高中數(shù)學易錯點梳理

1、高中數(shù)學易錯點梳理數(shù)學中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進去。 本文列舉出了高中課本中一些常見的易錯點， 希望同學們在今后的學習中引以為戒。一、集合與簡易邏輯易錯點 1對集合表示方法理解存在偏差【問題】 1:已知 A x | x0, B y y1，求 AB 。錯解： AB剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。正確結(jié)果： ABB【問題】 2:已知 A y | yx 2, B ( x, y) | x2y24，求 A B。錯解：AB (0,2),(2,0)正確答案： AB剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認為A 為點集。反思：對集合表示法部分

2、學生只從形式上“掌握”，對其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。易錯點 2在解含參數(shù)集合問題時忽視空集【問題】 :已知 A x | 2ax a2, B x | 2x1，且 AB ，求 a的取值范圍。錯解： -1 ，0）剖析：忽視 A的情況。正確答案： -1 ， 2反思：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合AB 就有可能忽視了 A，導致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時，更應(yīng)注意到當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時， 所給的集合可能是空集的情況。 考生由于思維定式的原因， 往往會在解題中遺忘了這個集合，導致答案錯誤或答案不全面。易錯點 3在

3、解含參數(shù)問題時忽視元素的互異性【問題】 :已知 1 a 2 , ( a 1)2 , a23a 3 ，求實數(shù) a 的值。錯解： a2,1,0剖 析 ： 忽 視 元 素 的 互 異 性 ， 其 實 當 a2 時 ， (a 1)2= a23a3 =1 ； 當 a1 時 ，a 2= a23a3 =1；均不符合題意。正確答案：a0反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合， 實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。 解題時可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗證。易錯點 4命題的否定與否命題關(guān)系不明【問題】 :寫出“若 aM 或 aP ，則 aMP ”

4、的否命題。錯解一：否命題為“若aM 或 aP ，則 aMP”剖析：概念模糊，弄錯兩類命題的關(guān)系。錯解二：否命題為“若aM 或 aP ，則 aMP”剖析：知識不完整，aM 或 aP 的否定形式應(yīng)為a M 且 a P 。正確答案：若 a M 且 aP ，則a M P反思：命題的否定是命題的非命題，也就是“保持原命題的條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題，但否命題是“否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題。對此?？忌赡軙竷深愬e誤概念不清，不會對原命題的條件和結(jié)論作出否定；審題不夠細心。易錯點 5充分必要條件顛倒出錯【問題】 : 已知 a, b 是實數(shù)，則 “a0

5、 且 b0 ”是 “ab0 且 ab0 ”的A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件錯解：選B剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。正確答案： C反思：對于兩個條件A, B ，如果 AB ，則 A 是 B 的充分條件，B 是 A 的必要條件，如果A B ，則 A 是 B 的充要條件。判斷充要條件常用的方法有定義法；集合法；等價法。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性， 所以在解決這類問題時， 一定要分清條件和結(jié)論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當?shù)姆椒ㄗ鞒鰷蚀_的判斷，不充分不必要常借助反例說明。易錯點 6 對邏輯聯(lián)結(jié)詞及

6、其真值表理解不準【問題】 :命題 p：若 a、b R，則a b 1是a b1q：函數(shù)的充分而不必要條件；命題y= | x 1| 2 的定義域是（， 1 3， + ) ，則A “ p或q ”為假B “ p且q ”為真Cp真q假D p假q真錯解一：選 A 或 B剖析：對真值表記憶不準，本題中p假 q真 ，因此“ p或 q ”為真，而“ p且q ”為假。錯法二：選 Cp, q 真假時出錯。剖析：基礎(chǔ)不牢，在判斷命題正確答案： D反思：含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題稱為復合命題。在判斷復合命題真假時，常常因為對概念理解不準確或真值表記不清而出現(xiàn)錯誤。為此準確理解概念、 巧記真值表是解題的關(guān)鍵

