向量共線問(wèn)題證明共線問(wèn)題常用方法

1、 向量的共線問(wèn)題向量的共線問(wèn)題 證明共線問(wèn)題常用的方法證明共線問(wèn)題常用的方法. .（1 1）向量）向量 共線共線 存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù),使使(2)(2)向量向量 =(x=(x1 1,y,y1 1), ), =(x=(x2 2,y,y2 2) )共線共線 x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0;=0;(3)(3)向量向量 與與 共線共線(4)(4)向量向量 與與 共線共線 存在不全為零的實(shí)數(shù)存在不全為零的實(shí)數(shù)1 1,2 2，使，使a b a0) 、 （ba; ababa ba b ; ab12ab0.【例例1 1】已知已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4

2、,7),A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判斷兩線試判斷兩線段段 是否共線？是否共線？【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量題目中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量 的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示. .要判斷要判斷 是否共線，首先看是否是否共線，首先看是否滿足滿足 ，再說(shuō)明線段，再說(shuō)明線段ABAB與與CDCD是否有公共點(diǎn)是否有公共點(diǎn). .ABCD 與ABCD 和ABCD 與ABCD 【規(guī)范解答規(guī)范解答】 =(2,4), =(2,4), =(-1,-6),=(-1,-6),-1-14-(-6)4-(-6)2=-4+12=80.2=-4+12=80. 不共

3、線，即點(diǎn)不共線，即點(diǎn)C C不在直線不在直線ABAB上，同理點(diǎn)上，同理點(diǎn)D D也不在直也不在直線線ABAB上，直線上，直線ABAB與與CDCD不共線，即線段不共線，即線段ABAB與與CDCD不共線不共線. .AB AC ABAC 與【例例2 2】已知已知 =(1,2),=(1,2), =(-3,2).=(-3,2).若若平行，求實(shí)數(shù)平行，求實(shí)數(shù)k k的值的值. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問(wèn)題，要求本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問(wèn)題，要求學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件. .通過(guò)兩向量共線可得坐標(biāo)的通過(guò)兩向量共線可得坐標(biāo)的關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的

4、值關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值. .abka2b2a4b與【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一：向量方法一：向量 平行，則存在唯平行，則存在唯一實(shí)數(shù)一實(shí)數(shù)，使，使 =k(1,2)+2(-3,2)=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),(k-6,2k+4)=(14,-4).(k-6,2k+4)=(14,-4).即實(shí)數(shù)即實(shí)數(shù)k k的值為的值為-1.-1.ka2b2a4b與ka2b2a4b . ka2b2a4b1k614 ,22k44 ,k1. 解得方法二：方法二： =k(1

5、,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，平行，（k-6k-6）(-4)-(2k+4)(-4)-(2k+4)14=0.14=0.解得解得k=-1.k=-1.ka2b2a4bka2b2a4b與 向量的夾角和垂直問(wèn)題向量的夾角和垂直問(wèn)題1.1.兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式. .非零向量非零向量 =(x=(x1 1,y,y1 1),), =(x=(x2 2，y y2 2) )的夾角為的夾角為，則有，則有2.2.兩向量垂直的條件兩向量垂

6、直的條件. .ab121222221122x xy ya bcos.a bxyxy 1212aba b0 x xy y0. 要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件坐標(biāo)表示的區(qū)別坐標(biāo)表示的區(qū)別. .【例例3 3】設(shè)兩個(gè)向量設(shè)兩個(gè)向量 ，滿足，滿足 |=2,|=2,| |=1,|=1, 的夾角為的夾角為 ，若向量，若向量 的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t t的范圍的范圍. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出向量的夾角以及題目中給出向量的夾角以及 =2=2和和| | |=1|=1等條件，由公式等條件，由公式cos=cos= 可得可得若為鈍角，則若為鈍

