高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第三篇方法應(yīng)用篇專題3.6等價(jià)轉(zhuǎn)化法講理

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5方法六 等價(jià)轉(zhuǎn)化法著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授c.a.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過程.等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問題.歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.常見的轉(zhuǎn)化方法有以下幾種類型：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原

2、問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；(2)換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題；(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑；(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的； (5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，結(jié)論適合原問題.1由等與不等引起的轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化

3、歸可以將問題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍例1【河北省定州中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)】定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在 ，滿足， ，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】，函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，區(qū)間上存在 ，滿足 方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，令，則，解得 實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為例2【湖北省宜昌市高三年級(jí)元月調(diào)研】已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。本題中根據(jù)題意可

4、知，原問題等價(jià)于與有個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題2由特殊與一般引起的轉(zhuǎn)化特殊與一般轉(zhuǎn)化法是在解決問題過程中將某些一般問題進(jìn)行特殊化處理或?qū)⒛承┨厥鈫栴}進(jìn)行一般化處理的方法這類轉(zhuǎn)化法一般的解題步驟是：第一步：確立需轉(zhuǎn)化的目標(biāo)問題：一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化目標(biāo)第二步：尋找“特殊元素”與“一般元素”：把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題時(shí)，尋找“特殊元素”把特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時(shí)，尋找“一般元素”第三步：確立新目標(biāo)問題：根據(jù)新確立的“特殊元素”或者“一般元素”明確其與需要解決問題的關(guān)系，確立新的需要解決的問題第四步：解決新目標(biāo)問題：在新的板塊知識(shí)背景下用特定的知識(shí)解決新目標(biāo)問題第五步：回歸目標(biāo)問題

5、第六步：回顧反思：常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對(duì)于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時(shí)，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷地得到答案；對(duì)于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案例3.設(shè)函數(shù)，觀察：，根據(jù)以上事實(shí)，當(dāng)時(shí)，由歸納推理可得： .【答案】【解析】通過條件歸納推理可知,故填.3由正與反引起的轉(zhuǎn)化正難則反，利用補(bǔ)集求得其解，這就是補(bǔ)集思想，一種充分體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”“至

6、少”情形的問題中例.若從3個(gè)海濱城市和兩個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選2個(gè)去旅游，那么概率是的事件是（ ）a.至少選一個(gè)海濱城市 b.恰好選一個(gè)海濱城市c.至多選一個(gè)海濱城市 d.兩個(gè)都選海濱城市【答案】c【解析】從5個(gè)城市選取兩個(gè)城市旅游，有10種選法，若選2個(gè)海濱城市的選法有3種，所以選2個(gè)海濱城市的概率為，則只多選一個(gè)海濱城市的概率為，選c.例5.在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】【解析】由題意得，去掉選5名女教師情況即可：4由空間與平面引起的轉(zhuǎn)化 立體幾何中有些問題的解答，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，即考慮轉(zhuǎn)

7、化成在一個(gè)平面上的問題，運(yùn)用平面幾何知識(shí)求解.特別是涉及旋轉(zhuǎn)體的問題，通過研究軸截面，尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系例6【20xx天津，文11】已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 .【答案】 【名師點(diǎn)睛】正方體與其外接球的組合體比較簡(jiǎn)單，因?yàn)檎襟w的中心就是外接球的球心，對(duì)于其他幾何體的外接球，再找球心時(shí)，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，1.若是柱體，球心肯定在中截面上，再找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線與中截面的交點(diǎn)就是球心，2.若是錐體，可以先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，再做一條側(cè)棱的中垂線，兩條直線的交點(diǎn)就是球心，構(gòu)造

8、平面幾何關(guān)系求半徑，3.若是三棱錐，三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，也可補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是此三棱錐的外接球，這樣做題比較簡(jiǎn)單.例7【20xx課標(biāo)ii，理19】如圖，四棱錐p-abcd中，側(cè)面pad為等比三角形且垂直于底面abcd， e是pd的中點(diǎn)。（1）證明：直線 平面pab；（2）點(diǎn)m在棱pc 上，且直線bm與底面abcd所成角為 ，求二面角的余弦值?！敬鸢浮?1)證明略；(2) ?！窘馕觥吭囶}解析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,由得，又,所以。四邊形為平行四邊形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

9、，則，,，設(shè)則，因?yàn)閎m與底面abcd所成的角為45°，而是底面abcd的法向量，所以， ，即。又m在棱pc上，設(shè),則 。5由數(shù)與形引起的轉(zhuǎn)化 利用數(shù)形結(jié)合思想，往往可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，特別是涉及函數(shù)方程與函數(shù)圖象、曲線與方程等問題，適時(shí)進(jìn)行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的良好效果.例8【湖北省武漢市高三二月調(diào)研】已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標(biāo)函數(shù)，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)或點(diǎn)處取得最小值，即.題中的不等式即：，則：

10、恒成立，原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，整理函數(shù)的解析式有：，令，則，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則此時(shí)函數(shù)取得最小值，最小值為：.綜上可得，實(shí)數(shù)的最大值為.本題選擇a選項(xiàng).例9【20xx高考新課標(biāo)3】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【答案】4例10.已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)（）求點(diǎn)的軌跡方程；（）若直線與點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（）；（）【解析】（）由題意知：，的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其軌跡方程為4分（）設(shè)，則將直線與橢圓的

11、方程聯(lián)立得：，消去，得：，6分原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部即7分而9分即，且滿足式的取值范圍是12分【反思提升】通過以上問題的研究，我們可以體會(huì)到等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)具有靈活性和多樣性.在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行.它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形.消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.可以說，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變.由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型.在數(shù)學(xué)解題中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