7、。這里介紹一種快速記憶真值表的方法：“ p或 q”有真則真； “ p且 q”有假則假； “ 非 p ”真假相反。易錯點 7否定全稱、特稱命題出錯【問題】寫出下列命題的否定：p ：對任意的正整數(shù)x,x 2x；q：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于1800 ；r:三角形只有一個外接圓。錯解：p ：對任意的正整數(shù)x,x 2x ；q ：所有的三角形的內(nèi)角和小于1800 ； r : 存在一個三角形有且只有一個外接圓。剖析：知識欠缺，基礎(chǔ)不牢導致出錯。正確答案：p ：存在正整數(shù) x, 使 x 2x ； q ：所有的三角形的內(nèi)角和都不大于1800 ； r : 存在一個三角形至少有兩個外接圓。反思：全稱命題p :

8、xM , p( x) ，它的否定p :xM ,p( x) ，特稱命題 p :xM , p( x) ，它的否定p :xM ,p(x) 。一般來說，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。切記對全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論p( x) ，而且還要對量詞“和”進行否定。另外，對一些省略了量詞的簡化形式，應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。二、函數(shù)與導數(shù)易錯點 8求函數(shù)定義域時條件考慮不充分【問題】 :求函數(shù) y=1+ ( x1)0 的定義域。32xx2錯解：-3，1剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為( x1)0 =1 對任意實數(shù)成立。正確答案：3, 11,1反思

9、：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此求定義域時就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組， 不等式組的解集就是該函數(shù)定義域。在求函數(shù)的定義域時應(yīng)注意以下幾點分式的分母不為零；偶次根式被開方式非負；對數(shù)的真數(shù)大于零；零的零次冪沒有意義；函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。易錯點 9求復合函數(shù)定義域時忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”【問題】已知函數(shù)f xlog 3 x2,x1,9 , 求函數(shù) yf x 2f x2的值域。錯 解 ： 設(shè) tlog 3 x，x1,9, t 0,2 ，yt26t6 ， t0,2 ，函數(shù)的值域是6,22 。剖析：知識欠缺，求函數(shù) yf

10、 x 2f x2 定義域時，應(yīng)考慮1x9.1x29正確答案： 函數(shù)的值域是6,13反思：在復合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復合函數(shù)定義域類型為：若已知 f ( x) 的定義域為 a, b,其復合函數(shù) f g(x) 的定義域可由不等式 a g( x) b 解出即可；若已知 f g( x) 的定義域為a,b ,求 g( x) 的定義域， 相當于 x a,b 時，求 g (x) 的值域（即 f (x) 的定義域）。易錯點 10 判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域【問題】 1: 判斷函數(shù) y( x 1)(x2 1) 的奇偶性。x(x1)錯解：原函數(shù)即x21y，為奇函數(shù)x剖析：只關(guān)注解析式化簡，

11、忽略定義域。正確答案：非奇非偶函數(shù)?！締栴}】 2:判斷函數(shù)f ( x)x211x2 的奇偶性。錯解：f (x)f ( x) ，為偶函數(shù)剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導致錯誤。正確答案：既奇且偶函數(shù)。反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，如果對定義域內(nèi)任意x 都有 f (x)f (x) ，則f ( x)為奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)任意x 都有f (x)f ( x)，則f ( x) 為偶函數(shù)，如果對定義域內(nèi) 存 在x0使f ( x0 )f (x0 )， 則f ( x)不是奇函數(shù)；如果對定

12、義域內(nèi)存在x0使f (x0 )f ( x0 ) ，則f ( x) 不是偶函數(shù)。易錯點11求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽視定義域【問題】:求函數(shù)ylog0.5 (43xx2 ) 的增區(qū)間。錯解一：外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)u 4 3x x2 減區(qū)間為 3,) ，原函數(shù)增區(qū)間為32, )。2剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問題錯解二： 43x x20 ，函數(shù)定義域為1,4，又內(nèi)層函數(shù) u4 3x x2在 (1, 3 為增332函數(shù)，在 ,) 為減函數(shù)，原函數(shù)增區(qū)間為(1, 。22剖析：識記不好，對復合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。正確答案： 3 , 4)2反思：求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是求函數(shù)的定義域；作出內(nèi)層函數(shù)的

