高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 2.2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修1

1、2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)a版必修1中第二章對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時(shí)，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的入門對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來(lái)比較困難而對(duì)數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)類型的拓廣，同時(shí)在解決一些日常生活問(wèn)題及科研中起著十分重要的作用通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念，從而進(jìn)一步深化對(duì)對(duì)數(shù)模型的認(rèn)識(shí)與理解，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)做好準(zhǔn)備同時(shí)，通過(guò)對(duì)對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析現(xiàn)階段大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動(dòng)性不

2、夠，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足，對(duì)數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感通過(guò)對(duì)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已多次體會(huì)了對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉因此，學(xué)生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對(duì)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，故應(yīng)通過(guò)指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽探索和靈活運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)方法設(shè)計(jì)思想學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性在教學(xué)重難點(diǎn)上，步步設(shè)問(wèn)、啟發(fā)學(xué)生的思維，通過(guò)課堂練習(xí)、探究活動(dòng)、學(xué)生討論的方式來(lái)加深理解，

3、更好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)教學(xué)目標(biāo)1理解對(duì)數(shù)的概念，了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并形成技能2通過(guò)實(shí)例使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；通過(guò)師生觀察分析得出對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化3通過(guò)學(xué)生分組進(jìn)行探究活動(dòng)，掌握對(duì)數(shù)的重要性質(zhì)通過(guò)做練習(xí)，使學(xué)生感受到理論與實(shí)踐的統(tǒng)一4培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)以及在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)的概念；(2)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化難點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)概念的理解；(2)對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解教學(xué)環(huán)節(jié)

4、教學(xué)程序及設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例(3分鐘)1一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭(1)取5次，還有多長(zhǎng)？(2)取多少次，還有0.125尺？分析：(1)為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得5，(2)可設(shè)取x次，則有x0.125，抽象出：x0.125x？22002年我國(guó)gdp為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過(guò)多少年gdp是2002年的2倍？分析：設(shè)經(jīng)過(guò)x年，則有(18%)x2，抽象出：(18%)x2x？讓學(xué)生根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，列出方程這兩個(gè)例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學(xué)生思考如何表示x，激發(fā)其對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對(duì)數(shù)是必要的講授

5、新課一、對(duì)數(shù)的概念(3分鐘)一般地，如果axn(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底n的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作xlogan，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)注意：(1)底數(shù)的限制：a0且a1；(2)對(duì)數(shù)的書寫格式.正確理解對(duì)數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的確定做準(zhǔn)備同時(shí)注意對(duì)數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯(cuò)誤二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘)冪底數(shù)a對(duì)數(shù)底數(shù)指數(shù)b對(duì)數(shù)冪n真數(shù)思考：(1)為什么對(duì)數(shù)的定義中要求底數(shù)a0且a1?(2)是否是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)呢？負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)讓學(xué)生了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，明確對(duì)數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和n位置的不同，及它們的含義

6、互化體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化這個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.三、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)(2分鐘)(1)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)log10n，簡(jiǎn)記為lg n；(2)自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e2.718 28為底的對(duì)數(shù)logen，簡(jiǎn)記為lnn.(在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以e為底的對(duì)數(shù))注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書寫這兩個(gè)重要對(duì)數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準(zhǔn)備課堂練習(xí)(7分鐘)1將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：(1)2416；(2)33；(3)5a20；(4)b0.45.2將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：(1)log51253；(2)2；(3)log10a1.069.3求下列各式的值：(1)log264；(2)log927.本練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立閱讀課

7、本例1和例2后思考完成，從而熟悉對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解并要求學(xué)生指出對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)四、對(duì)數(shù)的性質(zhì)(12分鐘)探究活動(dòng)1求下列各式的值：(1)log310；(2)lg 10；(3)log0.510；(4)ln10.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？“1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga10(a0且a1)，類比：a01(a0且a1)探究活動(dòng)由學(xué)生獨(dú)立完成后，通過(guò)思考，然后分小組進(jìn)行討論，最后得出結(jié)論通過(guò)練習(xí)與討論的方式，讓學(xué)生自己得出結(jié)論，從而能更好地理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生類比、分析、歸納的能力.探究活動(dòng)2求下列各式的值：(1)log331；(2