7、角，則coscos0 0且且cos-1cos-1，即，即 0.0.同時(shí)也應(yīng)注意向量的共線反向這同時(shí)也應(yīng)注意向量的共線反向這一情況一情況. .12ee 與1e2e 12ee 與312122te7eete 與1e2e a bab a b 【規(guī)范解答規(guī)范解答】由已知由已知為鈍角，為鈍角，2t2t2 2+15t+70,+15t+70,得得-7t-7t . .又由又由tt的取值范圍是（的取值范圍是（-7-7， ）( ( , , ).).1212e ee e cos13 ，222121211222(2te7e ) (ete )2te2t7 ee7te2t15t7. 1212122te7eete,(0) 2

8、t14,t.7t2 14212142【例例4 4】求證：求證：ABCABC的三條高線交于一點(diǎn)的三條高線交于一點(diǎn). .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對(duì)邊垂直然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對(duì)邊垂直. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】如圖，已知如圖，已知ADAD，BEBE，CFCF是是ABCABC的三條高，設(shè)的三條高，設(shè)BEBE，CFCF交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H，且令，且令可得可得因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运?運(yùn)算并化簡(jiǎn)得運(yùn)算并化簡(jiǎn)得ABb,ACc,AHh ，BHhb,CHhc,BCcb. BHAC,CHAB,

9、(hb) c0 (hc) b0, ，(hb) c(hc) b ，hcb0,所以所以又又ADBCADBC且且AHAD=A,AHAD=A,所以所以A A、H H、D D三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以所以ADAD，BEBE，CFCF相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)H.H.即即ABCABC的三條高交于一點(diǎn)的三條高交于一點(diǎn). .AHBC ， 向量模的問(wèn)題向量模的問(wèn)題 解決向量模的問(wèn)題常用的策略解決向量模的問(wèn)題常用的策略（1 1）應(yīng)用公式：）應(yīng)用公式： = = ( (其中其中 =(x,y);=(x,y);（2 2）應(yīng)用三角形或平行四邊形法則；）應(yīng)用三角形或平行四邊形法則；（3 3）應(yīng)用向量不等式應(yīng)用向量不等式 (4)(4)

10、研究模的平方研究模的平方a22xyaababab22abab.【例例5 5】【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由 =1=1，設(shè)出，設(shè)出 的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算. .ab1, 3a2b3,3ab.設(shè)求的值ab a,b 【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一：方法一：223a2b39a12a b4b9. ，1ab1,a b.3 又 222213ab(3ab)9a6a bb96112,33ab2 3. 故方法二：設(shè)方法二：設(shè) =(x=(x1 1,y,y1 1),),

11、=(x=(x2 2,y,y2 2),), =1,x=1,x1 12 2+y+y1 12 2=x=x2 22 2+y+y2 22 2=1.=1. =(3x =(3x1 1-2x-2x2 2,3y,3y1 1-2y-2y2 2),), = =3, = =3,xx1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2= ,= ,abab 3a2b3a2b2212123x2x3y2y132212123ab3xx3yy 2222112212129 xyxy6(x xy y )19 162 3.3 待定系數(shù)法解決向量問(wèn)題待定系數(shù)法解決向量問(wèn)題 待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非

12、常重要的方法，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來(lái)表示這樣的結(jié)果，通過(guò)變形比較，待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來(lái)表示這樣的結(jié)果，通過(guò)變形比較，建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出相應(yīng)的字母（或參數(shù)）的值，進(jìn)而使問(wèn)題獲解，這種方法稱相應(yīng)的字母（或參數(shù)）的值，進(jìn)而使問(wèn)題獲解，這種方法稱為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應(yīng)用，如平行為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應(yīng)用，如

13、平行向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式. .【例例6 6】如圖，在如圖，在ABCABC中，中，M M是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，N N在在ACAC上且上且AN=2NCAN=2NC，AMAM與與BNBN交于點(diǎn)交于點(diǎn)P P，求求APPMAPPM的值的值. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出了題目中給出了M M點(diǎn)是點(diǎn)是ABCABC的邊的邊BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ACAC邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)N N滿足滿足AN=2NCAN=2NC，欲求，欲求APPMAPPM的值，的值，可適當(dāng)選取基底表示出可適當(dāng)選取基底表示出 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)A A、P P、M