13、圖象；用“同增異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是“同增異減”法則不會或法則用錯。易錯點 12解“二次型函數(shù)”問題時忽視對二次項系數(shù)的討論【問題】 : 函數(shù) f ( x)( m1) x22(m1)x1 的圖象與 x 軸只有一個交點，求實數(shù)m 的取值范圍。錯解：由0 解得 m0或 m3剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮m1 0 的情況。正確答案：3,0,1反思：在二次型函數(shù) yax2bxc 中，當 a0時為二次函數(shù)， 其圖象為拋物線； 當 a0, b 0時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時，應(yīng)密切注意x2 項的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)分類討

14、論，另外有關(guān)三個“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對象。例如：ax 2bxc0解集為 Ra0,0或a=b=0,c>0ax 2bxc0 解集為a0,0或 a=b=0,c 0易錯點 13用函數(shù)圖象解題時作圖不準【問題】 :求函數(shù) f ( x)x2的圖象與直線 f (x)2x 的交點個數(shù)。錯解：兩個剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。正確答案：三個反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準確、快速、靈活及操作性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學學習者的青睞。 但我們在解題時應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)， 畫準圖形， 不能主觀臆造， 導致圖形 “失真”，從而得出錯誤的答案。易錯點 14忽視轉(zhuǎn)化的

15、等價性【問題】 1:已知方程 mx23x10有且只有一個根在區(qū)間（0， 1）內(nèi)，求實數(shù)m 的取值范圍。錯解：方程 mx23x 1 0 有且只有一個根在區(qū)間（0， 1）內(nèi)，函數(shù) ymx2 3x 1的圖象與 x 軸在（ 0， 1）內(nèi)有且只有一個交點， f (0)f (1)0 ，解得 m 2剖析：知識殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時，應(yīng)考慮到f (1)0 的情況。正確答案： m,2【問題】 2: 函數(shù) ye|ln x| | x 1 |的圖象大致是（）剖析：在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對值時出錯，從而得到錯誤的圖象。在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。正確答案： D反思：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學的重要思想方法之一， 處理得當會

16、起到意想不到的效果， 但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。易錯點 15 分段函數(shù)問題【問題】 1: .已知 f ( x)2 a x1 x1是 R 上的增函數(shù)，求a 的取值范圍。axx1錯解： (1,2)剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視f (x) 在分界點附近函數(shù)值大小關(guān)系。正確答案：3 ,2)2【問題】 2: 設(shè)函數(shù) f ( x)x2bxc, x0, x0, 若f ( 4)f (0),f ( 2)2 ，求關(guān)于x 的方程2,x0.f (x) x 解的個數(shù)。錯解：兩個剖析：基礎(chǔ)不實，分類討論意識沒有，未能將方程f (x)x 分兩種情況來解。正確答案

17、：三個反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶性等等。 在解決此類問題時，要注意分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，能確定，要對自變量取值進行分類討論，同時還要關(guān)注分界點附近函數(shù)值變化情況。易錯點 16函數(shù)零點定理使用不當如果自變量取值不【問題】若函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 -2,2 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且 f ( x) 在（ -2,2）內(nèi)有一個零點，則 f (2) f (2) 的值（）A大于0B小于0C等于0D不能確定錯解：由函數(shù)零點存在定理知f (2)f (2)0 ，故選B剖析：沒有正確理解函數(shù)零點的含義及存在性，若函數(shù)點為“變號零點” ，則

18、 f ( 2) f (2)0 ，否則 f (2)f ( x)f (2)在（ -2,2）內(nèi)有一個零點，且該零0正確答案：D反思：函數(shù)零點定理是指如果函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f ( a) f (b)0，那么函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有零點。解決函數(shù)零點問題常用方法有定理法、圖象法和方程法。函數(shù)零點又分為“變號零點”和“不變號零點” ，函數(shù)零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無能為力。易錯點 17混淆兩類切線的概念【問題】 :若直線 y = kx 與曲線 yx33x22x相切試求 k 的值。（提示 y=kx 即過原點的切線）錯解

19、： y3x26x 2，斜率 k2 ，剖析：知識殘缺，過某點的切線并非在某點處的切線。正確答案： k12或 k4反思：曲線在點P 處的切線” P 為切點且 P 在曲線上，而“過點P 的切線”僅能說明點 P 在曲線的切線上。易錯點 18誤解“導數(shù)為 0”與“有極值”的邏輯關(guān)系【問題】 : 函數(shù) f (x) x3ax2bxa2在 x=1 處有極值10，求 a, b 的值。錯解：由 f (1)10, f (1)0 解得 a4,b 11或 a 3,b3剖析：對“導數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯把f (x0 ) 為極值的必要條件當作充要條件。正確答案： a=4,b=-11反思：在使用導數(shù)求函數(shù)極

