03第三章復變函數(shù)的積分

1、第3章 復變函數(shù)的積分 復變函數(shù)積分理論是復變函數(shù)的核心內容，復變函數(shù)積分理論是復變函數(shù)的核心內容，關于復變函數(shù)的許多結論都是通過積分來討論的，關于復變函數(shù)的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質，并更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質，并給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數(shù)理論的基礎，我們還將得到解析性質是解析函數(shù)理論的基礎，我們還將得到解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結論函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結論。 3.1: 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分 3.2: 柯西柯西-(古薩古薩)積分定理

2、積分定理3.3: 復合閉路定理復合閉路定理3.4: 科西積分公式科西積分公式3.5: 解析函數(shù)的高階導數(shù)解析函數(shù)的高階導數(shù)3.6: 幾個重要的定理幾個重要的定理3.7: 解析函數(shù)與調和函數(shù)解析函數(shù)與調和函數(shù)本章補充新題型本章補充新題型本章小節(jié)本章小節(jié)本章測試題本章測試題本章基本內容:重點內容: (1) 柯西積分定理柯西積分定理(單、復連通區(qū)域單、復連通區(qū)域); (4) 調和函數(shù)的應用調和函數(shù)的應用； (2) 柯西積分公式柯西積分公式(單、復連通單、復連通,無界區(qū)域無界區(qū)域); (3) 高階導數(shù)公式及其應用高階導數(shù)公式及其應用;3.1 復變函數(shù)的積分3.1.1 復變函數(shù)積分的概念復變函數(shù)積分的概

3、念 在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：向是這樣規(guī)定的：定義定義3.1.1 3.1.1 有向曲線有向曲線 在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：是這樣規(guī)

4、定的： (1) 如果曲線如果曲線 是開口弧段，若規(guī)定它的端點是開口弧段，若規(guī)定它的端點 為起點，為起點， 為終點，則沿曲線為終點，則沿曲線 從從 到到 的方向的方向為曲線為曲線 的正方向（簡稱正向），把正向曲線記的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為為 或或 . 而由而由 到到 的方向稱為的負方向（簡的方向稱為的負方向（簡稱負向），負向曲線記為稱負向），負向曲線記為 .llllppqqqpll(2) 如果如果 是簡單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時針方是簡單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向向為正方向，順時針方向為負方向(3) 如果如果 是復平面上某一個復連通域的邊界曲是復平面上某一

5、個復連通域的邊界曲線，則線，則 的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線 行行走時，區(qū)域總保持在人的左側，因此外部邊界走時，區(qū)域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向為正方向llll定義定義3.1.2 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分 設函數(shù)設函數(shù) 在給定的光在給定的光滑或逐段光滑曲線滑或逐段光滑曲線 上有定義，且上有定義，且 是以是以 為起為起點，點， 為終點的一條有向曲線，如圖為終點的一條有向曲線，如圖3.1所示把所示把 曲線任意分成曲線任意分成n個小弧段，設分點依次個小弧段，設分點依次為為 ,在某

6、小弧段在某小弧段 上任意取一點上任意取一點 ，并作和，并作和 其中其中 ，記，記 的最大長度為的最大長度為( )( , )i ( , )f zu x yx ywvlllab011, , , , ,kknz zzzz1 (1,2,., )kkzzknk1()nnkkksfz1kkkzzz1kkkszz則當則當n無限增大，且無限增大，且 時，時，如果無論對如果無論對l的分法及的分法及 的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟一的極限存在，那么稱這個極限值為函數(shù)沿曲線一的極限存在，那么稱這個極限值為函數(shù)沿曲線l的積分，記作的積分，記作 ，即，即 我們稱之為我們稱之為復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分，簡稱，簡

7、稱復積分復積分 1maxkk ns 0ns( )dlf zz01( )dlim()nkklkf zzfz x y 0za 1kz kz k nzb 圖 3.1 定義定義3.1.3 閉合環(huán)路積分閉合環(huán)路積分 當l為封閉曲線時，那么沿l的積分為， 并稱為復變函數(shù) 的閉合環(huán)路積分（簡稱環(huán)路閉合環(huán)路積分（簡稱環(huán)路積分）積分）. 為了方便，我們還可以在積分中標出環(huán)路積分的方向, 若沿逆時針方向積分，可用環(huán)路積分 表示. 若沿順時針方向積分，可用 表示.()dlfzz( )f z( )dlfzz()dlfzz由此可知，當由此可知，當 ，且小弧段長度的最大值，且小弧段長度的最大值 時，不論對時，不論對l的分

8、法如何，點的分法如何，點 的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于由于 連續(xù)，則連續(xù)，則 都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到(3.1.3)n0(,)kk ( )f z,u v( )d ( , )d( , )d i ( , )d( , )d lllf z zu x y xx y yx y x u x y yvv即我們可以把復積分即我們可以把復積分 的計算化為兩個的計算化為兩個二元實變函數(shù)的曲線積分為便

9、于記憶公式，可二元實變函數(shù)的曲線積分為便于記憶公式，可把把 理解為理解為 ，則，則 上式說明了兩個問題：上式說明了兩個問題： (1) 當當 是連續(xù)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，且l是光滑曲線時，是光滑曲線時，積分積分 一定存在；一定存在； (2) 可以通過兩個二元實變函數(shù)的線可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算積分來計算.( )dlf zz( )df zz(i )(did )uxyv( )dddi( dd )f zzu xyxu yvv( )fz( )dlf zz( )dcfzz3.1.3 復積分的基本性質根根據(jù)據(jù)復復變變函函數(shù)數(shù)積積分分和和曲曲線線積積分分之之間間的的關關系系以以及及曲曲線線積積分分

