消元法在解題中的應(yīng)用

1、消元法在解題中的應(yīng)用方法精要在一些較復(fù)雜的題目中，若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)時(shí)，為了保證先求出其 中的一種數(shù)量，往往要通過對(duì)某些數(shù)量的比較，設(shè)法先消去一個(gè)或幾個(gè)未知量，從而把一道 數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的題目變成簡單的題目解出來，這種解題方法就是消元法.用消元法解題時(shí)注意以下幾點(diǎn)：1 把條件寫成幾個(gè)等式，并排列在一起進(jìn)行比較，如果有一種量的數(shù)相同，就很容易把這種 量消去.2如果兩種量的數(shù)都不相同，可以用一個(gè)數(shù)去乘等式的兩邊，使其中的一個(gè)量的數(shù)相同然后 消去這個(gè)量.3解答后，可以把結(jié)果代入條件列出的每一個(gè)等式中計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合題意.典例剖析題型一 消元法在平面向量中的應(yīng)用例 1設(shè)OA = a,OB=

2、b, OC = c,OD = d,OE = e,且2a= b,c=b+ d,2e= 3b+ 4d,求證：點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn).1破題切入點(diǎn)本題涉及到的向量比較多，觀察結(jié)論，根據(jù)結(jié)論的要求，只需證明c= 2(a+ e),因此，只要不斷消元，即可得到向量c, a, e的關(guān)系.證明 因?yàn)?a = b, c= b+d,所以 b= 2a, d= c- 2a,代入 2e= 3b+ 4d, 可得 2e= 3x 2a+ 4x (c- 2a),1整理得c= 2(a+ e>,所以點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn).題型二 消元法在解析幾何中的應(yīng)用x2 y2x y例2已知雙曲線02- b2 = 1(a>1 , b&g

3、t;0)的焦距為2c,離心率為e,若點(diǎn)(-1,0)與(1,0)到直線"-4=1的距離之和S：c,貝U e的取值范圍是 5破題切入點(diǎn)根據(jù)已知的不等式找 a, c所滿足的不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，通過這個(gè)不等式解得雙曲線的離心率的范圍.解析2ab 4>-c 5 2c2w5ab,即卩 4c4<25a2(c2-a2),即 4C4 25s2C2+ 25#W 0,即 4e4 25e2 + 25W 0,5解得5,總結(jié)提高 消元思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，它既可以顯性的表現(xiàn)為具體的技能， 如降幕、減少變量的個(gè)數(shù)等，又指導(dǎo)著思維的方向，如對(duì)題設(shè)或結(jié)論的簡化意識(shí)等，在解題 的

4、動(dòng)態(tài)思維過程中，如能緊扣消元的數(shù)學(xué)思想，重視消元法的應(yīng)用，就會(huì)嘗到柳暗花明又一 村帶來的樂趣.IH FBI兇1.已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+ g(x)= ax a-x+ 2(a>0 ,且1),若g(2) =a,則f(2)的值為()15 172A . 2B. C-D . a244答案 B解析 因?yàn)?f(x) + g(x) = ax a-x + 2, 則 f( x) + g(x)= a-x古+ 2, 聯(lián)立可得g(x)= 2, 又因?yàn)間(2)= a,故a= 2.因?yàn)?f(2)+ g(2)= a2 a 2+ 2, g(2)= a,15則 f(2)= a2 a 2

5、+ 2 a= 2 2 2+ 2 2 =.42. (2013浙江)已知a R,sin a+ 2cosa=102，則tan2a的值為(答案 C解析 因?yàn)閟ina+ 2cosa=,'10又 sin2 a+ CoS a= 1 ,Sin “=-普叫10Sin a=，聯(lián)立解得COS a= ,10COS a=,10sin a1sin a故 tan a=_, 或 tan a3,cos a3cos a代入可得tan2 a= 2-:1 tan a2ta na134,或 tan2a=2tan a1 tan a34.3.設(shè)m>1 ,在約束條件 yw mx,下，目標(biāo)函數(shù)z= x+ my的最大值小于2,則m

6、的取值范x+yw 1圍為（）A. (1,1+ . 2)B . (1+2,+ a)C. (1,3)D . (3,+ a)答案 A解析畫出可行域，或分別解方程組y=x,<；y= x,-7= mx,/+y=11 m（o,o）,（2,2），（mx，），當(dāng)且僅當(dāng)直線、一y= mx,x+ y= 1得到三個(gè)區(qū)域端點(diǎn)1 mz=x+my過點(diǎn)（荷，mzi）時(shí)，z取到最大值z(mì)m2 + 1=<2，解得 m (1,1 +x2 y214.若橢圓+b2 =1（a>b>0）的離心率e= ?,右焦點(diǎn)為F（c,0），方程ax2+2bx+ c= 0的兩個(gè)實(shí)根分別是X1和X2,則點(diǎn)Pg, X2）到原點(diǎn)的距離為

7、（）廠77A. 2B.-C. 2D.4答案Ac 1解析因?yàn)閑= =£,所以a= 2c,a 2由a= b2+圧，得巴=a 22bc 1Xi + X2= =3, XiX2=-=£,aa 2點(diǎn) P（Xi, X2倒原點(diǎn)（0,0）的距離 d= ,x2+ x2=Xi + X22 2xiX2 = 2.5過拋物線 卜8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為135°的直線交拋物線于 A,B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（）A 4B. 8C. 12D. 16答案 D解析 拋物線y = 8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),直線AB的傾斜角為135°故直線AB的方程為 y= x+2 代入拋物線方程 y2= 8