20、值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0 的點，而沒有對這些點左右兩側(cè)導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0 的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導數(shù)與極值關(guān)系不清。可導函數(shù)在一點處的導函數(shù)值為此點取到極值的必要條件，充要條件是f ( x0 )0且f ( x)在x0 兩側(cè)異號。0 只是這個函數(shù)在易錯點 19對“導數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹【問題】 : 若函數(shù)f ( x)ax3x 在 R 上為減函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍。錯解：由 f ( x)=3ax2a 0，解得 a 01 0 在 R 上恒成立，12a0錯誤！未找到引用源。剖析：概念模糊，錯把f (x) 在某個區(qū)

21、間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條件當成充要條件。事實上 a 0時滿足題意。正確答案： a 0反思：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?0，且導函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導函數(shù)在某區(qū)間上恒大（小）于0 僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。易錯點 20對“導函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚【問題】 :已知函數(shù)f ( x) 的導函數(shù)f ( x) 的圖象如圖所示，則y=f ( x) 的圖象最有可能的是_.錯解：選 A, B, D剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于f (0) f(2)0 ，且兩邊值符號相反，故0 和

22、 2為極值點；又因為當x 0和 x 2 時， f (x)0，當0x2 時， f (x) 0 ，所以函數(shù) f (x)在 (,0) 和(2,+) 上為增函數(shù)，在 (0,2) 上為減函數(shù)。正確答案： C反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓住導函數(shù)的零點與原函數(shù)的極值點關(guān)系極值點的導數(shù)值為0；導函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系原函數(shù)看增減，導函數(shù)看正負。三、數(shù)列易錯點 21由 Sn 求 an 時忽略對“ n1 ”檢驗【問題】 : 已知數(shù)列 a 的前 n 項和 S n2n 1，求 a 。nnn錯解：由 an =Sn Sn 1 解得 an =2n2剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了an =Sn Sn 1 成立的條件

23、n 2，實際上當 n=1 時就出現(xiàn)了 S0 ，而 S0 是無意義的，所以使用an =Sn Sn 1 求 an ，只能表示第二項以后的各項，而第一項能否用這個 an 表示，尚需檢驗。1(n1)正確答案： an*2n 2( n2, n N )反 思 ： 在 數(shù) 列 問 題 中 ， 數(shù) 列 的 通 項 an 與 其 前n項 和Sn 之 間 關(guān) 系 如 下anS1(n1) ，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)SnSn 1 (n2,nN * )列 an 的 an 與 Sn 關(guān)系時，先令 n1 求出首項 a1 ，然后令 n2 求出通項 an SnSn 1 ，最后代入驗證。解答此類題常

24、見錯誤為直接令n2 求出通項 anSn Sn 1 ，也不對 n1進行檢驗。易錯點 22忽視兩個“中項”的區(qū)別【問題】 :b2ac 是 a, b, c 成等比數(shù)列的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分有不必要條件錯解： C剖析：思維不縝密，沒有注意到當b2ac 時， a,b, c 可能為 0。正確答案： B反思：若 a,b, c 成等比數(shù)列，則b 為 a 和 c 的等比中項。由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項， “ b2ac ”僅是“ b 為 a 和 c 的等比中項” 的必要不充分條件， 在解題時務(wù)必要注意此點。易錯點 23等比數(shù)列求和時忽視對q 討論【問題】 : 在等比數(shù)

25、列 an 中， Sn 為其前 n項和，且 S33a3 ，求它的公比 q。錯解：S3 = a1 (1q3 )3a3，解得 q=- 11q2剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q 是否等于 1 進行討論，導致失誤。正確答案： q=- 1 或 q=12反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項包括公比均不為0，等比數(shù)列的其前n 項和 Sn 為分段函數(shù)，其中當q=1 時， Snna1 。而這一點正是我們解題中被忽略的。易錯點 24用錯了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)【問題】 : 已知等差數(shù)列 an 的前 m 項和為 30，前 2m 項和為 100，求它的前3m 項

