：(1)通過問題(2)來說明(2)若am·anamn，mam，nan，于是mnamn，由對數(shù)的定義得到mammlogam，nannlogan，mnamnmnlogamn，logamnlogamlogan.因此mn可以用對數(shù)式表示(3)令mam，nan，則am÷anamn，所以mnloga.又由mam，nan，所以mlogam，nlogan.所以logamloganmnloga，即logalogamlogan.設mam，則mn(am)namn.由對數(shù)的定義，所以

14、logamm，logamnmn.所以logamnmnnlogam，即logamnnlogam.這樣我們得到對數(shù)的三個運算性質(zhì)：如果a0，a1，m0，n0，則有l(wèi)oga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)(4)以上三個性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；性質(zhì)：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；性質(zhì)：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)(5)利用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，所以要求a0，a1，m0，n0.(6)性質(zhì)可以推廣到n個數(shù)的情形：即loga(m1m2m3mn)logam1logam2logam3logamn(其中

15、a0，a1，m1，m2，m3，mn均大于0)(7)縱觀這三個性質(zhì)我們知道，性質(zhì)的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算性質(zhì)的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算性質(zhì)從左往右仍然是降級運算利用對數(shù)的性質(zhì)可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，方便了對數(shù)式的化簡和求值例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga.活動：學生思考觀察，教師巡視，檢查學生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正利用對數(shù)的運算性質(zhì)，把整體分解成部分對(1)loga，可先利用性質(zhì)，轉化為兩數(shù)對數(shù)的差，再

16、利用性質(zhì)，把積的對數(shù)轉化為兩數(shù)對數(shù)的和對(2)loga，可先利用性質(zhì)，轉化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)，把積的對數(shù)轉化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質(zhì)，轉化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz；(2)logaloga(x2)logalogax2logaloga2logaxlogaylogaz.點評：對數(shù)的運算性質(zhì)實質(zhì)上是把積、商、冪的對數(shù)運算分別轉化為對數(shù)的加、減、乘的運算變式訓練1若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正確的個數(shù)為()logax·logayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logalog

17、ax÷logay；loga(xy)logax·logay.a0 b1 c2 d3答案：a2若a0，a1，xy0，nn*，下列式子正確的個數(shù)為()(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga；loga；logax；logaxloga；logaxnnlogax；logaloga.a3 b4 c5 d6答案：b例2 求值：(1)；(2)log3.解：(1)解法一：設，則()x3()3，所以x3.解法二：.(2)解法一：令xlog3，則3x，即3x33，所以x3.解法二：log3log3333.例3 計算：(1)lg 142lg lg 7lg 18

18、；(2)；(3).解：(1)解法一：lg 142lglg 7lg 18lg(2×7)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32×2)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.解法二：lg 142lglg 7lg 18lg 14lg2lg 7lg 18lglg 10.(2).(3).點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用，應注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯用對數(shù)的運算性質(zhì)對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用、運算性質(zhì)的逆用常被學生所忽視例4 設xlog23，求的值活動：學生思考觀察，教師引導，學生有困難及

19、時提示并評價學生的思考過程本題主要考查對數(shù)的定義及其運算性質(zhì)先利用對數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡再代入求值解法一：由xlog23，得2x3,2x，所以323×2.解法二：由xlog23，得2x3,2x，所以22x122x3212.課本本節(jié)練習第1,2,3題【補充練習】1用logax，logay，logaz，loga(xy)，loga(xy)表示下列各式：(1)loga；(2)loga；(3)；(4)loga；(5)loga；(6)loga3.解：(1)logalogalogay2zlogax(2logaylogaz)logax2logaylogaz；(2)logal

20、ogaxlogalogax(logaz3logay2)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz；(3)logaxlogaxlogaylogaz；(4)logalogaxyloga(x2y2)logaxlogayloga(xy)(xy)logaxlogayloga(xy)loga(xy)；(5)logalogalogayloga(xy)loga(xy)logay；(6)loga33logaylogaxloga(xy)3logay3logax3loga(xy)2已知f(x6)log2x，則f(8)等于()a b8 c18 d解析：因為f(x6)log2x，x0，令x68，得，所

21、以f(8).另解：因為f(x6)log2xlog2x6，所以f(x)log2x.所以f(8)log28log223.答案：d已知x，y，z0，且lg xlg ylg z0，求的值活動：學生討論、交流、思考，教師可以引導大膽設想，運用對數(shù)的運算性質(zhì)由于所求的式子是三項積的形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運算性質(zhì)，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設所求式子的值為t.解：令，則lg tlg xlg ylg z3，所以t103即為所求1對數(shù)的運算性質(zhì)2對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合應用，特別是性質(zhì)的逆向使用3對數(shù)與指數(shù)形式比較：式子abnloganb名稱a冪的底數(shù)