8、)lg 101；(3)log0.50.51；(4)lne1.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa1(a0且a1)，類比：a1a(a0且a1)探究活動(dòng)3求下列各式的值：(1)3；(2)0.6；(3)89.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對(duì)數(shù)恒等式：n(a0且a1)探究活動(dòng)4求下列各式的值：(1)log3344；(2)log0.90.955；(3)lne88.思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？對(duì)數(shù)恒等式：logaann(a0且a1).講授新課小結(jié)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；“1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga10；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa1；對(duì)數(shù)恒等式：n；對(duì)數(shù)恒等式：logaann.(a0且a1)將學(xué)生歸納的

9、結(jié)論進(jìn)行小結(jié)，從而得到對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想(3分鐘)1引入對(duì)數(shù)的必要性對(duì)數(shù)的概念一般地，如果axn(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底n的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作xlogan.2指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系3對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；loga10；logaa1；對(duì)數(shù)恒等式：n；logaann.總結(jié)是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容同時(shí)，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識(shí)體系中，發(fā)揮承上啟下的作用為下一課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算打下扎實(shí)的基礎(chǔ)作業(yè)布置一、課本習(xí)題2.2a組第1,2題二、已知loga2x，loga3y，求a3x2y的值三、求下列各式的值：；.作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，教師可以在

10、作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，彌補(bǔ)教學(xué)中的不足板書設(shè)計(jì)2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算第1課時(shí)引例1引例2一、對(duì)數(shù)的定義二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化練習(xí)三、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)四、小結(jié)五、作業(yè)布置本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣；在講授新課部分，通過(guò)結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；最后通過(guò)課堂練習(xí)來(lái)鞏固學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的掌握第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)通過(guò)實(shí)例推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、求值、化簡(jiǎn)，并掌握化簡(jiǎn)求值的技能(2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題(3)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問(wèn)題的精

11、神和態(tài)度2過(guò)程與方法(1)讓學(xué)生經(jīng)歷并推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識(shí)3情感態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生感覺對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)導(dǎo)入新課思路1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1對(duì)數(shù)的定義2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化abnloganb.3重要性質(zhì)：(1)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；(2)loga10，logaa1；(3)對(duì)數(shù)恒等式n.下面我們接著講對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)思路2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)的時(shí)候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，即指數(shù)運(yùn)算法則：am·anamn；am&

12、#247;anamn；(am)namn；.(a0且a1)從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對(duì)數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運(yùn)算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點(diǎn)出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)推進(jìn)新課(1)在上節(jié)課中，我們知道，對(duì)數(shù)運(yùn)算可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)嗎？(2)如我們知道amm，ann，am·anamn，那mn如何表示，能用對(duì)數(shù)式運(yùn)算嗎？(3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)能得出其他對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？(4)你能否用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)言描述上述結(jié)論？如果能，請(qǐng)描述.(5)上述運(yùn)算性質(zhì)

13、中的字母的取值有什么限制嗎？(6)上述結(jié)論能否推廣呢？(7)學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對(duì)我們進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算帶來(lái)哪些方便呢？討論結(jié)果：(1)通過(guò)問(wèn)題(2)來(lái)說(shuō)明(2)若am·anamn，mam，nan，于是mnamn，由對(duì)數(shù)的定義得到mammlogam，nannlogan，mnamnmnlogamn，logamnlogamlogan.因此mn可以用對(duì)數(shù)式表示(3)令mam，nan，則am÷anamn，所以mnloga.又由mam，nan，所以mlogam，nlogan.所以logamloganmnloga，即logalogamlogan.設(shè)mam，則mn(am)namn.由對(duì)數(shù)的定義，所以

14、logamm，logamnmn.所以logamnmnnlogam，即logamnnlogam.這樣我們得到對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：如果a0，a1，m0，n0，則有l(wèi)oga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)(4)以上三個(gè)性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)：兩數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于各數(shù)的對(duì)數(shù)的和；性質(zhì)：兩數(shù)商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；性質(zhì)：冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)(5)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，所以要求a0，a1，m0，n0.(6)性質(zhì)可以推廣到n個(gè)數(shù)的情形：即loga(m1m2m3mn)logam1logam2logam3logamn(其中

15、a0，a1，m1，m2，m3，mn均大于0)(7)縱觀這三個(gè)性質(zhì)我們知道，性質(zhì)的等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算性質(zhì)的等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算性質(zhì)從左往右仍然是降級(jí)運(yùn)算利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可以使兩正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算，方便了對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga.活動(dòng)：學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把整體分解成部分對(duì)(1)loga，可先利用性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再