26、和 S3 m 。錯解一： 170剖析：基礎(chǔ)不實，記錯性質(zhì)，誤以為Sm , S2 m , S3m成等差數(shù)列。錯解二： 130剖析：基礎(chǔ)不實，誤以為Sm, S2m , S3m 滿足 S3 mSmS2m 。正確答案： 210反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略），這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯了公式和性質(zhì)， 自然就失去了方向。 解決這類問題的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給予證明，認為不正確的命題舉出反例予以說明。易錯點 25 用錯位相減法求和時項數(shù)處理不當【問題】 : 求和 Sn 13a 5a2(2n 1)an 1 。剖析：考慮不全面，未對a

27、 進行討論，丟掉a1 時的情形。將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項數(shù)弄錯。將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項。n2( a1)正確答案： sn12a(1a n 1 )2n1n( a1)1 a(1a)21aa反思：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所得到的，那么該數(shù)列可用錯位相減法求和。基本方法是設(shè)這個和式為Sn，在這個和式的兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，將這兩個和式錯位相減，得到一個新的和式，該式分三部分原來數(shù)列的第一項；一個等比數(shù)列的前n-1 項和； 原來數(shù)列的第n 項乘以公比的相反數(shù)。在用錯位相減法求和時務(wù)必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項數(shù)，有時含原來數(shù)列

28、的第一項共n 項，有時只有 n 1項。另外，如果公比為字母需分類討論。易錯點 26 數(shù)列中的最值錯誤【問題】 : 在等差數(shù)列 a 中， a25， SS ，求此數(shù)列的前幾項和最大。n1916剖析：解題不細心，在用等差數(shù)列前n 和求解時，解得 n=12.5 ，誤認為 n=12.5 ?？紤]不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出a13 =0 時，誤認為只有S13 最大。正確答案： a 或 a1213反思：數(shù)列的通項公式與前n 項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n 的函數(shù)， 要善于用函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n 為正整數(shù)的特點，有時即使考慮了n 為正整數(shù)，但對于n為何值時， 能夠取到最值求解出錯。在

29、關(guān)于正整數(shù)n 的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定。四、三角函數(shù)易錯點 27求解時忽略角的范圍【問題】 1:在ABC 中， sin A = 3 , cos B = 5 ，求 cos A ， sin B 的值。513錯解： cosA=± 4 ， sinB= ± 12513剖析：基礎(chǔ)不實，忽視開方時符號的選取。正確答案： cosA= 4 ， sinB= 12513【問題】 2: 在ABC 中， A、 B 為銳角，且 sin A5 ,sin B10，求 AB 的值。510錯解： 先求出 sin(A B)=2 ，A B，32（0， ）AB=或44剖析：知

30、識殘缺，由于A、 B 為銳角，所以 AB （0， ）。又由于正弦函數(shù)在 （0， ）上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin(AB ) ，宜改求 cos( AB ) 或 tan(A B)。正確答案： AB=4【問題】 1: 在ABC 中，已知 a=2 ,b= 3,B=,求角 A3錯解：用正弦定理求得sin A2， A=或 3244剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件ba 出錯。正確答案：A=4反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯點之一。解題時，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進行定號”。易錯點 28求關(guān)于 sin x,cos x 最值時忽視正、余弦函數(shù)值域

31、【問題】 : 已知 sin xsin y1，求 sin ycos2 x 的最大值。32 ( 1 t 1) ，通過配方、 作圖解得 sin y cos2 x錯解：令 t sin x ，得 sin ycos2 xt 2t3的最大值為 43剖析：本題雖注意到sin x 的值域，但未考慮到s in x 與 sin y 相互制約，即由于-1 siny 1， sin x 必須同時滿足1sin x11 1sin x。13正確答案： 49反思：求關(guān)于 sin x,cos x 最值的常規(guī)方法是通過令t s in x（或 cosx ）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限