10、的的性性質質，不不難難驗驗證證復復變變函函數(shù)數(shù)積積分分具具有有下下列列性性質質【3】， 它它們們與與實實變變函函數(shù)數(shù)中中定定積積分分的的性性質質相相類類似似： (1)若若 沿沿 可積，且可積，且 由由 和和 連接而成，則連接而成，則 （3.1.6） (2) 常數(shù)因子常數(shù)因子 可以提到積分號外，即可以提到積分號外，即 （3.1.7） (3) 函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即即 ( )f zll1l2l12( )d( )d( )dlllf z zf z zf z zk( )d( )dllkf zzkf zz1212 ( )( )d( )d(

11、 )dlllf zf z zf z zf z z(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即 （3.1.9） 為為 的負向曲線的負向曲線(5)積分的模不大于被積表達式模的積分，即積分的模不大于被積表達式模的積分，即 (3.1.10) 這里這里 表示弧長的微分，即表示弧長的微分，即 ( )d( )dllf zzf zz ll( )d( ) d( ) dlllf z zf zzf zsds22d(d )(d )sxy【證明】【證明】 因為因為 ，其中其中 分別表示曲線分別表示曲線 上弧段上弧段 對應的弦對應的弦長和弧長，兩邊取極限就得到長和弧長，兩邊取

12、極限就得到111()()()nnnkkkkkkkkkfzfzfs,kkzsl1kkzz( )d( ) d( ) dlllf zzf zzf zs（6）積分估值定理）積分估值定理 若沿曲線若沿曲線 ， 連續(xù)，且連續(xù)，且 在在 上滿足上滿足 ，則，則 (3.1.11)其中其中 為曲線為曲線 的長度的長度lll( )f z( )f z( ) (0)f zmm( )dlf zzmll【證明】【證明】 由于由于 在在 上恒有上恒有 ，所以所以又又 ，則，則 成立。成立。( )f zl( )f zm( ) dddlllf zsm smsml( )d( ) dllf zzf zs( )dlf zzml公式（

13、公式（3.1.2）提供了一種復積分的計算方）提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數(shù)法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數(shù)的曲線積分當曲線積分的積分路徑的曲線積分當曲線積分的積分路徑c由參數(shù)由參數(shù)方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分積分 例例3.1.1 計算計算 ，其中，其中c為從原點到點為從原點到點3+4i的直線段的直線段 dczz【解】【解】 直線的方程可寫成直線的方程可寫成 或或 于是于是 又因又因 由高等數(shù)學理論，其復積分的實部、虛部滿足實由高等數(shù)學理論，其復積分的實部、虛部滿足實積分與路徑無關的條件，所以積分與

14、路徑無關的條件，所以 的值不論的值不論 是怎是怎樣的曲線都等于樣的曲線都等于 ，這說明有些函數(shù)的積分值，這說明有些函數(shù)的積分值與積分路徑無關與積分路徑無關3 ,4 , 01xt ytt () 3 i4, 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2cz zt tt td(i )(did )ddiddccccz zxyxyx x y yy x x ydcz zc21(3 4i)23.1.5 復變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義復變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義而且有對應關系而且有對應關系 則則00ddiddddiddiddddxyxyzxysxyzyxsyxleenee0d (

15、 , )( , ) dd ( , )d( , )dd ( , )( , ) dd ( , )d( , )dxyxyxyxysu x yx yxyu x yxx yysu x yx yyxx yxu x yyvvvv0p l=eeeep neeee故復變函數(shù)的環(huán)路積分為故復變函數(shù)的環(huán)路積分為 由場論知識可知：閉合環(huán)路積分由場論知識可知：閉合環(huán)路積分 的物的物理意義為理意義為, 實部實部 表示向量場表示向量場 沿沿 曲線的環(huán)曲線的環(huán)量虛部量虛部 表示向量場沿曲線表示向量場沿曲線 的通量的通量00( )( , ) i ( , ) d(i )( , )d( , )d +i( , )d( , )ddid

16、llllllf z dzu x yx yxyu x yxx yyx yx u x y yssvvvp lp n( )dlfzz0dlsp lpll0dlsp n早在早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數(shù)論中的年柯西給出了如下定理，它是復變函數(shù)論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為一條基本定理，現(xiàn)稱為柯西積分定理柯西積分定理（簡稱（簡稱柯西定柯西定理理） 定理定理3.2.1 柯西積分定理柯西積分定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 內及其邊界線內及其邊界線l上解析（即為在單連通閉區(qū)域上解析（即為在單連通閉區(qū)域 解析），解析），那么函數(shù)那么函數(shù) 沿邊界沿邊界l或區(qū)域或區(qū)域 內任意閉曲線內任

17、意閉曲線 的積分為的積分為零，即零，即 （3.2.1） 或或 （3.2.2） l d 圖 3.2 l g ()f z( )f zdddl( )d0lf zz ( )d0lf zz 證明：證明：如圖如圖 3.2所示，由于對函數(shù)所示，由于對函數(shù) 在閉區(qū)域解析概念的理解，故函數(shù)的導數(shù)即在閉區(qū)域解析概念的理解，故函數(shù)的導數(shù)即 在區(qū)域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也在區(qū)域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續(xù)的再根據(jù)格林定理有是連續(xù)的再根據(jù)格林定理有 ( )( , ) i ( , )f zu x yx y v( )fz( )dddidd()d di()d dlllddf z zu xyx u y