16、利用性質(zhì)，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和對(duì)(2)loga，可先利用性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再利用性質(zhì)，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和，最后利用性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的積解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz；(2)logaloga(x2)logalogax2logaloga2logaxlogaylogaz.點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算變式訓(xùn)練1若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正確的個(gè)數(shù)為()logax·logayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logalog

17、ax÷logay；loga(xy)logax·logay.a0 b1 c2 d3答案：a2若a0，a1，xy0，nn*，下列式子正確的個(gè)數(shù)為()(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga；loga；logax；logaxloga；logaxnnlogax；logaloga.a3 b4 c5 d6答案：b例2 求值：(1)；(2)log3.解：(1)解法一：設(shè)，則()x3()3，所以x3.解法二：.(2)解法一：令xlog3，則3x，即3x33，所以x3.解法二：log3log3333.例3 計(jì)算：(1)lg 142lg lg 7lg 18

18、；(2)；(3).解：(1)解法一：lg 142lglg 7lg 18lg(2×7)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32×2)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.解法二：lg 142lglg 7lg 18lg 14lg2lg 7lg 18lglg 10.(2).(3).點(diǎn)評(píng)：此例題體現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡(jiǎn)形式，同時(shí)注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯(cuò)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用、運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視例4 設(shè)xlog23，求的值活動(dòng)：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，學(xué)生有困難及

19、時(shí)提示并評(píng)價(jià)學(xué)生的思考過(guò)程本題主要考查對(duì)數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)先利用對(duì)數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡(jiǎn)再代入求值解法一：由xlog23，得2x3,2x，所以323×2.解法二：由xlog23，得2x3,2x，所以22x122x3212.課本本節(jié)練習(xí)第1,2,3題【補(bǔ)充練習(xí)】1用logax，logay，logaz，loga(xy)，loga(xy)表示下列各式：(1)loga；(2)loga；(3)；(4)loga；(5)loga；(6)loga3.解：(1)logalogalogay2zlogax(2logaylogaz)logax2logaylogaz；(2)logal

20、ogaxlogalogax(logaz3logay2)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz；(3)logaxlogaxlogaylogaz；(4)logalogaxyloga(x2y2)logaxlogayloga(xy)(xy)logaxlogayloga(xy)loga(xy)；(5)logalogalogayloga(xy)loga(xy)logay；(6)loga33logaylogaxloga(xy)3logay3logax3loga(xy)2已知f(x6)log2x，則f(8)等于()a b8 c18 d解析：因?yàn)閒(x6)log2x，x0，令x68，得，所

21、以f(8).另解：因?yàn)閒(x6)log2xlog2x6，所以f(x)log2x.所以f(8)log28log223.答案：d已知x，y，z0，且lg xlg ylg z0，求的值活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由于所求的式子是三項(xiàng)積的形式，每一項(xiàng)都有指數(shù)，指數(shù)中又有對(duì)數(shù)，因此想到用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如果能對(duì)所求式子取對(duì)數(shù)，那可能會(huì)好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t.解：令，則lg tlg xlg ylg z3，所以t103即為所求1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是性質(zhì)的逆向使用3對(duì)數(shù)與指數(shù)形式比較：式子abnloganb名稱a冪的底數(shù)

22、b冪的指數(shù)n冪值a對(duì)數(shù)的底數(shù)b以a為底的n的對(duì)數(shù)n真數(shù)運(yùn)算性質(zhì)am·anamn；am÷anamn；(am)namn；(a0，a1，m，nr)loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)；(a0，a1，m0，n0)課本習(xí)題2.2a組3,4,5.在前面研究了對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，推出了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過(guò)程，加深對(duì)公式的理解和記憶，對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識(shí)類比指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)理解記憶，強(qiáng)化性質(zhì)的使用條件，注意對(duì)數(shù)式中每一個(gè)字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所

23、以安排教學(xué)時(shí)，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)第3課時(shí)作者：劉菲教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問(wèn)題的精神和態(tài)度2過(guò)程與方法讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式的過(guò)程，歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí)3情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；感受對(duì)數(shù)的廣泛應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式及其應(yīng)用難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式導(dǎo)入新課思路1問(wèn)題：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？a0，且a1，c0，且c1，b0，logab

24、.教師直接點(diǎn)出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用思路2前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì)；2對(duì)數(shù)恒等式；3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么不同底數(shù)的對(duì)數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用思路3從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對(duì)數(shù)的底，數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過(guò)大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表，只要通過(guò)查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，這樣，如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對(duì)數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù)，那么，怎么