22、b冪的指數(shù)n冪值a對數(shù)的底數(shù)b以a為底的n的對數(shù)n真數(shù)運算性質(zhì)am·anamn；am÷anamn；(am)namn；(a0，a1，m，nr)loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)；(a0，a1，m0，n0)課本習題2.2a組3,4,5.在前面研究了對數(shù)概念的基礎上，為了運算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運算性質(zhì)，推出了對數(shù)的運算性質(zhì)，引導學生自己完成推導過程，加深對公式的理解和記憶，對運算性質(zhì)的認識類比指數(shù)的運算性質(zhì)來理解記憶，強化性質(zhì)的使用條件，注意對數(shù)式中每一個字母的取值范圍，由于它是以后學習對數(shù)函數(shù)的基礎，所

23、以安排教學時，要反復練習，加大練習的量，多結合信息化的教學手段，順利完成本堂課的任務第3課時作者：劉菲教學目標1知識與技能推導對數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和科學分析問題的精神和態(tài)度2過程與方法讓學生經(jīng)歷推導對數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學知識3情感態(tài)度與價值觀通過對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)換底公式的學習，培養(yǎng)學生的探究意識，培養(yǎng)學生的嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)；感受對數(shù)的廣泛應用重點難點重點：對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式及其應用難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式導入新課思路1問題：你能根據(jù)對數(shù)的定義推導出下面的換底公式嗎？a0，且a1，c0，且c1，b0，logab

24、.教師直接點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)對數(shù)的換底公式及其應用思路2前兩節(jié)課我們學習了以下內(nèi)容：1對數(shù)的定義及性質(zhì)；2對數(shù)恒等式；3對數(shù)的運算性質(zhì)，用對數(shù)的運算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對數(shù)進行運算，那么不同底數(shù)的對數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)對數(shù)的換底公式及其應用思路3從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對數(shù)的底，數(shù)學史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù)，這樣，如果能將其他底的對數(shù)轉換為以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對數(shù)，那么，怎么

25、轉化呢？這就需要一個公式，即對數(shù)的換底公式，從而引出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(3)對數(shù)的換底公式及其應用推進新課(1)已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，求log23的值；(2)根據(jù)(1)，如a0，a1，你能用含a的對數(shù)式來表示log23嗎？(3)更一般地，我們有l(wèi)ogab，如何證明？(4)證明logab的依據(jù)是什么？(5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？(6)換底公式的意義是什么？有什么作用？活動：學生針對提出的問題，交流討論，回顧所學，力求轉化，教師適時指導，必要時提示學生解題的思路，給學生創(chuàng)造一個互動的學習環(huán)境，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力對(1)目前還沒有學習對數(shù)的換底公式，它

26、們又不是同底，因此可考慮對數(shù)的定義，轉化成方程來解；對(2)參考(1)的思路和結果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示；對(3)借助(1)(2)的思路，利用對數(shù)的定義來證明；對(4)根據(jù)證明的過程來說明；對(5)抓住問題的實質(zhì)，用準確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對(6)換底公式的意義就在于對數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了討論結果：(1)因為lg 20.301 0，lg 30.477 1，根據(jù)對數(shù)的定義，所以100.301 02,100.477 13.不妨設log23x，則2x3，所以(100.301 0)x100.477 1,100.301 0×x100.477 1，即0.

27、301 0x0.477 1，x.因此log231.585 0.(2)根據(jù)(1)我們看到，最后的結果是log23用lg 2與lg 3表示，是通過對數(shù)的定義轉化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對數(shù)轉換成了以10為底的對數(shù)，不妨設log23x，由對數(shù)定義知道，2x3，兩邊都取以a為底的對數(shù)，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是log23.這樣log23就表示成了以a為底的3的對數(shù)與以a為底的2的對數(shù)的商(3)證明logab.證明：設logabx，由對數(shù)定義知道，axb；兩邊取以c為底的對數(shù)，得logcaxlogcbxlogcalogcb；所以x，即logab.一般地，l

28、ogab(a0，a1，c0，c1，b0)稱為對數(shù)的換底公式(4)由(3)的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若m0，n0，mn，則logamlogan.(5)一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商(6)換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉化為同底問題，為使用運算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡求值說明：我們使用的計算器中，“l(fā)og”通常是常用對數(shù)，因此要使用計算器計算對數(shù)，一定要先用換底公式轉化為常用對數(shù)如log23，即計算log23的值的按鍵順序為：“l(fā)og”“3”“÷”“

29、log”“2”“”再如：在前面要求我國人口達到18億的年份，就是要計算xlog1.01，所以xlog1.0132.883 733(年)可以看到運用對數(shù)換底公式，有時要方便得多例1 求log89·log2732的值活動：學生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時提示，學生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對數(shù)或以2為底的對數(shù)，以3為底的對數(shù)也可解法一：log89·log2732··.解法二：log89·log2732··.解法三：log89·log2732

30、83;·.點評：靈活運用對數(shù)的換底公式是解決問題的關鍵例2 計算：(1)；(2)log43·log92.活動：學生積極交流，教師引導，學生展示自己的思維過程，教師對學生的表現(xiàn)及時評價先利用對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式進行化簡，然后再求值；對(1)根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡對(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡求值解：(1)原式3.(2)log43·log92·log23·log32log22.點評：在利用對數(shù)的換底公式進行化簡求值時，一般情況是根據(jù)題中所給的對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底，如

