高考數(shù)學(xué)理科專題教學(xué)案：三角恒等變換與解三角形含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5?？紗栴}7三角恒等變換與解三角形來源:真題感悟1(20xx·湖南卷改編)在銳角abc中，角a，b所對的邊長分別為a，b，若2asin bb，則角a等于_解析在abc中，利用正弦定理得3sin asin bsin b，sin a.又a為銳角，a.答案2(20xx·江蘇卷)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為_解析由條件可得cos2ccs21，sin，所以sinsin .答案3(20xx·江蘇卷)在銳角三角形abc中，a、b、c的對邊分別為a、b、c，6cos c，則_.解析6cos c6abcos ca2b2,6ab·a2b

2、2，a2b2.···由正弦定理得：上式·4.答案44(20xx·福建卷)如圖，在abc中，已知點(diǎn)d在bc邊上，adac，sinbac，ab3，ad3，則bd的長為_解析sinbacsin(bad)cosbad，cosbad.bd2ab2ad22ab·adcosbad(3)2322×3×3×3，即bd.來源:答案考題分析高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是c級要求，二倍角的正弦、余弦及正切是b級要求，應(yīng)用時要適當(dāng)選擇公式，靈活應(yīng)用(2)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，要求是b級，能夠

3、應(yīng)用定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊和角的轉(zhuǎn)化，以及應(yīng)用定理解決實(shí)際問題試題類型一般是填空題，同時在解答題中與三角函數(shù)、向量等綜合考查，構(gòu)成中檔題.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2r(2r為abc外接圓的直徑)變形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.sin a，sin b

4、，sin c.來源:數(shù)理化網(wǎng)abcsin asin bsin c.來源:4余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.推論：cos a，cos b，cos c.來源:5三角形面積公式sabcbcsin aacsin babsin c.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45°等“化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如()，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，

5、利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解8利用解三角形的知識解決實(shí)際問題的思路把實(shí)際問題中的要素歸入到一個或幾個相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實(shí)際問題的答案注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，從而得出正確結(jié)果.熱點(diǎn)一三角變換及應(yīng)用來源:中國教育出版網(wǎng)【例1】 (1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值解(1)0<<<<，&l

6、t;<，<<，cos ，sin ，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)tan tan()，tan(2)tan()1.tan>0，0<<，0<2<.又tan 2>0，0<2a<.tan <0，<<，<2<0.2.規(guī)律方法 (1)要仔細(xì)觀察分析所求角與已知條件的關(guān)系，靈活使用角的變換，如()，等(2)由于三角函數(shù)的多值性，故要對角的范圍進(jìn)行討論，確定并求出限定范圍內(nèi)的角【訓(xùn)練1】 (20xx·廣東卷)已知函

7、數(shù)f(x)cos，xr.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.解(1)fcos來源:中教網(wǎng)coscos 1.(2)fcos2coscos 2sin 2，又cos ，sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos2 1，fcos 2sin 2.熱點(diǎn)二正、余弦定理的應(yīng)用【例2】 (20xx·蘇錫常鎮(zhèn)模擬)abc的面積是30，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，cos a.(1)求a·a；(2)若cb1，求a的值解(1)由cos a，且0<a<，得sin a.又sabcbcsin a30，所以bc156，所以a·abccos a156

8、5;144.(2)由(1)知bc156，又cos a，cb1，在abc中，由余弦定理，得a2b2c22bccos a(cb)22bc(1cos a)12×156×來源:25，所以a5規(guī)律方法 求解此類問題，一要注意從問題的不斷轉(zhuǎn)化中尋求解題的突破口，如求a·a，需要求出bc，由三角形的面積及cos a，可求出sin a，二要注意求解本題第(2)問時，應(yīng)該結(jié)合第(1)問中的結(jié)論【訓(xùn)練2】 (20xx·山東卷)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos b.(1)求a，c的值；(2)求sin(ab)的值解(1)由余弦定理，得co

9、s b，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在abc中，cos b，sin b.由正弦定理，得sin a.又ac，ac，0<a<，cos a，sin (ab)sin acos bcos asin b××.熱點(diǎn)三解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】 (20xx·南師附中模擬)如圖，現(xiàn)有一個以aob為圓心角，湖岸oa與ob為半徑的扇形湖面aob.現(xiàn)欲在弧ab上取不同于a、b的點(diǎn)c，用漁網(wǎng)沿著弧ac(弧ac在扇形aob的弧ab上)，半徑oc和線段cd(其中cdoa)，在該扇形湖面內(nèi)隔出兩個養(yǎng)殖區(qū)域養(yǎng)殖區(qū)域和養(yǎng)殖區(qū)域.若oa1 k

10、m，aob，aoc.(1)用表示cd的長度；(2)求所需漁網(wǎng)長度(即圖中弧ac、半徑oc和線段cd長度之和)的取值范圍解(1)由cdoa，aob，aoc，得ocd，odc，cod.在ocd中，由正弦定理，來源:中+教+網(wǎng)z+z+s+tep得cdsin，；(2)設(shè)漁網(wǎng)的長度為f()由(1)可知，來源:f()1sin.所以f()1cos，因?yàn)?，所以，令f()0，得cos，所以，所以.當(dāng)變化時，f()，f()的變化狀態(tài)如下表：f()0f()來源:中國教育出版網(wǎng)極大值所以f().故所需漁網(wǎng)長度的取值范圍是.規(guī)律方法 應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題需要下列四步：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求

11、，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識正確求解(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案【訓(xùn)練3】 (20xx·鹽城模擬)某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊bc，cd用一根5米長的材料彎折而成，邊ba，ad用一根9米長的材料彎折而成，要求a和c互補(bǔ)，且abbc，(1)設(shè)abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x

12、的取值范圍(2)求四邊形abcd面積的最大值解(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22ab·ad·cos a.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cb·cd·cos c.因?yàn)閍和c互補(bǔ)，所以ab2ad22ab·ad·cos acb2cd22cb·cd·cos ccb2cd22cb·cd·cos a.即x2(9x)22x(9x)cos a來源:中+教+網(wǎng)z+z+s+tepx2(5x)22x(5x)cos a.解得cos a，即f(x)，其中x(2,5)(2)四邊形abcd的面積s(ab·adcb·cd)·sin ax(5x)x(9x) .x(7x) .