25、轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個(gè)公式，即對(duì)數(shù)的換底公式，從而引出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用推進(jìn)新課(1)已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，求log23的值；(2)根據(jù)(1)，如a0，a1，你能用含a的對(duì)數(shù)式來(lái)表示log23嗎？(3)更一般地，我們有l(wèi)ogab，如何證明？(4)證明logab的依據(jù)是什么？(5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？(6)換底公式的意義是什么？有什么作用？活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)提出的問(wèn)題，交流討論，回顧所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時(shí)指導(dǎo)，必要時(shí)提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力對(duì)(1)目前還沒(méi)有學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它

26、們又不是同底，因此可考慮對(duì)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來(lái)解；對(duì)(2)參考(1)的思路和結(jié)果的形式，借助對(duì)數(shù)的定義可以表示；對(duì)(3)借助(1)(2)的思路，利用對(duì)數(shù)的定義來(lái)證明；對(duì)(4)根據(jù)證明的過(guò)程來(lái)說(shuō)明；對(duì)(5)抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，用準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述出來(lái)，一般是按照從左到右的形式；對(duì)(6)換底公式的意義就在于對(duì)數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了討論結(jié)果：(1)因?yàn)閘g 20.301 0，lg 30.477 1，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，所以100.301 02,100.477 13.不妨設(shè)log23x，則2x3，所以(100.301 0)x100.477 1,100.301 0×x100.477 1，即0.

27、301 0x0.477 1，x.因此log231.585 0.(2)根據(jù)(1)我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg 2與lg 3表示，是通過(guò)對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來(lái)是以2為底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對(duì)數(shù)，不妨設(shè)log23x，由對(duì)數(shù)定義知道，2x3，兩邊都取以a為底的對(duì)數(shù)，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是log23.這樣log23就表示成了以a為底的3的對(duì)數(shù)與以a為底的2的對(duì)數(shù)的商(3)證明logab.證明：設(shè)logabx，由對(duì)數(shù)定義知道，axb；兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得logcaxlogcbxlogcalogcb；所以x，即logab.一般地，l

28、ogab(a0，a1，c0，c1，b0)稱為對(duì)數(shù)的換底公式(4)由(3)的證明過(guò)程來(lái)看，換底公式的證明要緊扣對(duì)數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若m0，n0，mn，則logamlogan.(5)一個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對(duì)數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的商，這樣就把一個(gè)對(duì)數(shù)變成了與原來(lái)對(duì)數(shù)的底數(shù)不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)的商(6)換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同底問(wèn)題，為使用運(yùn)算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡(jiǎn)求值說(shuō)明：我們使用的計(jì)算器中，“l(fā)og”通常是常用對(duì)數(shù)，因此要使用計(jì)算器計(jì)算對(duì)數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)如log23，即計(jì)算log23的值的按鍵順序?yàn)椋骸發(fā)og”“3”“÷”“

29、log”“2”“”再如：在前面要求我國(guó)人口達(dá)到18億的年份，就是要計(jì)算xlog1.01，所以xlog1.0132.883 733(年)可以看到運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，有時(shí)要方便得多例1 求log89·log2732的值活動(dòng)：學(xué)生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時(shí)提示，學(xué)生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，可以化成常用對(duì)數(shù)或以2為底的對(duì)數(shù)，以3為底的對(duì)數(shù)也可解法一：log89·log2732··.解法二：log89·log2732··.解法三：log89·log2732

30、83;·.點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵例2 計(jì)算：(1)；(2)log43·log92.活動(dòng)：學(xué)生積極交流，教師引導(dǎo)，學(xué)生展示自己的思維過(guò)程，教師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)及時(shí)評(píng)價(jià)先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求值；對(duì)(1)根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)對(duì)(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，再化簡(jiǎn)求值解：(1)原式3.(2)log43·log92·log23·log32log22.點(diǎn)評(píng)：在利用對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況是根據(jù)題中所給的對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如

31、果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對(duì)數(shù)進(jìn)行換底例3 (1)證明1logab；(2)已知，求證：.活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，教師適當(dāng)提示：(1)運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對(duì)數(shù)可直接得解，或利用對(duì)數(shù)的定義，分別把三個(gè)式子設(shè)出，再由定義轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；(2)這是條件證明問(wèn)題，應(yīng)在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉(zhuǎn)化成積的形式，從題目的結(jié)論來(lái)看，真數(shù)是積的形式，因此要?jiǎng)?chuàng)造對(duì)數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來(lái)解(1)證法一：設(shè)logaxp，logabxq，logabr，則xap，x(ab)qaqbq，bar.所以ap(ab)qaq(1r)，從而pq(1