18、uux yx yxyxyvvvv由于函數(shù)在閉區(qū)域解析，故滿足由于函數(shù)在閉區(qū)域解析，故滿足c-r條件條件代入即得代入即得 , uuxyxy vv( )d0lf z z 如果我們在該閉區(qū)域如果我們在該閉區(qū)域 內任選某一單連通閉區(qū)內任選某一單連通閉區(qū)域域 ，其邊界為，其邊界為 由上述推導中由上述推導中 將將 , 則同理可證明則同理可證明 故結論成立故結論成立. 這個定理是柯西這個定理是柯西(cauchy)于于1825年發(fā)表的，古莎年發(fā)表的，古莎(goursat)于于1900年提出了修改，故又稱為柯西年提出了修改，故又稱為柯西古莎定理古莎定理.dgl, lldg( )d0lf zz 說明：說明：1根據(jù)

19、第二章，函數(shù)在單連通區(qū)域根據(jù)第二章，函數(shù)在單連通區(qū)域d內及閉曲線內及閉曲線l上解析，即為在閉區(qū)域上解析，即為在閉區(qū)域 解析，我們應該理解為函數(shù)在解析，我們應該理解為函數(shù)在比邊界稍大一些的區(qū)域內部也是解析的；比邊界稍大一些的區(qū)域內部也是解析的； 2邊界正方向規(guī)定：當沿邊界線環(huán)行時，其邊界邊界正方向規(guī)定：當沿邊界線環(huán)行時，其邊界線所包圍的解析區(qū)域始終在左邊，則前進的方向為邊界線線所包圍的解析區(qū)域始終在左邊，則前進的方向為邊界線的正方向據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿的正方向據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿逆時針方向為正方向而對于有界復連通區(qū)域，外邊界取逆時針方向為正方向而對于有界復

20、連通區(qū)域，外邊界取逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方向（注意：對于無界區(qū)域則相反，內邊界取順時針方向向（注意：對于無界區(qū)域則相反，內邊界取順時針方向為邊界線的正方向）；為邊界線的正方向）；d3格林（格林（green）定理）定理（或格林公式：在單連通區(qū)域內，或格林公式：在單連通區(qū)域內，若若 有連續(xù)的偏導數(shù)，則有連續(xù)的偏導數(shù)，則 其中其中l(wèi)是區(qū)域是區(qū)域 的邊界；的邊界； 4進一步指出，經(jīng)修改后的柯西古薩積分定理成立進一步指出，經(jīng)修改后的柯西古薩積分定理成立的條件可以弱化為在區(qū)域的條件可以弱化為在區(qū)域 內解析，在邊界上連續(xù)以內解析，在邊界

21、上連續(xù)以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立( , ), ( , )p x y q x y( , )d( , )dd dldqpp x y x q x y yx yxydd3.2.2 不定積分：復積分的牛頓萊不定積分：復積分的牛頓萊布尼茲公式布尼茲公式 定理定理3.2.3 由定理由定理 3.2.2 知道，解析函數(shù)知道，解析函數(shù) 在單連通域在單連通域 內的積分只與起點內的積分只與起點 和終點和終點 有關，假設有關，假設 是區(qū)域是區(qū)域 內連接內連接 和和 的兩條簡單曲線，則的兩條簡單曲線，則 和和 分別稱為積分的上限和下限，當下限分別稱為積分的上

22、限和下限，當下限 固定，而上固定，而上限限 在在 內變動時，積分內變動時，積分 可以看作是上可以看作是上限的函數(shù)，記為限的函數(shù)，記為 （3.2.4） 對對 ，有以下的定理，有以下的定理( )f zd0z1z12,c cd0z0z0z1zz1z1z1120( )d( )d( )dzcczf z zf z zf z z0( )dzzf0( )( )dzzf zf( )f z定理定理 3.2.4 如果如果 在單連在單連通域通域 內處處解析，則內處處解析，則 在在d內也解析，并內也解析，并且且( )( , ) i ( , )f zu x yx y v( )f zd( )( )f zf z【證明【證明】

23、 令令 則則 因為因為 和和 是與路徑無關的，因此是與路徑無關的，因此0( )( )dzzf zf0000( , )( , )(,)(,)ddiddx yx yxyxyu xyxu yvv00( , )(,)( , )ddx yx yp x yu xyv00( , )(,)( , )ddx yx yq x yx u yv( )( , ) i ( , )f zp x yq x y( , )p x y( , )q x y 定理定理3.2.5 任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù) 【證明】【證明】 若若 均為均為 的原函數(shù)，則的原函數(shù)，則 利用原函數(shù)這個關系，我們可以得出：利用原函數(shù)

24、這個關系，我們可以得出： 定理定理3.2.6 若函數(shù)若函數(shù) 在單連通域內處處解析，在單連通域內處處解析， 為為 的一個原函數(shù)，那么的一個原函數(shù)，那么 其中其中 , 為為 中任意兩點上式稱為復積分中任意兩點上式稱為復積分的牛頓萊布尼茲公式：的牛頓萊布尼茲公式：( ),( )g zh z( )f z( )( )0g hghf zf z( )( )g zh zc2zdd( )g z( )f z1z110012( )d( )( )( )zzzzf zzg zg zg z3.2.3 典型應用實例典型應用實例例3.2.2 （非閉合環(huán)路積分中的換元積分法計算積分計算積分 1idzzz212zz12122ii