14、 M共線，若有共線，若有 則則為為APPMAPPM的值的值. .AP,PM ，APPM ，【規(guī)范解答規(guī)范解答】 AA、P P、M M與與B B、P P、N N共線共線, , APPM=41.APPM=41.1221BMe ,CNeAMACCM3ee 設(shè)，12BN2ee , 1212APAMe3e,BPBN2ee. BABPPABCCA, 1122122eee3e2e3e , 42253335 ，4APAM,5 平面向量的應(yīng)用平面向量的應(yīng)用 平面向量?jī)蓚€(gè)方面的應(yīng)用平面向量?jī)蓚€(gè)方面的應(yīng)用(1)(1)在平面幾何中的應(yīng)用在平面幾何中的應(yīng)用. .向量的加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾向量的

15、加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題. .(2)(2)在物理中的應(yīng)用在物理中的應(yīng)用. .主要解決力、位移、速度等問(wèn)題主要解決力、位移、速度等問(wèn)題. .【例例7 7】已知正方形已知正方形ABCD,EABCD,E、F F分別是分別是CDCD、ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BEBE、CFCF交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.P.求證：（求證：（1 1）BECFBECF；（；（2 2）AP=AB.AP=AB.【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題欲求證線段本題欲求證線段垂直和相等，可轉(zhuǎn)化

16、為向量的垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問(wèn)題垂直和向量的模相等問(wèn)題. .已知正方形已知正方形ABCDABCD，可建系設(shè)點(diǎn)，把，可建系設(shè)點(diǎn)，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，用向量的有關(guān)知識(shí)解決向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，用向量的有關(guān)知識(shí)解決. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOyxOy，其中，其中A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，不妨設(shè)不妨設(shè)AB=2AB=2，則則A(0,0),B(2,0),C(2,2),A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).E(1,2),F(0,1).(1) (1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)=(1,2)-(2,0)

17、=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)=(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1=-1(-2)+2(-2)+2(-1)=0(-1)=0， 即即BECF.BECF.BEOEOB CFOFOC BE CF BECF ，（2 2）設(shè)）設(shè)P(x,y)P(x,y)，則，則 = =（x,y-1x,y-1）, , =(-2,-1)=(-2,-1)，-x=-2(y-1)-x=-2(y-1)，即，即x=2y-2.x=2y-2.同理由同理由 ，得，得y=-2x+4,y=-2x+4,代入代入x=2y-2.x=2y-2.FPCFFPCF，BPBE 686 8xyP( , ).555 5解得

18、，即222268AP( )( )4AB55 ，APABAPAB. ，即【例例8 8】如圖所示，求兩個(gè)力如圖所示，求兩個(gè)力的合力的合力 的大?。ň_到的大?。ň_到0.1 N0.1 N）和）和方向（精確到分）方向（精確到分）. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題中給出兩個(gè)力的大小題中給出兩個(gè)力的大小及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角形中解決形中解決. .12F F 、F【規(guī)范解答規(guī)范解答】設(shè)設(shè) =(a=(a1 1,a,a2 2),), =(b=(b1 1,b,b2 2),),則則a a1 1=300cos30=300cos30259.8

19、,259.8,a a2 2=300sin30=300sin30=150.0=150.0，b b1 1=-200cos45=-200cos45-141.4,-141.4,b b2 2=200sin45=200sin45141.4,141.4,所以所以 =(259.8,150.0),=(259.8,150.0), =(-141.4,141.4),=(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),=(118.4,291.4),2F 12FFF 1F1F1F設(shè)設(shè) 與與x x

20、軸的正向夾角為軸的正向夾角為,則則tan=tan= 2.461 1.2.461 1.由由 的坐標(biāo)知的坐標(biāo)知是第一象限的角，所以是第一象限的角，所以676753.53.所以兩個(gè)力的合力是所以兩個(gè)力的合力是314.5 N314.5 N，與，與x x軸的正方向的夾角為軸的正方向的夾角為67675353，與，與y y軸的夾角為軸的夾角為22227.7.22F118.4291.4314.5.F291.4118.4F1.1.設(shè)平面向量設(shè)平面向量 = =（3,53,5）, , = =（-2,1-2,1）, ,則則 =( )=( )（A A）（）（7 7，3 3）（）（B B）（）（7,77,7）（）（C C