31、果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對數(shù)進行換底例3 (1)證明1logab；(2)已知，求證：.活動：學生思考、討論，教師適當提示：(1)運用對數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對數(shù)可直接得解，或利用對數(shù)的定義，分別把三個式子設出，再由定義轉化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；(2)這是條件證明問題，應在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉化成積的形式，從題目的結論來看，真數(shù)是積的形式，因此要創(chuàng)造對數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來解(1)證法一：設logaxp，logabxq，logabr，則xap，x(ab)qaqbq，bar.所以ap(ab)qaq(1r)，從而pq(1

32、r)因為q0，所以1r，即1logab.證法二：顯然x0且x1，x可作為底數(shù)，左邊logaab1logab右邊(2)證明：因為loga1b1loga2b2loganbn，所以由換底公式得.由等比定理，所以.所以.所以.點評：在解題過程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉化，換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉化，該公式既可正用，又可逆用，使用時的關鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡例4 20世紀30年代，里克特(c.f.richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大這就是我們常說的里氏震級m，其計算公式為ml

33、g alg a0，其中，a是被測地震的最大振幅，a0是“標準地震”的振幅(使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差)(1)假設在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級(精確到0.1)；(2)5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍(精確到1)?活動：學生審題，教師引導，學生交流，展示自己的思維過程，教師強調(diào)實際問題的注意事項根據(jù)題目給出的數(shù)學模型及其含義來解決這是實際問題，但題目給出了數(shù)學模型即關系式，關系式是以常用對數(shù)的形式給出，因此要利用對數(shù)的定義和

34、運算性質(zhì)，同時注意要使實際問題有意義解：(1)mlg 20lg 0.001lglg 20 000lg 2lg 1044.3.因此，這是一次約為里氏4.3級的地震(2)由mlg alg a0可得mlg，即10m，所以aa0·10m.當m7.6時，地震的最大振幅為a1a0·107.6；當m5時，地震的最大振幅為a2a0·105.所以，兩次地震的最大振幅之比是107.65102.6398.答：7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的398倍點評：利用所學知識解決實際問題，是教學的一個難點課本本節(jié)練習4.【補充練習】(1)已知lg 2a，lg 3b，則等于()a

35、b c d(2)已知2lg(x2y)lg xlg y，則的值為()a1 b4 c1或4 d4或1(3)若3a2，則log382log36_.(4)lg 12.5lglg 0.5_.答案：(1)c(2)b(3)a2(4)1探究換底公式的其他證明方法：活動：學生討論、交流、思考，教師可以引導，大膽設想，運用對數(shù)的定義及運算性質(zhì)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)證法一：設loganx，則axn，兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得logcaxlogcn，所以xlogcalogcn，即x.故logan.證法二：由對數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得logcnlogan·logca，所以l

36、ogan.證法三：令logcam，logann，則acm，nan，所以n(cm)ncmn.兩邊取以c(c0且c1)為底的對數(shù)，得mnlogcn，所以n，即logan.對數(shù)換底公式的應用：換底公式logan(c0且c1，a0且a1，n0)的應用包括兩個方面，即由左端到右端的應用和由右端到左端的應用，前者較為容易，而后者則易被學生忽視，因此，教學時應重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明：例：化簡：.解：原式lognmlognmlognmlognm4lognm.1對數(shù)換底公式；2換底公式可用于對數(shù)式的化簡、求值或證明若對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可

37、把對數(shù)式轉化成以10為底的常用對數(shù)或以任意數(shù)a(a0且a1)為底的對數(shù)式的形式課本習題2.2a組6,11,12.【補充作業(yè)】1已知，求log81175的值解：因為log277log37a，所以log373a.又因為log35b，所以log81175log3(25×7)(log325log37)(2log35log37).2求證：(log23log49log827)log9.證明：左邊(log23log49log827log2n3n)log9()·log932nlog23·log3log23·log32右邊本堂課主要是學習對數(shù)的換底公式，它在以后的學習中有

38、著非常重要的應用，由于對數(shù)的運算性質(zhì)是在同底的基礎上，因此利用對數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對數(shù)轉化為同底顯得非常重要，有時也可以逆用對數(shù)的換底公式達到我們的目的，特別是實際問題的應用十分廣泛，因此要反復訓練，強化記憶，所以設計了大量的例題與練習，授課時要加快速度，激發(fā)學生學習的興趣，多運用多媒體的教學手段【備選例題】【例1】化簡：···.解：原式···lognm·lognm·lognm·lognm(lognm)4.【例2】求證：logab(a0，b0且a1，b1)證法一：logab.證法二：logab.【例3】試證：.證明：logx(2×3×4××n)logx(1×2×3×4××n)logxn！.【知識拓展】對數(shù)的創(chuàng)立對數(shù)是中學初等數(shù)學中的重要內(nèi)容，那么當初是誰首創(chuàng)“對數(shù)”這種高級運算的呢？在數(shù)學史上，一般認為對數(shù)的發(fā)明者是16世紀末到17