32、制，t 只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時務(wù)必要注意此點。易錯點 29三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤【問題】 : 已知函數(shù) y=cos(-2x) ，求它的單調(diào)減區(qū)間。4錯解： 2k-2x 2k4剖析：概念混淆，錯因在于把復合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成y=cos( 2x-) 求解正確答案： ( k, k5Z )(k488反思：對于函數(shù) yAsin(x) 來說，當0 時，由于內(nèi)層函數(shù)ux是單調(diào)遞增的，所以函數(shù) yAsin( x) 的單調(diào)性與函數(shù)ysin x 的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)ysin x 的單調(diào)性來解決；但當0 時，內(nèi)層函數(shù) ux是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)yAsin(x) 的單

33、調(diào)性與函數(shù)y sin x 的單調(diào)性正好相反， 就不能按照函數(shù)y sin x 的單調(diào)性來解決。 一般來說， 應(yīng)根據(jù)誘導公式將 x 的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。易錯點 30圖象變換的方向把握不準【問題】 : 要得到函數(shù) ysin x 的圖象，只需將函數(shù)y cosx的圖象（）A 向右平移個單位B 向右平移個單位C 向左平移個單位D 向左平移個單位錯解一： C剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯解二： D剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。正確答案： A反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，ysin xysin( x)( w0) 平移

34、的量為，y sin xysin wxysin( wx)( w 0)平移的量為。w易錯點 31由圖象求函數(shù)解析式忽略細節(jié)【問題】：如圖，某地一天從 6 時到 14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y A sin(x) B(A0,0) .(1)求這段時間的最大溫差 .(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。剖析：解此類題前兩步一般不會錯。但在求值不好取舍。時，多數(shù)學生由于點的位置取得不當，致使求得的正確答案：（1） 20 C（ 2） y10sin(x3)2084反思：由三角函數(shù)圖象求yAsin(x) （A0,0 ）的解析式一般分三個步驟：由函數(shù)的最大（?。┲登笳穹鵄 ；由函數(shù)的周期求；由曲線上的最高（最低）點求

35、初相的一般解，但有范圍限制時一定要注意在指定的范圍內(nèi)求解。五、平面向量易錯點 32概念模糊【問題】：下列五個命題：向量 PP 與 OA 共線，則P1、 P2、O、 A 必在同一條直線上；12 如果向量 a 與 b 平行， 則 a 與 b 方向相同或相反 ；四邊形 P1P2OA 是平行四邊形的充要條件是PP =OA；1 2若 a = b ，則 a 、 b 的長度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。其中正確的命題有_個。錯解：選錯，向量1 2 與OA共線，則直線P1P2 與直線 OA 可能平行；選錯，若a為零向PP量，則命題不正確； 選錯， PP12 = OA 則

36、四點 P1， P2， O，A可能共線； 選錯， a = b ，只能說明 a 、 b 的長度相等但確定不了方向；選錯；零向量與任何向量平行。正確答案： 0反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。在復習時不僅要理解這些概念，而且還要掌握向量與實數(shù)、向量運算與實數(shù)運算異同點。易錯點 33忽視平面向量基本定理的成立條件【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是 a =（ 0， 0）， b =（ 1， -2）; a =（ -1， 2）， b =（ 5，7） ; a =（ 3， 5）， b =（ 6，

37、10） ; a =（ 2， -3）， b =（ 4， -6） ;錯解：選或或正確答案：剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。反思：如果 a 、 b 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量c ，有且只有一對實數(shù) 1， 2 ，使 c = 1 a + 2 b 。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學習這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。易錯點 34忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別【問題】：已知向量 a( x, x2)與b (2 x,3) 的夾角為鈍角，求實數(shù)x 的取值范圍為13錯解：x 2

38、2剖析：概念模糊，錯誤地認為a ,b 為鈍角a b 0正確答案：12且 x0x2反思：a , b 為鈍角a b0且a與b 不共線x1x2y1 y20x1 y2x2 y10六、不等式易錯點 35 不等式性質(zhì)應(yīng)用不當【問題】：已知 0，< < ，求函的取值范圍。42錯解： 0，<<，0()，(, )424242剖析：套用錯誤，不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相減。正確答案： (, 5 )24反思：不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗成立條件，不能想當然套用，忽視了就會出錯。易錯點 36忽視等號同時成立的條件，擴大了范圍【問題】：已知函數(shù)f ( x)ax2bx ，且 1f (1)2,2f (1)4 ，求 f ( 2) 的