21、）（）（1,71,7）（）（D D）（）（1,31,3）【解析解析】選選A.A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).aba2ba2b2.2.給出下列各命題：給出下列各命題：（1 1）向量）向量 的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度與向量 的長(zhǎng)度相等；的長(zhǎng)度相等；（2)2)向量向量 與向量與向量 平行，則平行，則 與與 的方向相同或相反；的方向相同或相反；（3 3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4 4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；）兩個(gè)有共同

22、終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5 5）向量）向量 與向量與向量 是共線向量，則點(diǎn)是共線向量，則點(diǎn)A A、B B、C C、D D必在必在同一條直線上；同一條直線上；（6 6）有向線段就是向量，向量就是有向線段）有向線段就是向量，向量就是有向線段. .其中假命題的個(gè)數(shù)為其中假命題的個(gè)數(shù)為( )( )（A A）2 2 （B B）3 3 （C C）4 4 （D D）5 5AB BA ababAB CD 【解析解析】選選C.C.抓住方向、長(zhǎng)度、零向量，結(jié)合作圖判斷抓住方向、長(zhǎng)度、零向量，結(jié)合作圖判斷. .（1 1）真命題）真命題. .（2 2）假命題）假命題. .若若 與與 中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是

23、不確中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的定的. .（3 3）真命題）真命題. .（4 4）假命題）假命題. .終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反相反. .（5 5）假命題）假命題. .共線向量所在的直線可以重合，也可以平行共線向量所在的直線可以重合，也可以平行. .（6 6）假命題）假命題. .向量是用有向線段來(lái)表示的，但并不是有向線向量是用有向線段來(lái)表示的，但并不是有向線段段. .ab3.3.已知已知 =(1,0), =(1,0), =(0,1),=(0,1),則與向量則與向量 垂直的一個(gè)向量垂直的一個(gè)向量為為( )( )（A A） （B B

24、） （C C） （D D）【解析解析】選選C.C.設(shè)設(shè) 則則 =0=0，且且 故故2a+b=02a+b=0，C C項(xiàng)符合項(xiàng)符合. .ij2ij 2ij ij i2jij caibj a,bR ,2ij (aibj) （）22ij1,i j0, 4.4.若若 則則=( )=( )（A A） （B B） （C C） （D D）【解析解析】選選故故=-=- . .1APPB,ABBP3 ，1434434314D.ABAPPBPBPBPBABBPPB.33 ，又435.5.已知直線已知直線ax+by+c=0ax+by+c=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩

25、點(diǎn)，且 則則 =_. =_. 【解析解析】如圖，作如圖，作ODABODAB于于D D，則在則在RtRtAODAOD中，中，OA=1OA=1，AD=AD= ，所以，所以AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120，所以，所以 =1=11 1(-(- )=)= . .答案答案: :AB3 ，OA OB 32OA OB |OA| OB cos120 1212126.6.已知向量已知向量 =(=( ,1),1), 是不平行于是不平行于x x軸的單位向量軸的單位向量, ,且且 則則 = =_. .【解析解析】設(shè)設(shè) =(m,n)=(m,n)，依題意有，依題意有又又 不平行于不平行于x x軸，故軸，故答案答案: : ab3a b3, bb22mn1,3mn3.1mm12n03n.2，解得或，b13b( ,).2213( ,)227.7.如圖，如圖，B B、C C是線段是線段ADAD的三等分點(diǎn)，分別的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出_個(gè)互不相等的非個(gè)互不相等的非零向量零向量. .【解析解析】可設(shè)可設(shè)ADAD的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為3 3，那么長(zhǎng)度為，那么長(zhǎng)度為1 1的向量有的向量有6 6個(gè)，其中個(gè)，其中 長(zhǎng)度為