8、x,得 x2 12x+ 4= 0設(shè) A(x1, yj, B(x2,滋,則弦 AB 的長 | AB|=_ 2| Xl X2I = 16.| PF|6.拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x, y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A( 1,0),則pA的最小1 PA|值是()1232 3ab.-c.-d. 2答案 B解析由題意知 x>0,則焦點(diǎn) F（1,0）, | PF| = x+ 1, | PA| =x+ 1 2 + y = x+ 1 2+ 4x，當(dāng)x= 0 時(shí),|PA|, | PA|4x1 +2三X+ 124x_1+2=2（當(dāng)且僅當(dāng)x= 12 x2'時(shí)取等號(hào)）.因此當(dāng) x> 0 時(shí)

9、，K pPFp <2,| PF|2両的最小值是牙芮=1 ；當(dāng)x>0時(shí)，代両2 2x y7.已知雙曲線：二=1(a>0 , b>0)的離心率e= 2,過雙曲線上一點(diǎn) M作直線 MA, MB交a b雙曲線于A, B兩點(diǎn)，且斜率分別為 k1, k2,若直線AB過原點(diǎn)，則k*2的值為()A. 2B. 3C. 3D.6答案 Bc解析由題意知e=-= 2,則b2= 3a2,雙曲線方程可化為3X2 y2= 3a2,設(shè)A(m,n),M(x,y),a則 B( m, n), kik2=y n y+nx m x+ my2 n23x2 3a2 3m2+ 3a2x2 m2_x2 m2=3.&am

10、p;已知圓Ci： x2 + y2 2x 2y 2= 0和圓C2： x2 + y2 4x 4y 1 = 0,則過兩圓交點(diǎn)的公共弦 所在直線方程為.答案 2x+ 2y 1= 0解析 聯(lián)立兩圓的方程，消去二次項(xiàng)即得公共弦所在直線的方程2x+ 2y 1= 0.1 19. 設(shè)x, y R,且x尸0,則(x2 +孑)(尹+ 4?)的最小值為 .答案 91 11門1解析 (/+ 衛(wèi)(尹 + 4y2) = 5+ xy+ 4x2y2> 5+ 2x2y2 4x2y2= 9，當(dāng)且僅當(dāng) x2y2= 2時(shí)“=”成立.10. 設(shè)OA = a, OB= b, OC = c, OD = d, m, n, p, q是不同

11、時(shí)為零的實(shí)數(shù)，如果 ma+ nb + pc+ qd= 0,且(m + n)2 + (p+ q)2= 0.求證：A, B, C, D共線或AB / CD.證明 因?yàn)?m+ n)2 + (p+ q)2 = 0, m, n, p, q是不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)， m= n, p= q,代入 ma+ nb+ pc+ qd= 0得 n(b a)= q(d c)nAB= qCD, nz 0,(否則m, p, q均為零), AB/ Cd,即 A, B, C, D 共線或 AB/ CD.11如圖，已知拋物線 C： y2= 2px(p>0)上橫坐標(biāo)為一3的一點(diǎn)，與其焦點(diǎn)的距離為 4.(1) 求 p的值；(2) 設(shè)

12、動(dòng)直線y= x+ b(b>3)與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，問在直線I: y= 2上是否存在與b的 取值無關(guān)的定點(diǎn) M，使得/ AMB被直線l平分？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.p解(1)由已知得 | - 3- 21 = 4, / p>0,. p= 2.令A(yù)(xi, y", B(x,比)，設(shè)存在點(diǎn) M(a2)滿足條件,由已知得kAM= Kbm,即有yi 2+Xi a腔2X2 aX2= 4整理得 yiy2(yi + y + 4a(yi + y2(y?+y2) 16a= 0;y= x + b, 由* 2得 y2 + 4y 4b= 0,y= 4x即 yi + y

13、2= 4, yi y? = 4b 有一4b ( 4)+ 4a( 4) 2( 4)?+ 8b 16a= 0, a= 1,因此存在點(diǎn) M(1,2),而當(dāng)b>3時(shí)線段AB在點(diǎn)M( 1, 2)的左上方，滿足題意.1312.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為？，且經(jīng)過點(diǎn) M(1, 2).(1) 求橢圓C的方程；(2) 是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線h與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn) A, B,滿足PApb= Pm2?若存在,求出直線11的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.x2 y2解(1)設(shè)橢圓C的方程為孑+仔=1(a> b>0),計(jì)石=,解得 a = 4, b2= 3.由題意得c 1丨

14、2h= b2+ c2,x2 y2故橢圓C的方程為4+ 3=1.(2)假設(shè)存在直線h且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為y= k1(x 2)+ 1,代入橢圓C的方程得,(3 + 4k2)x2 8k1(2k1 1)x+ 16k1 16k 8= 0.因?yàn)橹本€h與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn) A, B,設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1, yO,(X2, y2),所以= - 8ki(2k - 1)1 于是存在直線li滿足條件，其方程為y=x. 4(3+ 4總)(16k- 16ki-8)=32(6ki + 3)>0,1所以ki> - 2.又 Xl + X2 =XlX2 =16k2- 16ki- 8-2 ' 3+ 4k2+ 4 (1 + k2)4+ 4k2 5=