25、11d|1(i) 122z zz【解法【解法1】 在整個復平面上解析，且在整個復平面上解析，且運用復積分的牛頓萊布尼茲公復積分的牛頓萊布尼茲公式式有2tziz1t 1z 1t 12111ii111dd()d( )1 ( 1) 12222zttz z 【解法解法2】換元積分法 令，則當，有，有；當；當，有，有所以所以 例例3.2.3 求積分求積分 并判斷閉合環(huán)路積分并判斷閉合環(huán)路積分 中換元積分法是否成立中換元積分法是否成立2| | 2d1zz zz2zt122| | 2| |2| |2dd1d12ii11212ztttz ztztt【解法【解法1】 作積分變換作積分變換得：得：? ? ?例3.

26、2.4 計算積分因而積分與路徑無關，可用分部積分法得因而積分與路徑無關，可用分部積分法得i0sin dzz zsinzzii00ii00sin dd( cos ) ( cos )( cos )dzz zzzzzz z ii1icosi sinii(cosi isini)iiee【解】【解】 由于由于 在復平面內處處解析，在復平面內處處解析，3.2.4 柯西積分定理的物理意義柯西積分定理的物理意義 l 1c d 圖 3.4 2c kc 不失一般性，取不失一般性，取n1進行證明進行證明. 有下述定理：有下述定理： （1） （3.3.3）（2） (3.3.4) 定理定理3.3.2 設設 l和和 為復

27、連通區(qū)域內的兩條為復連通區(qū)域內的兩條簡單閉曲線，如圖簡單閉曲線，如圖3.5所示，所示， 在在l內部且彼此內部且彼此不相交，以不相交，以 和和l為邊界所圍成的閉區(qū)域為邊界所圍成的閉區(qū)域 全全含于含于d則對于區(qū)域則對于區(qū)域d內的解析函數(shù)內的解析函數(shù) 有有1c1c1c1d( )f z 1( )d0lcfzz 1( )d( )dlcf zzf zz l 1c a b 1d d 圖圖 3.5 總結：單連通和復連通區(qū)域的柯西定理可以表述為：總結：單連通和復連通區(qū)域的柯西定理可以表述為： (i)在閉單連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿邊界線或區(qū)域在閉單連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿邊界線或區(qū)域內任一閉合曲線的積分為零；內任

28、一閉合曲線的積分為零； (ii)在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿所有邊界線的在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）的積分為零；的積分為零； (iii) 在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，按逆時針方向在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分之和之和關于常用積分符號的說明：為了以后計算環(huán)路積分的方便，在關于常用積分符號的說明：為了以后計算環(huán)路積分的方便，在有界區(qū)域我們規(guī)定記號：有界區(qū)域我們規(guī)定記號： （i）

29、c代表取逆時針方向積分；代表取逆時針方向積分； （ii） 代表順時針方向積分；代表順時針方向積分； （iii）而且）而且 成立成立 上述定理上述定理3.3.2還說明在區(qū)域還說明在區(qū)域 內的一個解析函數(shù)沿閉曲內的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變其值因此可線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變其值因此可得到閉路變形定理得到閉路變形定理( )d( )dccf z zf z z ( )d( )dccf zzf zzc( )d( )dccf zzf zz 0z 1d 3d l l a b c d kd 圖圖 3.6 本定理說明：（本定理說明：（1）設）設 為包含奇點為

30、包含奇點 的任意曲的任意曲線，且線，且 為邊界，為邊界， 為邊界內的曲線為邊界內的曲線. 由圖由圖3.6 容容易看出，當積分路徑由易看出，當積分路徑由 變形為變形為 曲線時，曲線時，考慮一個微小區(qū)域考慮一個微小區(qū)域 （不含奇點）的情況來分析，（不含奇點）的情況來分析，根據(jù)柯西定理有根據(jù)柯西定理有,l l0zl1dlll( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d ( )d0abcdabbccddaabcdbcdaf z zf zzf zzf zzf zzf zzf zzf zz 當分區(qū)無限多時，兩條直線當分區(qū)無限多時，兩條直線 無限接近，且為相反方向。無限接近，且為相反方向。根據(jù)積

31、分性質根據(jù)積分性質,有有 故得到故得到 綜合考慮各個小區(qū)域，自然得到綜合考慮各個小區(qū)域，自然得到 (2) 例如本章例例如本章例3.1.3中，當中，當l為以為以 為中心的正向圓周為中心的正向圓周時：時： ，根據(jù)閉路變形原理，對于包含，根據(jù)閉路變形原理，對于包含 的任何一的任何一條簡單閉曲線條簡單閉曲線 ,都有都有 成立成立,bc da( )d( )d0bcdaf zzf zz( )d( )d( )dabcddcf z zf z zf z z( )d( )dllfzzfzz0z0z0d2ilzzzl00dd2illzzzzzz例例3.3.1 計算計算 ，其中，其中 為圓為圓周周 ，且取正向，且取正