32、r)因?yàn)閝0，所以1r，即1logab.證法二：顯然x0且x1，x可作為底數(shù)，左邊logaab1logab右邊(2)證明：因?yàn)閘oga1b1loga2b2loganbn，所以由換底公式得.由等比定理，所以.所以.所以.點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉(zhuǎn)化，換底公式可完成不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可正用，又可逆用，使用時(shí)的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)例4 20世紀(jì)30年代，里克特(c.f.richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)m，其計(jì)算公式為ml

33、g alg a0，其中，a是被測(cè)地震的最大振幅，a0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差)(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1)；(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍(精確到1)?活動(dòng)：學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，學(xué)生交流，展示自己的思維過(guò)程，教師強(qiáng)調(diào)實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng)根據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)模型及其含義來(lái)解決這是實(shí)際問(wèn)題，但題目給出了數(shù)學(xué)模型即關(guān)系式，關(guān)系式是以常用對(duì)數(shù)的形式給出，因此要利用對(duì)數(shù)的定義和

34、運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)注意要使實(shí)際問(wèn)題有意義解：(1)mlg 20lg 0.001lglg 20 000lg 2lg 1044.3.因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震(2)由mlg alg a0可得mlg，即10m，所以aa0·10m.當(dāng)m7.6時(shí)，地震的最大振幅為a1a0·107.6；當(dāng)m5時(shí)，地震的最大振幅為a2a0·105.所以，兩次地震的最大振幅之比是107.65102.6398.答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍點(diǎn)評(píng)：利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)課本本節(jié)練習(xí)4.【補(bǔ)充練習(xí)】(1)已知lg 2a，lg 3b，則等于()a

35、b c d(2)已知2lg(x2y)lg xlg y，則的值為()a1 b4 c1或4 d4或1(3)若3a2，則log382log36_.(4)lg 12.5lglg 0.5_.答案：(1)c(2)b(3)a2(4)1探究換底公式的其他證明方法：活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)，大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)證法一：設(shè)loganx，則axn，兩邊取以c(c0且c1)為底的對(duì)數(shù)，得logcaxlogcn，所以xlogcalogcn，即x.故logan.證法二：由對(duì)數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c0且c1)為底的對(duì)數(shù)，得logcnlogan·logca，所以l

36、ogan.證法三：令logcam，logann，則acm，nan，所以n(cm)ncmn.兩邊取以c(c0且c1)為底的對(duì)數(shù)，得mnlogcn，所以n，即logan.對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式logan(c0且c1，a0且a1，n0)的應(yīng)用包括兩個(gè)方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用，前者較為容易，而后者則易被學(xué)生忽視，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說(shuō)明：例：化簡(jiǎn)：.解：原式lognmlognmlognmlognm4lognm.1對(duì)數(shù)換底公式；2換底公式可用于對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值或證明若對(duì)數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可

37、把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以任意數(shù)a(a0且a1)為底的對(duì)數(shù)式的形式課本習(xí)題2.2a組6,11,12.【補(bǔ)充作業(yè)】1已知，求log81175的值解：因?yàn)閘og277log37a，所以log373a.又因?yàn)閘og35b，所以log81175log3(25×7)(log325log37)(2log35log37).2求證：(log23log49log827)log9.證明：左邊(log23log49log827log2n3n)log9()·log932nlog23·log3log23·log32右邊本堂課主要是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它在以后的學(xué)習(xí)中有

38、著非常重要的應(yīng)用，由于對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是在同底的基礎(chǔ)上，因此利用對(duì)數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底顯得非常重要，有時(shí)也可以逆用對(duì)數(shù)的換底公式達(dá)到我們的目的，特別是實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用十分廣泛，因此要反復(fù)訓(xùn)練，強(qiáng)化記憶，所以設(shè)計(jì)了大量的例題與練習(xí)，授課時(shí)要加快速度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，多運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段【備選例題】【例1】化簡(jiǎn)：···.解：原式···lognm·lognm·lognm·lognm(lognm)4.【例2】求證：logab(a0，b0且a1，b1)證法一：logab.證法二：logab.【例3】試證：.證明：logx(2×3×4××n)logx(1×2×3×4××n)logxn！.【知識(shí)拓展】對(duì)數(shù)的創(chuàng)立對(duì)數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰(shuí)首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是16世紀(jì)末到17