江蘇省高校歷屆?？祁悢?shù)學(xué)競賽試題

1、江蘇省高校歷屆專科類高等數(shù)學(xué)競賽試題第五屆（2000年）?？祁惛叩葦?shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題3分，共15分）1已知，則 2 3 4若級數(shù)收斂，則的取值為 5 二、選擇題（每小題3分，共15分）1函數(shù)的可去間斷點為（ ）a b c d 無可去間斷點2設(shè)，則當時，是的（ ）a同階無窮小但不等價 b低階無窮小 c高階無窮小 d等價無窮小3設(shè)常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)零點個數(shù)為（ ）a b c d 4設(shè)對一切滿足，若且，則函數(shù)在點（ ）a取得極大值 b取得極大值 c某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加 d某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少5過點且與直線 垂直的平面方程是（ ）a b c d三、（8分）設(shè)，求常數(shù)四、（6分）已知函數(shù)由方程組 確

2、定，求五、（6分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且對于內(nèi)的一切均有，證明：若在內(nèi)有兩個零點，則介于這兩個零點之間，至少有一個零點六、（6分）設(shè)，其中是實數(shù)，且，試證：七、（6分）過拋物線上一點作切線，問為何值時所作切線與拋物線所圍成的圖形面積最??？八、（6分）當時，的導(dǎo)數(shù)與為等價無窮小，求九、（8分）求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).十、（8分）將展為的冪級數(shù)，并指明收斂域十一、（6分）求十二、（8分）設(shè)可微函數(shù)在上有定義，其反函數(shù)為，且滿足 ，試求第六屆（2002年）?？祁惛叩葦?shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題5分，共40分）1 2設(shè)，則 ， 3設(shè)在上可導(dǎo)，下列結(jié)論中成立的是 a若，則在上有界b若，則在上無界c若

3、，則在上無界4設(shè)，則 5設(shè)由確定，則 6 7 8 冪級數(shù)的收斂域為 二、（8分）設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)減少，求證：三、（9分）設(shè)（1）若，求證：在上恰有一個零點；（2）若，且在上恰有一個零點，求常數(shù)的取值范圍四、（8分）求五、（9分）設(shè)（1）當為何值時為一圓？ （2）當時，求的圓心和半徑六、（8分）求直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并求該曲面與所包圍的立體的體積七、（9分）求八、（9分）設(shè)為常數(shù)，試判別級數(shù)的斂散性，何時絕對收斂？何時條件收斂？何時發(fā)散？ 第七屆（2004年）?？祁惛叩葦?shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題5分，共40分）1是周期為的奇函數(shù)，當時，則當時， 2當時，與為等價無窮小，則 ，

4、3 4 5已知，則當時， 6 7以直線為對稱軸，且半徑的圓柱面方程為 8 二、（10分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證：在內(nèi)至少有一點，使得三、（10分）設(shè)在的邊界上任取一點，設(shè)到原點的距離為，作垂直于，交的邊界于（1）試將的距離表示為的函數(shù)；（2）求繞旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積四、（10分）設(shè)在上有定義，在處連續(xù)，且對一切實數(shù)有，求證：在上處處連續(xù)五、（10分）設(shè)為常數(shù)，方程在上恰有一根，求的取值范圍六、（10分）已知點與，在平面上求一點，使得最小七、（10分）求冪級數(shù)收斂域 第八屆（2006年）專科類高等數(shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題5分，共40分）1 2 3若，則 ， 4設(shè)，則 5設(shè)，則 6 7為

5、空間的4個定點，與的中點分別為，（為常數(shù)），為空間的任一點，則的最小值為 8 已知點為原點，則四面體的外接球面的方程為 二、（8分）設(shè) ，試問：為何值時，在處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但二階導(dǎo)數(shù)不存在三、（9分）過點作曲線的切線（1）求的方程；（2）求與所圍平面圖形的面積；（3）求圖形的的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積四、（8分）設(shè)在區(qū)間上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，求證：五、（8分）求六、（9分）設(shè)圓柱面被柱面截下的（有限）部分為為計算曲面的面積，我們用薄鐵片制作的模型，其中為上三點，將沿線段剪開并展成平面圖形建立平面直角坐標系，使位于軸正上方，點的坐標為試寫出的邊界的方程，并求的面積七、（9分）對常數(shù)，討論級數(shù)

6、何時絕對收斂？何時條件收斂？何時發(fā)散？八、（9分）求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)第九屆（2008年）專科類高等數(shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題5分，共40分）1 ， 時，2 3設(shè)，則 4當 ， 時，在時關(guān)于的無窮小的階數(shù)最高5 6點關(guān)于平面的對稱點的坐標為 7通過點與直線：的平面方程為 8 冪級數(shù)的和函數(shù)為 ，收斂域為 二、（8分）設(shè)數(shù)列為，求證數(shù)列收斂，并求其極限三、（8分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，求證：存在，使得四、（8分）將平面上的曲線繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面，求此旋轉(zhuǎn)曲面所圍立體的體積五、（8分）求六、（10分）在平面內(nèi)作一條直線，使該直線經(jīng)過另一直線與平面的交點，且與垂直，求直線的參數(shù)方程七、（8

7、分）判別級數(shù)的收斂性（包括絕對收斂、條件收斂、發(fā)散）八、（10分）求函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并指出其收斂域第十屆（2010年）專科類高等數(shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題4分，共32分）1 2，則 3設(shè)由確定，則 4，則 5 6 7圓的面積為 8 級數(shù)的和為 二、（10分）設(shè)為正常數(shù)，使得對一切正數(shù)成立，求常數(shù)的最小值三、（10分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，求證：存在，使得四、（12分）求反常積分五、（12分）過原點作曲線的切線，求該切線、曲線與軸所圍的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積六、（12分）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側(cè)面正方形的中心（1）試求過點的平面與底面所成的二面角的值；（2）試求點到

8、過點的平面的距離七、（12分）已知數(shù)列單調(diào)增加，滿足 ，記，判別級數(shù)的斂散性第十一屆（2012年）?？祁惛叩葦?shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每小題4分，共32分）1 2 3 4，則 5 6 7點到直線的距離為 8 級數(shù)為條件收斂，則常數(shù)的取值范圍是 二、（每小題6分，共12分）（1）求（2）設(shè)在處可導(dǎo)，且，求三、（第（1）小題4分，第（2）小題6分，共10分）在下列兩題中，分別指出滿足條件的函數(shù)是否存在？若存在，舉一例；若不存在，請給出證明（1）函數(shù)在上有定義（），當時，嚴格增加，當時，嚴格減少，存在，且是的極小值（2）函數(shù)在上一階可導(dǎo)（），為極值，且為曲線的拐點四、（10分）求一個次數(shù)最低的多項式，使得它在時取極大值，在時取極小值五、（12分）過原點作曲線的切線，設(shè)是以曲線、切線及軸為邊界的無界區(qū)域（1）求切線的方程；