32、向 【解】【解】 要注意要注意 在在 內只有內只有一個奇點一個奇點 ，將，將 分成為分成為 ，則由閉路變形定理則由閉路變形定理 d(i)(3)czzzc2z 1( )(i)(3)f zzz2z iz ( )f z111( )3ii3f zzzd111d(i)(3)3ii3cczzzzzz11113ii3i312i2i03i3iccdzdzzz3.4 柯西積分公式3.4.1 有界區(qū)域的單連通柯西積分公式有界區(qū)域的單連通柯西積分公式 定理定理3.4.1 （柯西積分公式）（柯西積分公式） 如果如果 在有界區(qū)在有界區(qū)域域d處處解析，處處解析，l為為d內的任何一條正向簡單閉曲內的任何一條正向簡單閉曲線，

33、且其內部全含于線，且其內部全含于d, 為為l內的任一點，那么內的任一點，那么 (3.4.1) 稱為柯西積分公式稱為柯西積分公式, 簡稱柯西公式但一定要簡稱柯西公式但一定要注意其與柯西定理稱謂上的區(qū)別注意其與柯西定理稱謂上的區(qū)別( )fz0z001( )()d2ilf zf zzzz由復積分性質知道根據(jù)由復積分性質知道根據(jù) 在在 連續(xù)，則對任意小的連續(xù)，則對任意小的 對應于對應于r足夠小，有足夠小，有 又顯見該積分的值與又顯見該積分的值與r無關這就證明無關這就證明了了 ，即為柯西積分公式，即為柯西積分公式00( )( )ddlkf zf zzzzzzz0000000()( )()dd( )()2

34、i ()dkkkf zf zf zzzzzzzf zf zf zzzz( )f z0z0000( )d2i ()lf zzf zzz0000( )()( )()ddd2kkkf zf zf zf zzzszzzzr 0z d l r k 圖 3.8 對于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)對于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上的值，那么通過上述積分公式，區(qū)域內域邊界上的值，那么通過上述積分公式，區(qū)域內部點上的值就完全確定了部點上的值就完全確定了從這里我們可以得到這樣一個重要從這里我們可以得到這樣一個重要的結論：如果兩個解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處的結論：如果兩個解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個

35、區(qū)域上也相等相等，則它們在整個區(qū)域上也相等【解】（【解】（1）注意到）注意到 在復平面內解析，而在復平面內解析，而 在在積分環(huán)路積分環(huán)路c內，由柯西積分公式得內，由柯西積分公式得 （2）注意到函數(shù)）注意到函數(shù) 在在 內解析，而內解析，而 在在 內，由柯西積分公式得內，由柯西積分公式得i( )zf zeiiiii 1d2i2 iizzzzezeez 2( )5zf zz2z i2z 222| | 2i25dd(5)()i1 2i53zzzzzzzzzzizzz 【解解】根據(jù)柯西積分公式，得到 22| | 52371( )d2i(371)| 2i(371)zzf zzzz故得到故得到 ( )2i(

36、67 )fzz 1 i( )|( 1 i)2i6( 1 i)7= 122i zfzf 0z d r k 圖圖 3.9 1c l 12120000001( )()d2i1( )( ) =dd2i( )( ) dd nnl ccclcccf zf zzzzf zf zzzzzzzf zf zzzzzzz (3.4.3) 上面對柯西積分公式討論了（上面對柯西積分公式討論了（1）單連通區(qū)域）單連通區(qū)域;(2)復連通區(qū)域復連通區(qū)域. 但所涉及的積分區(qū)域都是有限的區(qū)但所涉及的積分區(qū)域都是有限的區(qū)域，若遇到函數(shù)在無界區(qū)域求積分的問題又如何域，若遇到函數(shù)在無界區(qū)域求積分的問題又如何求解？我們可以證明如下的無界

37、區(qū)域柯西積分公求解？我們可以證明如下的無界區(qū)域柯西積分公式仍然成立式仍然成立 1 無界區(qū)域柯西積分公式無界區(qū)域柯西積分公式 定理定理3.4.3 無界區(qū)域中的柯西積分公式（當滿足無界區(qū)域中的柯西積分公式（當滿足 時）：時）： 若在若在 某一閉曲線某一閉曲線l的外部解析，并且當?shù)耐獠拷馕?，并且?時，則對于時，則對于l外部區(qū)域中的外部區(qū)域中的 點有點有 (3.4.4) 這就是無界區(qū)域的柯西積分公式這就是無界區(qū)域的柯西積分公式|,( )0zf z ( )f z| |, ( )0zf z0z001( )()d2ilf zf zzzz 0z rc r 圖 3.10 l 【證明】【證明】 為了將柯西積分公

38、式推廣到這一情況，以原為了將柯西積分公式推廣到這一情況，以原點為中心，作一個半徑為點為中心，作一個半徑為 的大圓的大圓 ，將，將l和點和點 全部全部包含在內，則在包含在內，則在 與與l之間的區(qū)域之間的區(qū)域 解析，如圖解析，如圖3.10應用復連通區(qū)域的柯西積分公式得到應用復連通區(qū)域的柯西積分公式得到 (3.4.5) 這一式子的左邊與這一式子的左邊與 無關，右邊第二項也與無關，右邊第二項也與 無關，無關，因而右邊第一項也應與因而右邊第一項也應與 無關可以進一步證明，當無關可以進一步證明，當 時它趨于零，由此可以肯定它恒等于零時它趨于零，由此可以肯定它恒等于零rr( )f zrcrcr0001( )

