理論力學(xué)課件：剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1、2質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)“O”的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩等于等于質(zhì)系總動(dòng)量對(duì)質(zhì)系總動(dòng)量對(duì)定點(diǎn)定點(diǎn)“O”之矩之矩加上加上質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩 CCCOLvMrL xyOmiCrrrarx1y1C 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)“O”的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩與與 相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3zvdm rA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)該定軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)該定軸的動(dòng)量矩J z 為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 zzJL平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)面內(nèi)對(duì)面內(nèi)固定點(diǎn)固定點(diǎn)“O”的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩： CCzzOJvmmLL)(轉(zhuǎn)向相同時(shí)，取同號(hào)；反之，

2、取異號(hào)轉(zhuǎn)向相同時(shí)，取同號(hào)；反之，取異號(hào)4 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般不存在一般不存在這種簡(jiǎn)這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。單的關(guān)系。四、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心四、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心 “ C ” 的動(dòng)量矩定理：的動(dòng)量矩定理： )(FMFrdtLdCeirCxyOmiCrirriarx1y1C5五、平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)質(zhì)心五、平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)質(zhì)心 “ C ” 的動(dòng)量矩定理：的動(dòng)量矩定理： )(FmJJzCC 六、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：六、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：)(eiCCFaM

3、rM )()()(321tftfytfxAA )(FmJJzCC 平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)微分方程.)(eiCCjFaMaMj 61. 直角坐標(biāo)式：直角坐標(biāo)式： CCCeiyCCyeixCCxMJJFyMMaFxMMa )()(2. 自然坐標(biāo)式：自然坐標(biāo)式： CCCninCiCMJJFMaFMa 7問此種解法是否正確？問此種解法是否正確？為什么？為什么？已知均質(zhì)輪已知均質(zhì)輪O1，半徑，半徑R1，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1; 均質(zhì)輪均質(zhì)輪O2，半徑，半徑R2，質(zhì)量為，質(zhì)量為m2，主動(dòng)力矩，主動(dòng)力矩M，阻力矩，阻力矩Mf，求，求1。思考題思考題1O1O2MMf222111 JJLo foMMJJdtdL

4、22111 8問此種解法是否正確？問此種解法是否正確？為什么？為什么？222212111)( mOOJJLo foMMdtdL 11O1O2MMf29 對(duì)對(duì)O1輪，有輪，有T1T1T2T2 對(duì)對(duì)O2輪，有輪，有正確解法正確解法MMfO1O2R2MMfMMfMMf 1 2R1 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：且：且：將將R2+R1可解得：可解得：T1T1T2T2T1T1T2T2T1T1T2T2121111RTRTMJ fMRTRTJ 222122 ;, 2211TTTT 2211 RR 2222211121,21RmJRmJ 例例4 . 質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為的均質(zhì)圓輪置放于傾角

5、為 的斜面上，的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為f、f ，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。解：取輪為研究對(duì)象。解：取輪為研究對(duì)象。 受力分析如圖示。受力分析如圖示。由由式得式得 cosmgN 式中含有四個(gè)未知數(shù)式中含有四個(gè)未知數(shù)aC 、F F、（角加速度） 、N N ，需補(bǔ)充附加條需補(bǔ)充附加條件 。件 。 . .一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有FmgmaC sin Nmg cos 0 FRJC NFm

6、gCa Oxy 運(yùn)動(dòng)分析：取直角坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)分析：取直角坐標(biāo)系 Oxy a C y = 0，a C x = a C1設(shè)接觸面絕對(duì)光滑：設(shè)接觸面絕對(duì)光滑：0 F sin32gaC 2設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)， 所以可解得所以可解得, raC FmgmaC sin FRJC 因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故 0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。，輪沿斜面平動(dòng)下滑。 sin gaC 常量。常量。 , 0 sin31 ; sin32 mgFgR NFmgCa OxygfaC)cos(sin 輪作純滾動(dòng)的條件：輪作純滾動(dòng)的條件： cossin31maxfmgFmgF t

7、g31 f表明：當(dāng)表明：當(dāng) 時(shí)，解答時(shí)，解答3適用；適用； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，解答時(shí)，解答2適用；適用；f =0 時(shí)解答時(shí)解答1適用。適用。 tg31 f tg31 fFmgmaC sin FRJC 3設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，又滾動(dòng)。設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，又滾動(dòng)。 F= f N，可解得：可解得： cos2 Rgf cos mgfF NFmgCa Oxy例例5. 均質(zhì)圓柱，半徑為均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速，置圓柱于墻角。初始角速度度 0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為 f ，滾，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。阻

8、不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解：選取圓柱為研究對(duì)象。解：選取圓柱為研究對(duì)象。(注意只是一個(gè)注意只是一個(gè)剛體剛體)受力分析如圖示。受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C 不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程)0 , 0( CyCxaaBAFN 0QNFBA 0rFrFdtdrgQBA 212 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , 0)1(2 QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222 fQfFfQfNfQfFfQNAABB , 2112rgfffdtd 解得：解得：) 1( 2)1(02fgfrft BAFN 0

9、QNFBA 0rFrFdtdrgQBA 212 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , tdtffrgfd020112 0 15例例6 . 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞通過字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí)處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度形桿具有角速度 =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承。求該瞬時(shí)軸承O的反力。的反力。解：選解：選T 字型桿為研究對(duì)象。字型桿為研究對(duì)象。受力分析如圖示。受力分析如圖示。5 . 08 . 9825. 08 . 985 . 0812172 5 . 025. 0 mgmgJO

10、2222121712131mlmlmlmlJO 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 rad/s20.75 2 16根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得OxCxCXmama 21mgmgYmamaOyCyC 21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221 xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 OY17例例7. 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B的重量均為的重量均為P，半徑均為，半徑均為r，一繩纏在，一繩纏在繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重上，繩重

11、不計(jì)且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸不計(jì)且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸O處處摩擦。摩擦。求：求： 圓柱圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。下落時(shí)質(zhì)心的加速度。 若在圓柱體若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么，試問在什么條件下圓柱條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。的質(zhì)心將上升。18選圓柱選圓柱B為研究對(duì)象為研究對(duì)象rTrgPB212 TPagPC 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：BACrra TrrgPA 221解：選圓柱解：選圓柱A為研究對(duì)象為研究對(duì)象由由、式得：式得：BA , 52rgBA gaC54 代入代入、式得：式得：19由動(dòng)量矩定理：由動(dòng)量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA 2)222()(22 rPMrgPragPrgPBcA 222222 補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：BACrra 代入代入式，得式，得grPrPMarPMargPargPCCC 5)2(2 ; 222當(dāng)當(dāng)M 2Pr 時(shí)，時(shí)， ，圓柱，圓柱B的質(zhì)心將上升。的