39、1( )()dd2i2irclf zf zf zzzzzzzr r12rcrczmzr0m 000| | | |zzzzrz 000( )2 2|d |1 | /rcf zrzmmzzrzzr|,( )0zf z | ( )|f z0( )d0rcf zzzzr 故由故由(3.4.5)得得 這就是適用于無界區(qū)域的柯西積分公式這就是適用于無界區(qū)域的柯西積分公式0( )d0rcf zzzz001( )( )d2ilf zf zzz z 說明：說明： 注意這一公式和有界區(qū)域柯西積分公式的區(qū)別：注意這一公式和有界區(qū)域柯西積分公式的區(qū)別： （1）有界區(qū)域中柯西積分公式中的）有界區(qū)域中柯西積分公式中的 是

40、閉合曲線是閉合曲線 內部內部的一點，而無界區(qū)域柯西積分公式中的的一點，而無界區(qū)域柯西積分公式中的 為為 外部的一外部的一點；點； （2）應用有界柯西積分公式的條件是）應用有界柯西積分公式的條件是 在在 內部解析，內部解析，而無界區(qū)域柯西積分公式的條件是在而無界區(qū)域柯西積分公式的條件是在 外部解析，且外部解析，且當當 時時 ； 0zl0zll( )f zl( )0f z | z （3）應用有界區(qū)域公式的積分沿著逆時針方）應用有界區(qū)域公式的積分沿著逆時針方向進行，而無界區(qū)域的公式積分沿順時針向進行，而無界區(qū)域的公式積分沿順時針方向進行（兩種情況下都是正方向，即為方向進行（兩種情況下都是正方向，即為

41、沿此方向環(huán)行時，所討論的區(qū)域在左手沿此方向環(huán)行時，所討論的區(qū)域在左手邊）邊） 故圖故圖3.10中的取順時針方向即為正方中的取順時針方向即為正方向向1222211d()(3 )()(3 )dd()(3 )11 2i|2i|()(3 )()(3 )11i 2i2i2 ( 2 )( 2 )( 4 )4lllz azazza zaza zaizzzazazazaza zaza zaaaaaa 2. 無界區(qū)域的柯西積分公式應用推廣（當無界區(qū)域的柯西積分公式應用推廣（當 不趨于零時）不趨于零時） 定理定理3.4.4 假設假設 在某一閉曲線在某一閉曲線l的的外部解析，則對于外部解析，則對于l外部區(qū)域中的點外

42、部區(qū)域中的點 有有| |, ( )zf z( )f z0z001( )()d( )2ilf zf zzfzz【證明】設【證明】設 為包含點為包含點 的大圓周的大圓周, 因為函數(shù)因為函數(shù) 在閉回路的在閉回路的 外部解析外部解析,故由復連通區(qū)域的柯西積故由復連通區(qū)域的柯西積分公式得分公式得 由于由于 在無限遠處連續(xù)，即任給在無限遠處連續(xù)，即任給 ，有有 ，其中，其中 有界，于是有界，于是rc0z( )f zl0001( )1( )( )dd2i2irlcf zf zf zzzzzzz( )f z0|( )( )|f zf ( )f 0000001( )|d() |2i1( )1() |dd |2i

43、2i1|( )() |1 | d |2|2|2| 1 rrrrccccf zzfzzf zfzzzzzzf zfzrzzzrzr對于有限遠點對于有限遠點 ，顯然，顯然 得得 故故 成立成立 說明：特別地，當說明：特別地，當 滿足滿足 時，即時，即 ，則，則 即退化為定理即退化為定理3.4.3討論的情形討論的情形0z0|lim0rzrr01( ) limd( )2ircf zzfzz001( )()d( )2ilf zf zzfzz|z ( )0f z ( )0f 001( )()d2ilf zf zzzz3.5.1解析函數(shù)的無限次可微性（高階導數(shù)公解析函數(shù)的無限次可微性（高階導數(shù)公式）式） 作

44、為柯西積分公式的推廣，我們可以證明作為柯西積分公式的推廣，我們可以證明一個解析函數(shù)的導函數(shù)仍為解析函數(shù)，從一個解析函數(shù)的導函數(shù)仍為解析函數(shù)，從而可以證明解析函數(shù)具有任意階導數(shù)請而可以證明解析函數(shù)具有任意階導數(shù)請?zhí)貏e注意：這一點和實函數(shù)完全不一樣，特別注意：這一點和實函數(shù)完全不一樣，一個實函數(shù)一個實函數(shù) 有一階導數(shù)，不一定有二階有一階導數(shù)，不一定有二階或更高階導數(shù)存在或更高階導數(shù)存在3.5 柯西積分公式的幾個重要推論柯西積分公式的幾個重要推論 定理定理3.5.1 解析函數(shù)解析函數(shù) 的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為階導數(shù)為 (3.5.1) 其中其中 為為 的解析區(qū)域的解析

45、區(qū)域 內并包含內并包含 的任一簡單正向的任一簡單正向閉曲線，而且它的內部全屬于閉曲線，而且它的內部全屬于 ( )f x( )010!( )()d (1,2,)2i()nncnf zfzznzzc( )f zdd0z0z d 圖 3.11 d z c z 【證明】如圖【證明】如圖3.11所示所示. 我們先證我們先證 的情況的情況. 為了理解方便，不妨設為了理解方便，不妨設 在邊界在邊界c上取值上取值. 即要證即要證. 設區(qū)域設區(qū)域d內的內的 點的微小變化量為點的微小變化量為 ，其中，其中 在區(qū)域在區(qū)域d內部取值內部取值. 根據(jù)定義根據(jù)定義 由柯西積分公式得到由柯西積分公式得到1n 0201( )

46、()d2i()cffzz0z0z z z z0000()()()limzf zzf zfzz 001( )()d2icff zz001( )()d2icff zzzz0000()( )1( )( )dd2iccf zzf zffzzzzz 001( )d2i()()cfzzz220001( )( )dd2i()() ()ccfzfzzzz從而有從而有 由于函數(shù)在邊界上解析，故在邊界上連續(xù)且有界由于函數(shù)在邊界上解析，故在邊界上連續(xù)且有界. 即存在即存在 ，使得在邊界，使得在邊界 上上 ，設，設 為為 到到邊界邊界 上的點的最短距離，則上的點的最短距離，則i220000( )d( )|d |()

47、()ccz fszfizzzzzz0mcc( )fmd0z0|zd再考慮到再考慮到 是是 與與 的微小偏移量，因此可取它滿的微小偏移量，因此可取它滿足足 ， 則則 所以所以 其中其中l(wèi)為曲線為曲線c的長度，如果令的長度，如果令 ，那么，那么 ，故故 因為因為 ，所以可以重復使用前面的，所以可以重復使用前面的方法，得出方法，得出zz0z2dz002dzzzz 32m lizd 0z 0i 000200()( )1( )( )limd2i()czf zzf zff zzz ( )( )ff0302!( )()d2i()cffzz定理定理3.5.2 若函數(shù)若函數(shù) 在閉圓在閉圓 內及其圓內及其圓周周c

48、上解析，則上解析，則 （3.5.2） 即即 在圓心在圓心 的值等于它在圓周上值的算術平的值等于它在圓周上值的算術平均值上式稱為解析函數(shù)的平均值公式均值上式稱為解析函數(shù)的平均值公式( )f z0zzr2i0001()(re )d2f zf z( )f z0z【證明【證明】 我們知道上的點可以寫成我們知道上的點可以寫成 由柯西積分公式有由柯西積分公式有 則則 這表明一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上取值的平這表明一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上取值的平均值，式均值，式(3.5.2)稱為解析函數(shù)的平均值公式稱為解析函數(shù)的平均值公式li0, (02 )z zre i2i000i00(re )

49、1( )1()d(re )2i2irecf zf zf zzd zzz2i001(re )i2if zd2i0001()(re )d2f zf z柯西不等式）柯西不等式） 若函數(shù)在圓若函數(shù)在圓c: 內部及其邊界上解析，且內部及其邊界上解析，且 ，則，則( )f z0zzr( )f zm( )0!() (1,2,)nnn mfznr【證明【證明】由柯西高階導數(shù)公式由柯西高階導數(shù)公式 所以所以( )010!( )()d (1,2,)2i()nncnf zfzznzz( )0110( )!()d222nnnncf znnmn mfzzrrrzz柯西不等式是對解析函數(shù)各階導數(shù)模的估計柯西不等式是對解析

50、函數(shù)各階導數(shù)模的估計式，表明解析函數(shù)在解析點式，表明解析函數(shù)在解析點 的各階導數(shù)的模與的各階導數(shù)的模與它的解析區(qū)域大小密切相關它的解析區(qū)域大小密切相關0z 在整個復平面上解析的函數(shù)稱為在整個復平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù)整函數(shù)例如多項例如多項式，式，,coszez及及sinz都是整函數(shù)，常數(shù)當然也是整函數(shù)應用柯西不都是整函數(shù)，常數(shù)當然也是整函數(shù)應用柯西不等式可得到關于整函數(shù)的劉維爾定理等式可得到關于整函數(shù)的劉維爾定理莫勒納莫勒納morera定理）若函數(shù)定理）若函數(shù) 在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 內連續(xù)內連續(xù),且對且對 內的任一圍線內的任一圍線 ，有，有 (3.5.5) 則則 在在 內解析內解析( )

51、f z( )f zdddc( )d0cfzz 利用（利用（3.5.6）得到下列不等式）得到下列不等式 其中其中 代表邊界線的長度上式兩邊開代表邊界線的長度上式兩邊開n次方得到次方得到 令令 ，則，則 ，于是得到，于是得到 用更精確的方法可以證明，只有當用更精確的方法可以證明，只有當 取常數(shù)時，上式中的取常數(shù)時，上式中的等號才成立等號才成立max| ( )|,min|mfz0|( ) |2nnm lf z0l10|( )|()2nlf zmn10()12nl|( ) |f zm( )fz3.6 本章典型綜合實例本章典型綜合實例【解法【解法1】 柯西定理求解柯西定理求解 （i）當）當 時，則由例時

52、，則由例3.1.3 結論結論 (3.1.12)式，顯然式，顯然有有 （ii）當）當 時，由于已經(jīng)討論了函數(shù)時，由于已經(jīng)討論了函數(shù) 的奇點的奇點為為 設可分解設可分解 即為即為 1n | |2d2 i1zzz2n1( )1nf zz2 i (1,2, )knkzekn31212123111 ()() ()nnnnaaaazz z z zz zz zz zz zz z12321312111()()()()()() ()()()()()nnkkkna z zz zz za z zz zz za z zz zz zz zz z111111dd2 2i20 ikknnkkcckkkknnkkkkazaz

53、zzzzaa注意：注意：到推導中已使用到推導中已使用 | |211dd2ikzckkzzzzzz【解法【解法2】 柯西定理、柯西積分公式求解柯西定理、柯西積分公式求解 主要討論主要討論 的情形，設的情形，設 為僅包含奇點為僅包含奇點 ，又，又彼此不相交的小圓周（根據(jù)閉路變形原理也可以是任彼此不相交的小圓周（根據(jù)閉路變形原理也可以是任意小的閉合曲線）則根據(jù)柯西定理（或復合閉路柯西意小的閉合曲線）則根據(jù)柯西定理（或復合閉路柯西定理）得到定理）得到 在每一具體在每一具體 的積分內應用柯西積分公式，并令的積分內應用柯西積分公式，并令 故有故有2n kckz| |21dd11knnnzckzzzzkc1

54、1( )()nmmmkh zzz最后一步推導用到了第一章已證恒等式（最后一步推導用到了第一章已證恒等式（1.8.1）上面的上面的 1| |2111()11dd1()( )dd()()knmmmkkknnnzckkkzznncckkkkzzzzzh zzzzzzz1111 =2i ()2i0()nnnkkkkmmm kh zzz1110()nnkkmmmkzz下面數(shù)學舉一簡單例子來行進檢驗：下面數(shù)學舉一簡單例子來行進檢驗：求積分求積分解題思路：解題思路：前面的積分理論未直接涉及到此類復變前面的積分理論未直接涉及到此類復變函數(shù)模的積分計算解題的關鍵是去掉模符函數(shù)模的積分計算解題的關鍵是去掉模符號利

55、用號利用 可去掉分母的絕對值符號，對可去掉分母的絕對值符號，對 微分后再取模即可去掉微分后再取模即可去掉 的絕對值符號的絕對值符號2| |2| d|1 |zziz2| |zzzi2ze|d |z【解解】因為 ，且沿正方向（逆時針方向）所以輻角為 . 于是 考慮到 ，故得到:| 2cz 02i2,(02)zeid2idi dd|d | |i d| 2d2()izezzzzz2|2, |4zz| | 2| | 22| | 22d2dii(1)(1)(1)(1)2d i(1)(|)zzzzzzizzzzzzzzz| | 2| | 22dd2ii(1)(4)(1)(4)zzzzzzzz| | 212i

56、2i4 2id114zzzz4 3例例 3.3.6.56.5 求 100| | 98.51d()zkzizk 99100100100| | 98.5| | 98.51110010011dd()()dd()()zzkkcckkzzizkzkzzzkzk 9910010099199111()()dd(99)(100)kkkcczkzkzzzz 10099119911(99)(100)1198 972 1 ( 1)99!1198198!99!99!99 97!kkkkk 當當 ，故所有，故所有 的項積的項積分為零；只有當分為零；只有當 時積分時積分 故得到故得到, 2211k nnk knkn222

57、22122122| | 1| | 1| | 10021d()dd 2innnknkknknnzzzkknnzzc zzczzzzc222n22| | 101d()i2cosd2innnnzzzczz 222222202(2 )!2 (2 )!cosd222(2)! !2( !)nnnnnncnnnnnn p88 3.3; 3.5;3.7: （3);(4);3.8: (2); (5); (6);3.10; 3.12; 3.14;3.15; 3.16計算機仿真（選作）計算機仿真（選作）3.19121nnnzzzz(4.1)nz(1,2,)n (4.1)n121nnnkzzzz(4.2)limnn

58、(4.1)(4.1)1limlim()0nnnnnz(4.3)111nnnnnnzaib(4.4),nnab(1 ,2, )n(4.3)1nna1nnb(4.1)0, n n np n 11pn knn pkzzz定義4.3 若級數(shù) 收斂，則稱級數(shù) 為絕對收斂. 由關系式 及 及定理4.1即可推得.定理4.3 級數(shù) 絕對收斂的充要條件為： 級數(shù) 及 絕對收斂. 1nnz1nnz1kka2211111kkkkkkkkkkkbzabab(4.1)1kka 1kkb1nna1a 1111 21nknnkaaaa 1a 1lim0nna1lim1nna1nna(1)a 111nnaa1a 1nna(

59、)(1,2, )nf z n11( )( )( )nnnf zf zf z(4.5)( )f zez e (4.5)( )f z(4.5)()f z(4.5)( )f z1( )( )nnfzf z(4.6)0,( )n n n nze1()()nkkfzfz(4.5)( )f z(4.5)e0,( )nn n n1( )( )nn pfzfz m( )(1 ,2, )nf z ne12naaae( )(1,2, )nnf za n(4.5)e( )f z( )f ze( )(1,2,)nf z ne(4.5)e( )f z()f ze( )nf z(1,2, )nc(4.5)c( )f z1

60、( )( )nnccnfz dzfz dz( )nf z( 1 ,2, )nd(4.5)d( )f z(4.5)d( )f z4.8( )(1,2,)nf z nd1( )nnfzd( )f z( )f zdd()()1( )( )kknnfzfz(1,2,)k 0zd 0r 0( , )u z rduc4.71( )( )0nccnf z dzfz dz( )f zu0zd( )f zdurcd1( )nnfzrc( )f z110( )()knfzzz在 上一致收斂于 rc10( )()kfzzz4.710!( )2()rkckf zdzizz110( )!2()rnkcnfzkdzi z